三角函数培优备课课件第四章　§4.8　正弦定理、余弦定理

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第四章§4.8　正弦定理、余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.课标要求内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则b2＋c2－2bccos Ac2＋a2－2cacos Ba2＋b2－2abcos C2Rsin B2Rsin Csin A∶sin B∶sin C2.三角形解的判断(2)S＝ ＝ ＝ ；(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径).在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos Asin B，则a>b.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.(　　)××√×2.(必修第二册P44T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于√在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得因为∠BAC为△ABC的内角，3.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定√∴角B不存在，即此三角形无解.4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ .则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，返回第二部分探究核心题型题型一　利用正弦、余弦定理解三角形例1　(1)(2023·榆林模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋(b＋λa)sin B＝csin C，则λ的取值范围为A.(－2,2) B.(0,2)C.[－2,2] D.[0,2]√因为asin A＋(b＋λa)sin B＝csin C，由正弦定理得c2＝a2＋b2＋λab，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C，所以λ＝－2cos C，因为C∈(0，π)，所以cos C∈(－1,1)，故λ∈(－2,2).(2)(2024·兰州模拟)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围成一个三角形(允许连接，不允许折断)，则其中某个三角形外接圆的直径可以是_________________(写出一个答案即可).4根细木棒围成的三角形的三边长可以为5,8,9，设边长为9的边所对的角为θ，该三角形外接圆的半径为R，解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.√又因为0°0，在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28，即x2＋8＝12xcos B， ①又在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28，即x2－24＝4xcos D， ②因为B＋D＝π，12345678910111213141516则cos D＝cos(π－B)＝－cos B，12345678910111213141516√12345678910111213141516设△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，∵cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1，即sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A，∴b2＋c2＋bc＝a2，12345678910111213141516即b＝3，∴a2＝b2＋c2＋bc＝32＋22＋3×2＝19，1234567891011121314151612345678910111213141516二、多项选择题√√12345678910111213141516根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B，123456789101112131415168.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是A.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形B.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形√√12345678910111213141516对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；12345678910111213141516对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误.12345678910111213141516三、填空题12345678910111213141516所以2a·cos A＝c·cos B＋b·cos C，由正弦定理得2sin Acos A＝sin Ccos B＋sin Bcos C，即2sin Acos A＝sin(B＋C)＝sin A，因为sin A>0，1234567891011121314151610.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为 平方里.8412345678910111213141516由题意画出△ABC(图略)，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，12345678910111213141516等腰直角三角形12345678910111213141516由于0