2024-2025学年高二数学同步精品试题（人教A版2019）重难点01数列的通项公式（十二大题型）（Word版附解析）

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重难点01 数列的通项公式【题型归纳目录】题型1：观察法题型2：叠加法题型3：叠乘法题型4：待定系数法题型5：同除以指数题型6：取倒数法题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题题型8：周期数列题型9：前n项积型题型10：因式分解型求通项题型11：题型12：取对数法【方法技巧与总结】类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型Ⅱ公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．类型Ⅲ累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得： = 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； = 2 \* GB3 ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； = 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； = 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．类型Ⅳ累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型Ⅴ构造数列法：㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出㈡形如型的递推式：⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．⑶当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．类型Ⅵ对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．类型Ⅶ倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．类型Ⅷ形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式【典例例题】题型1：观察法【典例1-1】（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，，，可得的一个通项公式为．故选：D．【典例1-2】（2024·高三·全国·专题练习）数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】将，，，可以写成成，，，所以的通项公式为.故选：C【变式1-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）  A．59 B．60 C．61 D．62【答案】C【解析】由题意得，，，…，所以，．因此．故选：C．【变式1-2】（2024·高二·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为，且每项为，故数列的一个通项公式为.故选：D.题型2：叠加法【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（   ）A．4 B． C．13 D．【答案】A【解析】依题意，在数列中，，，即，所以．故选：A【典例2-2】（2024·高三·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以由递推公式可得当时，等式两边分别相加，得，因为，则，而满足上式，所以，即，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，，当时，，因为，所以的最小值为.故选：A.【变式2-1】（2024·高三·河南安阳·阶段练习）已知数列满足，则（   ）A．2025 B．2024 C． D．【答案】D【解析】由题意可得，累加可得，，所以，故.故选：D.【变式2-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ）A．810 B．820 C．830 D．840【答案】B【解析】数列中，，，则.故选：B【变式2-3】（2024·高三·山东淄博·期中）已知函数满足，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，，令，得，则，所以，，，，上述式子累加可得，，则，所以.故选：B.题型3：叠乘法【典例3-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由（），得，两式相减得（）．又因为，，所以，可得（），即（）．易知，即满足上式，所以（）．故选：C【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得，即，所以，将上面个式子两端分别相乘，可得，即，所以．故选：B.【变式3-1】（2024·高二·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.设①，则②，①-②得，，，.故选：C.【变式3-2】（2024·高二·四川达州·期中）在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为任意有，所以，，，……，，上式累乘可得：，因为，所以，设数列的前项和为，，，，两式相减可得：，所以，所以，所以.故选：D.【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，得，，．由累乘法，得，即，又，所以．故选：C．【变式3-4】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：B题型4：待定系数法【典例4-1】（2024·高二·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，知：且()，而，，∴是首项、公比都为3的等比数列，即，故选：C【典例4-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，即，所以，解得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以．故选：C.【变式4-1】（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； .【答案】 574【解析】因为，，则，且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，则，即，可得，所以.故答案为：；.【变式4-2】（2024·高二·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】，又，故为公比为2的等比数列，故，所以.故答案为：【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，则 .【答案】/【解析】因为，当时，，解得；当时，，两式相减得，所以，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）设数列满足，且，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】.，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列.，所以.故答案为：【变式4-5】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和 ．【答案】【解析】因为，假设存在实数，使得，即，则，解得，即，且，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，即，所以．故答案为：.题型5：同除以指数【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．【答案】【解析】将两边同时除以，得，即．由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故．故答案为：.【典例5-2】（2024·高二·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ．【答案】【解析】由题意知将等式两边同时除以，可得，因为，所以可知，则数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.故答案为：【变式5-1】（2024·高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】数列中，由，得，即，而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此，即，所以数列的通项公式为.故答案为：【变式5-2】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 .【答案】/0.5【解析】由，得，则，又，则，则，，，，故答案为：.【变式5-3】（2024·高二·四川成都·阶段练习）在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ．【答案】 【解析】由，即，则，又，故数列是以为公比、为首项的等比数列，即，则，.故答案为：；.【变式5-4】（2024·高二·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ．【答案】【解析】由，即，则，又，故数列是以为公比、为首项的等比数列，即，则.故答案为：.题型6：取倒数法【典例6-1】（2024·高二·河南·期中）数列中，若，，则 ．【答案】19【解析】∵，则，∴，∴故数列为等差数列，公差等于2，又，故，∴.故答案为：19．【典例6-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .【答案】【解析】数列中，，，显然，取倒数得，即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，因此，所以.