人教版新课标A必修24.1 圆的方程教案

§4.2.3  直线与圆的方程的应用

一、教材分析

    直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.

（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.

2．过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

3．情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.

三、教学重点与难点

教学重点：求圆的应用性问题.

教学难点：直线与圆的方程的应用.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,

图1

    在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.

思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①你能说出直线与圆的位置关系吗？

②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？

③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？

④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？

⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.

讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.

②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.

③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.

④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.

⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.

（三）应用示例

思路1

例1  讲解课本4.2节例4,解法一见课本.

图2

解法二：如图2,过P2作P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.

在Rt△AOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r2=(r-4)2+102.

解得r=14.5.

在Rt△CP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2.

因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.

又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.5≈14.36-10.5=3.86.

所以支柱A2P2的长度约为3.86 cm.

点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.

变式训练

    已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

图3

解:如图3,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).

过四边形ABCD的外接圆的圆心O1分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别为线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=.

所以|O1E|=.

又|BC|=,所以|O1E|=|BC|.

点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.

例2  有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地相距10 km,居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A地近,且费用低,列方程或不等式.

解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品的费用较低,并设A地的运费为3a元/km,则B地运费为a元/km.由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费,

即3a≤a,整理得(x+)2+y2≤()2.

所以以点C(-,0)为圆心,为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A地购货费用较低,圆外的居民从B地购货费用较低,圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等,因此可以随意从A、B两地之一购货.

点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.

思路2

例1  求通过直线2x-y+3=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.

活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法.

解法一:利用过两曲线交点的曲线系,

设圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,

配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2-)2=(1+λ)2+(2+)2-3λ-1,

∵r2=λ2+λ+4=(λ+)2+,

∴当λ=-时,半径r=最小.

∴所求面积最小的圆的方程为5x2+5y2+6x-18y-1=0.

解法二:利用平面几何知识,

以直线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求.

由消去y,得5x2+6x-2=0.

∴判别式Δ＞0,AB中点横坐标x0==-,纵坐标y0=2x0+3=,

即圆心O′(-,).

又半径r=|x1-x2|·=,

∴所求面积最小的圆的方程是(x+)2+(y-)2=.

点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x1-x2|·;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=,其中r为圆半径,d为圆心到弦的距离.

变式训练

    设圆满足①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

图4

解:关键确定圆心坐标和半径.如图4.

设圆心A(a,b),则半径r=|b|.

由截y轴的弦长为2,知a2+1=r2=2b2,

又圆心A到l的距离d=|a-2b|,

∴5d2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时等号成立.

这里由解得

∴圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.

例2  已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求(1)的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y的最值;(4)x-y的最值.

活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.

解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆.

(1)表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k,

故当y=kx为圆C的切线时,k得最值.

∵=1,∴k=2±.

∴的最大值为2+,最小值为2-.

(2)设x2+y2表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P为直线OC与圆C的两交点P1、P2时,OP12与OP22分别为OP2的最大值、最小值.

∴x2+y2的最大值为(+1)2=14+2,

最小值为(-1)2=14-2.

(3)令x+y=m,

当直线l:x+y=m与圆C相切时,l在y轴上截距m取得最值.

∵=1,∴m=5±.

∴x+y的最大值为5+,最小值为5-.

(4)令x-y=n,

当直线l′:x-y=n与圆C相切时,l′在y轴上截距的相反数n取得最值.

∵=1,∴n=-1±.

∴x-y的最大值为-1+,最小值为-1-.

点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.

例3  已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.

活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.

解法一:参数法(常规方法)

设过A的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时),P(x,y),则消y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.

∴x1+x2=.

利用中点坐标公式及中点在直线上,得(k为参数).

∴消去k得P点的轨迹方程为x2+y2-x-2y=0,当k不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.

∴P的轨迹是以点(,1)为圆心,为半径的圆.

解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)

设过点A的弦MN,M(x1,y1),N(x2,y2).

∵M、N在圆O上,∴.∴相减得(x1+x2)+·(y1+y2)=0(x1≠x2).

设P(x,y),则x=,y=.

∴M、N、P、A四点共线, =(x≠1).

∴2x+·2y=0.

∴中点P的轨迹方程是x2+y2-x-2y=0(x=1时亦正确).

∴点P的轨迹是以点(,1)为圆心,为半径的圆.

解法三:数形结合(利用平面几何知识)

由垂径定理知OP⊥PA,故P点的轨迹是以AO为直径的圆.(下略)

点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.

基本思路是利用弦的两个端点M(x1,y1)、N(x2,y2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2等.再由弦MN的中点P(x,y)的坐标满足x=,y=,以及直线MN的斜率k=(x1≠x2)等,设法消去x1、x2、y1、y2,即可得弦MN的中点P的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.

学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:

①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;

②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;

③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法;

④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.

（四）知能训练

课本本节练习1、2、3、4.

（五）拓展提升

    某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l的垂线AC上(C为垂足),且距C分别为2a和a(a＞0)的点A和B,进攻队员沿直线AD向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD和BM交于M,若在M点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜?

图5

解:如图5,以l为x轴,C为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M所需时间分别为t1=,t2=.

若t1＜t2,则|AM|＜2|BM|,即.

整理,得x2+(y-a)2＞(a)2,这说明点M应在圆E:x2+(y-a)2=(a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN为圆E的切线,N为切点,在Rt△AEN中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD与AC所成角大于30°即可.

（六）课堂小结

1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.

3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.

（七）作业

习题4.2  B组2、3、5.