高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念优秀学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念优秀学案，共8页。学案主要包含了第一学时，学习过程，第二学时等内容，欢迎下载使用。




【第一学时】


数系的扩充和复数的概念


【学习过程】


一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？














2．复数分为哪两大类？














3．复数相等的条件是什么？














二、合作探究


探究点1：


复数的概念


下列命题：


①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；


②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；


③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；


④实数集是复数集的真子集．


其中正确的命题是（ ）


A．①B．②


C．③D．④


解析：对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.


答案：D


探究点2：


复数的分类


当实数m为何值时，复数z＝eq \f(m2＋m－6,m)＋（m2－2m）i：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？














解：（1）当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m≠0，))即m＝2时，复数z是实数．


（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．


（3）当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0，,\f(m2＋m－6,m)＝0，,m2－2m≠0，))即m＝－3时，复数z是纯虚数．


探究点3：


复数相等


（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（ ）


A．4或0B．－4或0


C．2或0D．－2或0


（2）若lg2（x2－3x－2）＋ilg2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．


解析：（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.


（2）因为lg2（x2－3x－2）＋ilg2（x2＋2x＋1）>1，


所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x2－3x－2）>1，,lg2（x2＋2x＋1）＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－3x－2>2，,x2＋2x＋1＝1，))解得x＝－2.


答案：（1）A


（2）－2


三、学习小结


1．复数的有关概念


（1）复数的定义


形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．


（2）复数集


全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．


（3）复数的表示方法


复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．


2．复数相等的充要条件


在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．


3．复数的分类


（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0Ｗ.))))


（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系





四、精炼反馈


1．若复数z＝ai2－bi（a，b∈R）是纯虚数，则一定有（ ）


A．b＝0B．a＝0且b≠0


C．a＝0或b＝0D．ab≠0


解析：选B.z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.


2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（ ）


A．－1B．2


C．1D．－1或2


解析：选D.因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，


所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.


3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．


解析：因为z＜0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－9＝0，,m＋1＜0，))解得m＝－3.


答案：－3


4．已知eq \f(x2－x－6,x＋1)＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．


解析：因为x∈R，所以eq \f(x2－x－6,x＋1)∈R，


由复数相等的条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，,x＋1≠0，))


解得x＝3．


答案：3


【第二学时】


复数的几何意义


【学习过程】


一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．复平面是如何定义的？














2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？














3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？














二、合作探究


探究点1：


复数与复平面内的点


已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）．


（1）在实轴上；


（2）在第三象限．

















解：（1）若z对应的点在实轴上，则有


2a－1＝0，解得a＝eq \f(1,2).


（2）若z对应的点在第三象限，则有


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－1<0，,2a－1<0，))解得－1

故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).


互动探究：


变条件：本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．


解：若z对应的点（a2－1，2a－1）在抛物线y2＝4x上，则有（2a－1）2＝4（a2－1），即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝eq \f(5,4)．


探究点2：


复数与复平面内的向量


在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．














解法一：由复数的几何意义得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则AC的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D（x，y），则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)＝2，,\f(y＋0,2)＝\f(3,2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3，))即点D的坐标为（3，3），所以点D对应的复数为3＋3i.


解法二：由已知得eq \(OA,\s\up6(→))＝（0，1），eq \(OB,\s\up6(→))＝（1，0），eq \(OC,\s\up6(→))＝（4，2），


所以eq \(BA,\s\up6(→))＝（－1，1），eq \(BC,\s\up6(→))＝（3，2），


所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝（2，3），所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝（3，3），


即点D对应的复数为3＋3i．


探究点3：


复数的模


（1）设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是（ ）


A．－11


C．a>1D．a>0


（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（ ）


A．1个圆B．线段


C．2个点D．2个圆


解析：（1）由题意得eq \r(a2＋22)

（2）由题意知（|z|－3）（|z|＋1）＝0，


即|z|＝3或|z|＝－1，


因为|z|≥0，所以|z|＝3，


所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．


答案：（1）A


（2）A


三、学习小结


1．复平面


建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．


2．复数的两种几何意义


（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）eq \(←――→,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z（a，b）．


（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R） eq \(←――→,\s\up7(一一对应))平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).


3．复数的模


复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→))，则eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)．


4．共轭复数


（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．


（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．


（3）复数z的共轭复数用eq \(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi．


四、精炼反馈


1．已知z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）


A．（－3，1）B．（－1，3）


C．（1，＋∞）D．（－∞，－3）


解析：选A.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3

2．在复平面内，O为原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为（ ）


A．－2－iB．2＋i


C．1＋2iD．－1＋2i


解析：选D.由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（－1，2），故向量eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为－1＋2i.


3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．


解析：依题意，可知z＝a＋i（a∈R），则|z|2＝a2＋1.因为0＜a＜2，所以a2＋1∈（1，5），即|z|∈（1，eq \r(5)）．


答案：（1，eq \r(5)）


4．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．


解析：因为z1与z2互为共轭复数，


所以a＝2，b＝4.


答案：2 4学习重难点
学习目标
核心素养
复数的有关概念
了解数系的扩充过程，理解复数的概念
数学抽象
复数的分类
理解复数的分类
数学抽象
复数相等
掌握复数相等的充要条件及其应用
数学运算
学习重难点
学习目标
核心素养
复平面
了解复平面的概念
数学抽象
复数的几何意义
理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
直观想象
复数的模
掌握复数的模的概念，会求复数的模
数学运算
共轭复数
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数
数学运算