故答案为：.【变式6-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．【答案】【解析】因为数列满足，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，在等式两边取倒数可得，则，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以，，所以，.故答案为：.【变式6-2】（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，易知，所以，即，又，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，故，所以.故选：A.题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题【典例7-1】（2024·高三·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ．【答案】【解析】数列中，，当时，，两式相减得，即，则有，因此数列是常数列，则，所以数列的通项公式为.故答案为：【典例7-2】（2024·高二·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 .【答案】【解析】数列的前项和，当时，，整理得，即，显然当时，数列是常数列，因此，所以.故答案为：【变式7-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 .【答案】【解析】当时，，相减可得，所以，又，所以故为等差数列，且公差为，首项为2，故，，故答案为：【变式7-2】（2024·高二·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为.故答案为：【变式7-3】（2024·高二·天津东丽·阶段练习）在数列中，，且，则 【答案】【解析】由，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列，即，所以，当时，，，当时，满足上式，综上所述，故答案为：.【变式7-4】（2024·高三·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则 .【答案】【解析】因为①，当时，②，①②得，所以，所以.故答案为：【变式7-5】（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知数列满足.(1)求和；(2)证明：数列为单调递增数列.【解析】（1）因为①，当时，.当时，②，由①-②得，所以，当时，，所以也满足，当时，，故，.（2）由（1）知，，易知，则，又对一切恒成立，所以，得到对一切恒成立，所以数列为单调递增数列.题型8：周期数列【典例8-1】（2024·高二·天津河西·期末）数列满足，，则（    ）A． B． C． D．2【答案】C【解析】，，，，，……，所以数列的周期为，.故选：C【典例8-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以数列的周期为3，所以.故选：C.【变式8-1】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（   ）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】因为，，令，则；令，则；令，则；可知数列为周期为的周期数列，所以.故选：A.【变式8-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ）A．2015 B．2016 C．1518 D．1519【答案】C【解析】依题意，，因此数列是以2为周期的周期数列，所以该数列前2024项的和为.故选：C【变式8-3】（2024·高三·河北邢台·期中）在数列中，若，则下列数是中的项的是（   ）A．4 B．4 C． D．3【答案】B【解析】由，，，可知以3为周期，依次为，显然B正确.故选：B题型9：前n项积型【典例9-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知非零数列的前项和为，为数列的前项积，且．(1)证明：数列是等差数列，并求其前项和；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）数列中，由，得，，由为非零数列，得，，又当时，，则，，在中，当时，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，.（2）由（1）得，，则，时，，当时，，不满足上式，所以数列的通项公式.【典例9-2】（2024·高三·山东青岛·期中）记为正项数列的前项积，，则 .【答案】2025【解析】数列的各项均为正，当时，，解得，由，得当时，，即，因此，数列是以为首项，公差为的等差数列，，所以.故答案为：2025【变式9-1】（2024·高三·河南安阳·阶段练习）设为数列的前项积，且，则 ．【答案】【解析】由题意可得，所以当时，有，故由题意两式相除得，因为，则，因此当时，，即，则， 也符合．所以.故答案为：【变式9-2】（2024·高二·云南曲靖·阶段练习）设正项等比数列的首项，前项和为，且 .(1)求数列的公比.(2)若是数列的前项积，求的最大值.【解析】（1）若，则，则，这与已知条件矛盾，故，当时，，，即，.（2）数列为等比数列，，公比，        所以当时，即，              此时对应的项为满足前n项积为最大值，解得，又，即前11项或前10项乘积最大，所以的最大值为.【变式9-3】（2024·高三·全国·专题练习）记为数列的前项积，已知，，求数列的通项公式【解析】由题意可得，因为，所以，即，所以．又，，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，.题型10：因式分解型求通项【典例10-1】（2024•安徽月考）已知正项数列满足：，，．（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ），，又数列为正项数列，，①当时，数列不是等比数列；②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，，．【典例10-2】（2024•怀化模拟）已知正项数列满足，设．（1）求，；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（3）的通项公式，并求其前项和为．【解析】解：（1），，，可得，则，数列为首项为1，公比为2的等比数列，可得；，，；（2）数列为等差数列，理由：，则数列为首项为0，公差为1的等差数列；（3），前项和为．【变式10-1】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且（Ⅰ）证明数列为等差数列；（Ⅱ）若记，求数列的前项和．【解析】证明：由，变形得：，由于为正项数列，，利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，从而．【变式10-2】（2024·福建福州·高二校考期末）已知数列满足时，，且.(1)求数列的通项公式；【解析】（1）由整理化简可得，即，又因为，所以，所以，即，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列所以.即数列的通项公式为题型11：【典例11-1】（2024·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）已知数列满足，且.(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；【解析】（1）由，得，，，，，则是首项为4，公比为2的等比数列，由是首项为4，公比为2的等比数列，则，，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，，则；【典例11-2】（2024·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，，.(1)设，求证：是等比数列；(2)设，求证：是等比数列.【解析】（1）证明：由可得时，，，则；当时，，即，故，即，由，可知，故，故是等比数列；（2）由（1）可得，故，所以，即为等差数列，首项为，公差为，所以，即，所以，则，故是等比数列.【变式11-1】（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项公式．【解析】化为，即，，可得或，（所得两组数值代入上式等价），不妨令，，所以是以1为首项，为公比的等比数列，则，累加法可得：，又符合上式，故.【变式11-2】（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足递推关系：，且，，求数列的通项公式.【解析】由于且，，故数列发生函数为于是数列的通项为：，.题型12：取对数法【典例12-1】（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列满足，，设的前项积为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．【解析】（1）由题意知，为正项数列的前项的积，且，当时，，所以，解得；又①，②，②÷①得，，即，所以，即，所以，则，结合，可知数列是常数列，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，则，又，所以，所以．【典例12-2】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足，．(1)若且数列是递增数列，求实数k的取值范围；(2)若且，求数列的通项公式．【解析】（1）由，知，故．当时，显然，且，故与同号，故对一切都有．综上所述：实数k的取值范围是．（2）若且，则，由，知，两边取对数：，且，故，故，故数列的通项公式为．【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式．【解析】对任意的，，因为，则，所以，，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，解得.