数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程教学设计

这是一份数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程教学设计，共4页。
课程基本信息
课例编号
2020QJ11SXRA032
学科
数学
年级
高二
学期
第一学期
课题
直线和圆的方程小结(2)
教科书
书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册
出版社：人民教育出版社出版 日期：2020年5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
韩旭
北京市第五十中学
指导教师
雷晓莉
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：通过问题串的形式，梳理本章的常见题型，明确研究思路和解题步骤，再次强调坐标法的作用。
教学重点：明确常见题型的研究思路和解题步骤。
教学难点：明确坐标法的作用。
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
5’
问题1，两条直线的位置关系
问题1：我们是如何判断两条直线的平行、垂直？
教师讲解：复习判断方法
例1(1).已知直线l1:2x+ay-2=0，l2:ax+2y+2=0，若它们垂直，求a的值.
教师讲解：为了研究两直线的垂直关系，我们需要把两条直线的斜率分别求出来.
对于直线l1，需要进行分类讨论.
当a=0时，l1方程为x=1，直线无斜率，此时，l2方程为y=-1，斜率为0，所以当a=0时，两条直线垂直.
当a≠0时，l1方程为y=-2ax+2a，直线斜率k1=-2a，此时，l2方程为y=-a2x-1，斜率为k2=-a2，若两条直线垂直，则k1k2=-1，即-2a-a2=-1即1=-1，不成立，舍.
综上所述，若两条直线垂直，则a=0.
例1(2).已知直线l1:2x+ay-2=0，l2:ax+2y+2=0，若它们平行，求a的值.
教师讲解：由(1)可知，当a=0时，两条直线垂直，不平行，舍.
而当a≠0时，l1的斜率k1=-2a，此时，l2的斜率为k2=-a2，若两条直线平行，则k1=k2，即-2a=-a2，解得a=±2.
追问：那这两个结果都正确么？这时我们还需要进行一个验证
当a=2时，l1的方程为2x+2y-2=0，即x+y-1=0，l2的方程为2x+2y+2=0，即x+y+1=0，两直线平行.
当a=-2时，l1的方程为2x-2y-2=0，即x-y-1=0，l2的方程为-2x+2y+2=0，即x-y-1=0，两直线重合，舍.
综上所述，当a=2时，两直线平行.
小结：在判断两条直线平行或垂直时，需要注意什么？
需要考虑斜率不存在的情形，进行分类讨论；
判断两条直线平行时，要对结论进行检验，去除重合的情况.
8’
问题2.坐标法解动直线问题
问题2：点斜式的方程y-y0=k(x-x0)中字母系数k和(x0,y0)的几何意义.
教师讲解：k表示直线的斜率.(x0,y0)是直线上的一个点的坐标.
追问1：当这些字母系数发生变化时，直线会发生什么样的变化？
教师讲解：当k发生变化时，直线会绕着(x0,y0)旋转（图象演示）
当(x0,y0)发生变化时，直线会跟着(x0,y0)平移.（图象演示）
例2.有一条直线l:(1+3a)x+(1+a)y-2-4a=0（a为任意实数），过点P(-2,-1)到直线l的距离的最大值是多少？
教师讲解：代数法.
追问2：那么先思考一个问题，从直线方程中你能发现直线有什么样的几何特征么？
教师讲解：观察直线的方程，尝试转化方程为(1+a)(y-1)=-(1+3a)(x-1)，进行分类讨论
当a=-1时方程为x=1
当a≠-1时方程为y-1=-1+3a1+a(x-1)
追问3：当a发生变化的时候这条直线会发生什么变化？
教师讲解：当a发生变化时，直线l绕定点(1,1)旋转.
通过上述分析，我们通过对直线方程的研究，发现直线绕定点(1,1)旋转.课件的演示.
由于直线过定点A的坐标为(1,1)
故当AP⊥l时，P到直线l的距离最大
最大值恰好是AP两点之间的距离，由距离公式可知，最大距离为13.
7’
问题3.求圆的方程
问题3：圆的方程有哪几种形式？求圆的方程，需要知道几个条件？
教师解析：复习圆的两种形式，明确求圆的方程所需条件个数.
例3.求圆心在直线y=-2x上,并且经过点A(2,-1)，与直线x+y=1相切的圆的方程.
教师解析：确定圆的方程形式.
设圆心C的坐标为(a,b)，半径为r.
故圆的方程可以写为x-a2+y-b2=r2
因为圆心在直线y=-2x上，所以b=-2a①
经过点A(2,-1)，所以2-a2+-1-b2=r2②
与直线x+y=1相切，以a+b-112+12=r
联立方程b=-2a①2-a2+-1-b2=r2②a+b-1=2r③
解出a=1，b=-2，r=2
所以圆的方程为x-12+y+22=2
追问：从图形的角度，你还能发现哪些几何特征？
教师解析：由题意，圆心在过点A垂直于直线x+y=1的直线上.
所以垂线的方程是y+1=1×(x-2)即y=x-3.
又因为圆心在直线y=-2x上，
联立方程y=x-3y=-2x解得交点坐标1,-2
记为B，所以圆心坐标B1,-2
半径r=|AB|=1-22+-2+12=2.
所以圆的方程为x-12+y+22=2
小结
问题5：回顾解决问题的过程，你是如何理解坐标法的？
教师讲解：坐标法是用代数运算研究、解决几何图形的问题，把图形的几何性质与代数关系的运算有机结合起来，用“数”表示“形”，用“形”解释“数”.
1’
课后作业
已知直线l1:2x+ay=2,l2:ax+2y-1=0，若它们垂直，求a的值.
已知直线l1:x+2ay-1=0,l2:(3a-1)x-ay-1=0,若它们平行，求a的值.
已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,
(1)求证：直线l恒过定点.
(2)直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.