高中数学人教版新课标A必修24.1 圆的方程教学设计

4.2.3　直线与圆的方程的应用

Q

某县位于山区，居民的居住区域大致呈如右图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1，P2，P3，P4是AC的五等分点，你能判断出转播台应建在何处吗？

X

直线与圆的方程的应用

用坐标法解决平面几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为__代数__问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成__几何__结论．

这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为“一建二算三译”．

Y

1．某洞口的横截面是半径为5 cm的半圆，则该半圆的方程是(　D　)

A．x2＋y2＝25

B．x2＋y2＝25(y≥0)

C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)

D．随着建立的直角坐标系的变化而变化

[解析]　在不同的坐标系下，方程不同．

2．如图是某圆拱桥的示意图．这个圆拱桥的水平面跨度AB＝24 m，拱高OP＝8 m．现有一船，宽10 m，水面以上高6 m，这条船能从桥下通过吗？为什么？

[解析]　建立如图所示的坐标系

依题意，有A(－12，0)，B(12，0)，P(0，8)，D(－5，0)，E(5，0)．

设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有

，解得．

∴这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋5)2＝169(0≤y≤8)．

将x＝－5代入上式，得y＝7>6．

∴该船可以从桥下通过．

3．有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

[解析]　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如右图所示．设A(－5，0)，则B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km，则从B地运货到P地的运费为a元/km．

若P地居民选择在A地购买此商品

则，

整理得(x＋)2＋y2<()2．

即点P在圆C：(x＋)2＋y2＝()2的内部．

也就是说，圆C内的居民应在A地购物．

同理可推得圆C外的居民应在B地购物．

圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物．

H

命题方向1　⇨直线方程的实际应用

典例1 如图所示，有一块五边形的铁皮ABCDE，|CD|＝100 cm，|BC|＝80 cm，|AB|＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边分别落在BC和CD上．问怎样截才能使矩形的面积最大？

[解析]　分别以AB，DE所在的直线为x轴、y轴建立坐标系，以1 cm为1个单位长度(如图所示)．

则各点坐标为A(30，0)，B(100，0)，C(100，80)，D(0，80)，E(0，20)，线段AE的方程为＋＝1(0≤x≤30)．

设线段AE上一点P(m，n)(0≤m≤30)，则有＋＝1.设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)·(80－n)．

∵＋＝1，∴n＝20(1－)．

∴S＝(100－m)·[80－20(1－)]＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．

故当m＝5时S有最大值，这时＝．

答：使矩形的一个顶点P在AE上，且＝时，沿PQ，PR剪开，可使截得的矩形铁皮面积最大．

『规律方法』　(1)借助坐标系、点的坐标、直线的方程等解析工具解决实际问题．

(2)在求S＝(100－m)·(80－n)的最大值时，使用了“消元法”，因为在该式中有m，n两个变量，但m、n满足关系式＋＝1，从而得n＝20(1－)，代入S＝(100－m)·(80－n)后可消元减少一个变量n，使该式化为一个一元二次函数，再用配方法即可求其最值．

〔跟踪练习1〕 

设有半径为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，乙向正北直行，甲先向正东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线前进，后来恰与乙相遇．设甲、乙两人匀速前进，其速率比为3∶1，问两人在何处相遇？

[解析]　如图，建立平面直角坐标系，由题意可设甲、乙两人的速度分别为3v km/h，v km/h，又设甲出发t1 h后在点P处改变前进方向，又经过t2 h后与乙在点Q处相遇，则P，Q两点的坐标分别为(3vt1，0)，(0，vt1＋vt2)，

由OP2＋OQ2＝PQ2，得

(3vt1)2＋(vt1＋vt2)2＝(3vt2)2，

化简得(t1＋t2)(5t1－4t2)＝0，

又t1＋t2>0，所以5t1＝4t2，

所以直线PQ的斜率kPQ＝－＝－．

因此可设直线PQ的方程为y＝－x＋b(b>0)，

又已知直线PQ与圆O：x2＋y2＝9相切，

所以＝3，解得b＝＝3.75．

故甲、乙两人的相遇点在离村中心正北方向3.75 km处．

命题方向2　⇨圆的方程的实际应用

典例2 如图所示，一座拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？

[解析]　以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．

设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，

则由已知得A(6，－2)．

设圆的半径为r，

则C(0，－r)，即圆的方程为

x2＋(y＋r)2＝r2．①

将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得

36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10．

∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100．②

当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，

将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝．

∴水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m．

『规律方法』　解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．

〔跟踪练习2〕 

如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱，求支柱CD的长度．(精确到0.01 m)

[解析]　建立如图所示的直角坐标系则圆心在y轴上

设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2．下面用待定系数法求b和r的值．因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都是圆的方程的解．于是得到方程组，

解得b＝－10.5，r2＝14.52．

所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52．

把点C的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，于是

y＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．

命题方向3　⇨直线与圆的位置关系的实际应用

典例3 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受到影响的范围半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

