2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题第二章一元二次函数、方程和不等式综合能力测试（Word版附解析）

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第二章 一元二次函数、方程和不等式综合能力测试（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则“”是“”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，设集合，，则为的真子集.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B2．若且，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】A：当时，，故A错误；B：当时，满足，，不成立，故B错误；C：，因为，所以，得，即，故C正确；D：当时，满足，，不成立，故D错误.故选：C3．由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（    ）A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定【答案】B【解析】不妨设两次购买猪肉的价格分别为，，第一种方案，均价为，第二种方案，均价为，其中，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，故，当且仅当时，等号成立，所以采用第二种方案划算.故选：B4．若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【答案】B【解析】设，故且，所以，故，由于，，所以，，故最小值为，此时，故选：B.5．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，当时，要使得不等式对一切实数都成立，则，解得，综上所述，的取值范围为.故选：D．6．不等式的解集为（    ）．A．或 B．或C．或 D．【答案】B【解析】由，得或，解得或，所以不等式的解集为或.故选：B.7．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ）A． B．3 C．8 D．9【答案】B【解析】由，得，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.故选：B8．存在三个实数，使其分别满足下述两个等式：（1） （2）其中M表示三个实数中的最小值，则（    ）A．M的最大值是 B．M的最大值是C．M的最小值是 D．M的最小值是【答案】B【解析】由已知得，中必有个正数，1个负数，设，，则，因为，所以，所以，即，所以，由得，，即，所以，故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则下列不等式恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】对于A，，，，，，即，A正确；对于B，，，，，，即，B正确；对于C，当，，，时，，C错误；对于D，当，，，时，，D错误.故选：AB.10．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ）A．有最大值为 B．有最小值为C．有最小值为 D．有最大值为【答案】ABC【解析】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，对于D：因为，当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，故选：ABC．11．已知，且，以下说法正确的是（    ）A．中至少有一个不大于1 B．C． D．若，则【答案】ABD【解析】对于A,若均大于1,那么,矛盾,所以中至少有一个不大于1,A正确.对于B, ,当且仅当" "时,等号成立,B正确.对于C,.所以:,当且仅当,即时,等号成立,C错误.对于D, ,,即,则,D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知不等式的解集为，则= ，= 【答案】 【解析】依题意，不等式的解集为，所以，解得.故答案为：；13．一元二次不等式的解集为 .【答案】【解析】由得，所以的解集为.故答案为：.14．若实数满足，则的最大值为 .【答案】/【解析】由可得，可得；而，所以，解得；当且仅当，也即时，上式右边等号成立；此时的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）求解下列不等式：(1)(2)【解析】（1）因为，所以，解得；（2）因为，所以，即，此时有，解得．16．（15分）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.(1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围.(2)要使总费用最小，求x的值.【解析】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得，所以x的取值范围为.（2）由（1）可知，因为，当且仅当即时等号成立，所以当时，一年的总费用最小，故x的值为30.17．（15分）已知不等式.(1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立，②若，则不等式恒成立，等价于 ，解得，综上，实数m的取值范围是.（2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立，②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，若时不等式恒成立，则，解得，③当时，函数的图象开口向下，若时不等式恒成立，则，解得，综上，实数m的取值范围是.18．（17分）根据要求完成下列问题：(1)若、、.①求证：；②求证：；③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.(2)设，求证：成立的充要条件是.【解析】（1）①∵，且、，∴，∴；②∵，∴，又，∴，∴，∴，∵、，∴，由（1）知，∴，∴；③∵，，∴或（只要写出其中一个即可）；（2）①充分性：如果，则有和两种情况，当时，当时，则、，等式成立，当时，则、，等式成立，当时，等式成立，当时，即、或、，当、时，、，等式成立，当、时，、，等式成立，∴当时，等式成立，∴当时，成立，②必要性：若且，则，即，则，故，综上所述，是等式成立的充要条件.19．（17分）已知关于的不等式．(1)当，时，求原不等式的解集；(2)在（1）的条件下，若原不等式恰有个整数解，求的取值集合．【解析】（1）当时，不等式为，即，又，则所以，即不等式的解集为；（2）在（1）的条件下，原不等式的解集为，要使得原不等式恰有个整数解，则需满足，解得，若个整数解的最小值为，则最大值为，则，解得，此时，原不等式恰有个整数解．若个整数解的最小值为，则最大值为，则，解得，此时，原不等式恰有个整数解．若个整数解的最小值为，则最大值为，则，解得，此时，原不等式恰有个整数解．综上，的取值集合是或或.