北师大版（2024）九年级下册1 二次函数课后复习题

这是一份北师大版（2024）九年级下册1 二次函数课后复习题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列y不是x的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（ ）

A．B．C．D．
5．下列关于的函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．-2B．0C．2D．±2
7．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
8．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
9．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
11．函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．3B．C．D．或3
12．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．二次函数的图象经过原点，则 ．
14．如果是关于的二次函数，则 ．
15．关于的函数是二次函数，则的值为 ．
16．已知函数的图象是抛物线，则 ．
17．若是二次函数，则 ．
三、解答题
18．若是关于的二次函数，求的值．
19．如图（图1），点P是线段AB上与点，点不重合的任意一点，分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线AB和射线，的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段AB为等联线.
(1)请直接写出（图）中与的形状关系 ；
(2)如（图2），在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，，在格点上请用两种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹：
(3)如（图3），在矩形中，，，点是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点
①设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②是否存在这样的点，使周长等于周长的倍？若存在，请求出的长度；若不在，请简要说明理由
20．某批发商以每件50元的价格购进400件T恤．若以单价70元销售,预计可售出200件．批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量,降价销售,经过市场调查,单价每降低0.5元,可多售出5件,但最低单价不低于购进的价格;第一个月结束后,将剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元．设第一个月单价降低x元．
（1）根据题意,完成下表：
（2）T恤的销售单价定为多少元时,该批发商可获得最大利润？最大利润为多少？
21．如图1，已知关于y轴对称的抛物线：与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线l：经过点B，与y轴负半轴交于点D．
(1)若，且，求a的值；
(2)如图2，若D为的内心且的内切圆半径为3，点P为线段的中点，求经过点P的反比例函数的解析式；
(3)如图3，点E是抛物线与直线l的另一个交点，已知，的面积为6，点E在反比例函数：上，若当（其中）时，二次函数的函数值的取值范围恰好是，求的值．
22．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
23．已知方程（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)，是原方程的两根，且，求m的值．
(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
24．如图①，等边三角形的边长为2，是边上的任一点(与不重合)，设，连接，以为边向两侧作等边三角形和等边三角形，分别与边交于点．
(1)求证：；
(2)求四边形与△ABC重叠部分的面积与之间的函数关系式及的最小值；
(3)如图②，连接，分别与边交于点．当为何值时，．
每件T恤的利润（元）
销售量（件）
第一个月
清仓时
《2.1二次函数》参考答案
1．D
【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可．
【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：，故他们之间的关系是正比例函数关系；
B．三角形的高h一定时，故他们之间的关系是正比例函数关系；
C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系；
D．正方体的表面积S与棱长a的关系：，S和a是二次函数关系，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．C
【分析】利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可．本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确；
B、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不正确；
C、符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、是反比例函数，故本选项不正确．
故选：C．
3．B
【分析】根据二次函数的定义，把各个选项化成二次函数的一般式或者顶点式，即可判断．
【详解】解：根据二次函数的定义可以判断，
A、可化为，此选项说法正确，不符合题意；
B、此选项说法错误，符合题意；
C、可化为，此选项说法正确，不符合题意；
D、可化为，此选项说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，能否把二次函数化成一般式，顶点式是解题的关键．
4．C
【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．
【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，
∴表面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．
5．D
【分析】根据二次函数的定义判断解答即可．
【详解】∵中的指数是1，
∴是一次函数，
∴A选项不符合题意；
∵不是二次函数，
∴B选项不符合题意；
∵不是二次函数，
∴C选项不符合题意；
∵中的指数是，且是整式，
∴是二次函数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键．
6．A
【分析】根据二次函数的定义，得且即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴且
解得且m≠2，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．
7．C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、中含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
8．C
【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡．
【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细，
∵容器横截面为圆形，横截面，
∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，
∴对应函数图像先陡、后缓、再陡，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线．
9．C
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：A.是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B.分母中含有未知数，不是二次函数，故此选项错误；
C.是二次函数，故此选项正确；
D.当时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a.b.c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x.y是变量，a.b.c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