[解析]　以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．

取10 km为单位长度，则受到台风影响的圆形区域所对应的圆O的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，

则轮船航线所在直线的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0．

圆心O(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离为d＝＝>3，所以直线4x＋7y－28＝0与圆O外离，所以轮船不会受到台风的影响．

『规律方法』　解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：

〔跟踪练习3〕 

已知台风中心从A地以每小地20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，求B城市处于危险区内的时间．

[解析]　如图

以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为20 km．

则射线AC被以B为圆心，以30 km为半径的圆截得的弦长为＝20(km)．

所以B城市处于危险区内的时间为t＝＝1(h)．

Y 　忽视方程中未知数的取值范围致误

典例4 方程＝kx＋2有惟一解，则实数k的范围是(　D　)

A．k＝±

B．k∈(－2，2)

C．k<－2或k>2

D．k<－2或k>2或k＝±3

[错解]　选A或选C

[错因分析]　因忽视y＝中的y≥0而认为直线与圆相切而错选A．虽然注意到图形表示半圆但漏掉直线与圆相切的情形而错选C．

[正解]　选D．由题意知，直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点．结合图形易得k<－2或k>2或k＝±．

[警示]　注意整条曲线与部分曲线的区别，解题时要充分关注未知量的取值范围，以确定曲线的范围．

〔跟踪练习4〕 

已知直线l：y＝x＋b，与曲线C：y＝有两个不同的公共点，求实数b的取值范围．

[错解]　y＝可变形为x2＋y2＝1，当直线与圆相交时，有两个交点，∴d<r，∴|b|<，即－<b<．

[错因分析]　方程y＝表示的图形是半圆，而不是圆．

[正解]　如图

方程y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线

方程y＝表示单位圆在x轴上及其上方的半圆

当l经过A(－1，0)，B(0，1)时，l与曲线C有两个交点，此时b＝1，记直线为l1；当l与半圆相切时，b＝，切线记为l2；当l在l1与l2之间(包含l1)时，l和曲线C有两个不同的公共点．因此1≤b<．

X 　与圆有关的最值问题与代数表达式的几何意义

1．代数表达式的几何意义

①表示动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．

②x2＋y2表示动点(x，y)与原点(0，0)距离的平方．

表示动点(x，y)与定点(a，b)之间的距离．

③求2x＋y的取值范围时，可令t＝2x＋y，则y＝－2x＋t，t表示直线y＝－2x＋t在y轴上的截距．

求3x－2y的取值范围时，令t＝3x－2y，则y＝x－，则－表示直线y＝x－在y轴上的截距．

2．与圆有关的最值问题

①点P(x，y)是⊙C上的动点，Q(a，b)是定点，求，，x2＋y2，(x－a)2＋(y－b)2，2x＋y的取值范围时，利用代数表达式的几何意义，数形结合求解．

②点P(x，y)是⊙C上的动点，l是直线，Q是直线l上的动点，求|PQ|或P到l的距离的最值时，利用数形结合法求解．

③⊙C经过定点A，圆心C在直线l上运动，求半径最小的圆或求经过两定点A，B的最小的圆，用数形结合法讨论求解．

④P在⊙C内，求经过点P的直线与圆相交最短弦长，用数形结合法求解．

⑤P，Q分别在⊙C1与⊙C2上运动，求|PQ|的最值，用数形结合讨论求解．

典例5已知点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．

(1)求的最大值和最小值；

(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．

[解析]　圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2．

(1)表示圆上点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率；设＝k，显然当直线y＝kx与⊙C相切时，k取到最大值与最小值，由＝2，得k＝．

∴的最大值为，最小值为．

(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)，连线段长度d的平方加上2．

∵|AC|＝5，∴3≤d≤7

∴所求最小值为11．

〔跟踪练习5〕 

已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．

[解析]　设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．直线AB的方程为x＋y－2＝0．

两圆圆心连线的方程为x－y＝0．

解方程组

得圆心坐标为(1，1)．

圆心M(0，0)到直线AB的距离为d＝，

弦AB的长为|AB|＝＝4，

所以所求圆的半径为2．

所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8．

K

1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在的直线的斜率为(　D　)

A．－或－　　 　 　 B．－或－

C．－或－  D．－或－

[解析]　(－2，－3)关于y轴对称点的坐标为(2，－3)，设反射光线所在直线为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，则d＝＝1，|5k＋5|＝，解得k＝－或－．

2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　C　)

A．4　　　 B．3　　　

C．2　　　 D．1

[解析]　圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1

∴直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交，故选C．

3．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为 m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为__3__m．

[解析]　以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如右图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16(y>0)．

将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y>0)，

得y＝＝>2.5，

即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道．

将x＝代入x2＋y2＝16(y>0)得y＝3．

所以货车要驶入该隧道，最大高度为3 m．