10．D
【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A：最高次项为一次，不符合题意；
B：当时，不是二次函数，不符合题意；
C：不是整式，不符合题意；
D：满足二次函数的定义，符合题意；
故选：D．
11．D
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，且，
由得，或，
∴m的值是3或-1，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
12．B
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】A．是一次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，故符合题意；
C．是一次函数，故不符合题意；
D．是反比例函数，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．
13．3
【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．
【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：．
故答案为：．
15．2
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，求出m的值即可解决问题．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴m2-m=2，m+1≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】根据二次函数的定义列出有关m的方程，继而求解即可．
【详解】解：根据二次函数的定义，得：
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义“二次项的次数是2，二次项的系数不等于零”．
18．
【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴
解得，，
又∵，
∴，
∴.
19．(1)
(2)见解析
(3)①；②存在这样的点P，使周长等于周长的2倍，的长度为
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，函数关系式；
（1）根据三角形的外角的性质得出，进而结合，即可得证；
（2）根据新定义，画出等联角；
（3）①分当在线段上时即，当在的延长线上时，则时，证明，根据相似三角形的性质，写出函数关系式，即可求解；
②根据题意结合相似三角形的性质得出，联立解析式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：
证明：∵，
∴
又∵
∴
故答案为：．
（2）解：如图所示（方法不唯一）
（3）解：①当在线段上时即，如图所示，
∵
∴
∴
∴
∵，，，，
∴，
∴
∴
当时，即重合，此时重合，则，
∴
当在的延长线上时，如图所示，则时，
∵
∴
∴
∴
∵，，，，
∴，
∴
∴
∴
②∵
∴当周长等于周长的2倍时，
即，即
当时，，
解得：x=0（舍去）或（舍去）
时，
解得：x=0（舍去）或
∴存在这样的点P，使周长等于周长的2倍，的长度为
20．（1）图表见解析；（2）定价45元时，最大利润为2250元．
【详解】试题分析：（1）根据已知首先表示出销量以及每件利润即可;
（2）首先表示出单价与利润的关系,进而利用二次函数最值求法求出即可．
试题解析：（1）
（2） 设批发商可获得利润元 ,
当时,
售价为：50-5=45（元）
,
答：T恤的销售单价定为45元时该批发商可获得最大利润,最大利润为2250元．
考点：二次函数的应用．
21．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）在中，令，可求得点A，B的坐标，根据勾股定理求出，再根据求出点C的坐标，再结合抛物线的解析式即可求得答案；
（2）根据勾股定理可求得和，D为的内心且的内切圆半径为3求得的面积的表达式，再根据三角形的底和高建立三角形面积的表达式，即可建立方程，解方程求出a的值得到点C的坐标，再根点P为线段的中点，求出P的坐标，再根据待定系数法即可求得答案；
（3）先运用待定系数法求得直线l解析式，再联立方程组求得点E坐标，利用的面积建立方程求a的值，通过点E坐标求得c的值，从而得到抛物线解析式，再结合二次函数增减性和最值进行分类讨论求得m，n的值即可得到答案．
【详解】（1）当时，，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∵D为的内心且的内切圆半径为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴或，
∵点P为线段的中点，
∴或，
设经过点P的反比例函数的解析式为：，
将或分别代入，得：或，
∴经过点P的反比例函数的解析式为：或；
（3）解：由（1）知：，，
∴，
∴，
∵直线l：经过点B，与y轴负半轴交于点D，
∴，
解得：，
∴直线l解析式为：，
∵点E是抛物线与直线l的另一个交点，
∴，
解得：（舍去），，
∴点，
∴，
∵的面积为6，
∴，
解得：，
∴点，
∵点E在双曲线：上，
∴，
∵当（其中）时，二次函数的函数值的取值范围恰好是，
∴二次函数，当（其中）时，，且，
由，可知：抛物线对称轴为直线，顶点，
当时，y随x增大而增大，又时，时，，
∴或，
解得：或，或，
∵，
∴，（不符合题意）；
当时，则，解得，
若，则最小值在处取得，
即，解得：，（不符合题意，舍去）；
若，最小值在处取得，
即，
解得：，（舍去），
∴，，
综上所述，，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数与二次函数交点，三角形内心、外心，三角形面积，中点坐标，反比例函数等；是一道综合性较强的压轴题，解题时务必要认真审题，理清思路，能够将相关知识点结合起来；充分利用题目中的信息，运用方程思想，分类讨论思想是解题关键．
22．（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．
【详解】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.
试题解析：
（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为300﹣10x．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
23．(1)见解析
(2)的值为1
(3)该函数图像始终过定点
【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键．
（1）用根的判别式即可解答．
（2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可；
（3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，是原方程的两根，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
的值为1；
（3）解：．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以，
解得，
当时，，
所以该函数图像始终过定点．
24．（1）证明见解析；（2）；的最小值为；（3）当时，．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出，据此通过证明△ADM和△APN全等后利用全等三角形性质证明结论即可；
（2）作于点，首先结合（1）中结论得出四边形与△ABC重叠部分四边形的面积的面积，之后利用勾股定理以及三角函数的概念求出△ADP的面积，由此进一步分析求解即可；
（3）连接PG，利用菱形的性质以及等腰直角三角形的性质进一步进行计算即可.
【详解】(1)证明：∵△ABC，△APD，△APE都是等边三角形，
∴，
∴．
在△ADM和△APN中，
∵
∴△ADM≅△APN(ASA)，
∴；
(2)如图，作于点．
∵△ADM≅△APN
∴四边形与△ABC重叠部分四边形的面积的面积．
∵，，
∴，，
∴，
由勾股定理，得，
∵是等边三角形，
∴△ADP的面积=，
即：，
∴的最小值为；
(3)连接，如图：
当时，
∵，
∴．
易知四边形是菱形，
∴．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，，
∴．
解得．
∴当时，．
【点睛】本题主要考查了菱形及等边三角形的性质与全等三角形性质及判定和求二次函数解析式的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
C
D
A
C
C
C
D
题号
11
12








答案
D
B








每件T恤的利润（元）
销售量（件）
第一个月
清仓时