浙江省2023年中考数学一轮复习 特殊三角形 练习题（含详解）　

这是一份浙江省2023年中考数学一轮复习 特殊三角形 练习题（含详解）　，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·浙江衢州·统考模拟预测）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江金华·校考一模）现实世界中，对称现象无处不在，中国方块字中有些也具对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．兰B．溪C．日D．子
3．（2022·浙江台州·统考二模）下列体育运动项目图标中，是轴对称图形的是（ ）．
A．B．
C．D．
4．（2022·浙江绍兴·一模）将一张圆形纸片对折再对折，得到如下左图，然后沿着虚线剪开，得到两部分．其中一部分展开后的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·浙江丽水·统考一模）5．（2022·浙江丽水·统考一模）
将一张正方形纸片按如图步骤①②，沿虚线对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④，若图③中，，则四边形与原正方形纸面积比为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·浙江衢州·统考一模）如图，是一个锐角，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交射线于点D，E，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，在中，平分交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（ ）
A．等腰三角形底角的平分线B．等腰三角形腰上的高
C．等腰三角形腰上的中线D．等腰三角形顶角的平分钱
9．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
10．（2022·浙江衢州·统考一模）如图，在中，高和交于点F，添加下列哪个条件（ ），不能使得．
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022·浙江台州·统考一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
12．（2022·浙江杭州·二模）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在的位置上， 交AD于点G．已知，那么_________度．
13．（2022·浙江衢州·统考模拟预测）已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为______．
14．（2022·浙江绍兴·一模）等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为_____．
15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．
16．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
三、解答题
17．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
18．（2022·浙江温州·统考二模）如图，在四边形中，，，，垂足为点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
19．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）如图，和都是等边三角形，连接、，与交于点F．
(1)求证；
(2)______．
20．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．
(1)求证：．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
21．（2022·浙江宁波·统考二模）在6×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段AB，其中点A在直线MN上.要求①仅用无刻度直尺；②保留画图痕迹.
(1)在图1中，在直线上找到一点，作，便得；
(2)在图2中，在直线上找到一点，作，使得.
22．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，点C、F、E、B在同一直线上，点A、D分别在BC两侧，AB∥CD，BE＝CF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝DC；
（2）若AB＝CE，∠B＝30°，求∠D的度数．
23．（2022·浙江宁波·统考一模）图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，始终与平台l垂直，连杆BC长度为60cm，机械臂CD长度为40cm，点B，C是转动点，AB，BC与CD始终在同一平面内，张角∠ABC可在60°与120°之间（可以达到60°和120°）变化，CD可以绕点C任意转动．
(1)转动连杆BC，机械臂CD，使张角∠ABC最大，且CD∥AB，如图2，求机械臂臂端D到操作台l的距离DE的长．
(2)转动连杆BC，机械臂CD，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M离底座A的最远距离和最近距离分别是多少？
24．（2022·浙江温州·统考二模）如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多边形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个以为腰的．
(2)在图2中画一个四边形，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．
25．（2022·浙江衢州·校考一模）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cs25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
26．（2022·浙江舟山·统考二模）如图，在中，∠C＝90°，D是边BC上一点，连接AD并延长至点E，AD＝DE，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE．
(1)求证：．
(2)若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的长．
27．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处．求：
(1)甲船与灯塔之间的距离；
(2)两艘货船之间的距离．
28．（2022·浙江温州·统考二模）如图，在△ABD中，∠DAB＝∠DBA，BC⊥BD交AD的延长线于点C，AE⊥AC交BD的延长线于点E．
(1)求证：△ADE≌△BDC．
(2)若CD＝2AD＝2，求AB的长．
29．（2022·浙江丽水·统考二模）图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，画出一个，使的面积为2，点在格点上．
(1)在图1中，画出为钝角三角形．
(2)在图2中，画出为直角三角形．
30．（2022·浙江金华·统考一模）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用直尺分别按要求画出三个顶点都是格点的三角形 (每小题只需画一个) ．
(1)在图1中画△ABD，使AB＝AD．
(2)在图2中画△ABC，使，且∠ACB＝90°．
31．（2022·浙江丽水·统考一模）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
32．（2022·浙江温州·统考一模）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，BC＝DE，连接AC，AD，∠ACD＝∠ADC．
(1)求证：．
(2)若，∠ACD＝65°，求∠BAE的度数．
33．（2022·浙江嘉兴·一模）已知：如图，以线段AC为边在两侧分别作钝角三角形ABC和钝角三角形ADC，其中∠ACB和∠ACD为钝角，且∠BAC=∠DAC，BC=DC．求证：∠B=∠D．小明的证明过程如下框：
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
证明：在和中
∵
∴
∴
参考答案：
1．D
【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2．C
【分析】根据轴对称图形的性质判断即可．
【详解】由题可知，“日”字是轴对称图形，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判定，根据轴对称的性质准确判断是解题的关键．
3．D
【分析】根据轴对称的定义进行判断，若一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形．
【详解】解：选项D为轴对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称，解题的关键是充分理解轴对称图形概念．
4．C
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可根据折痕形成的对角线特点进行判定．
【详解】根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直平分．
故选C．
【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力，以及菱形的判定．掌握“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是解题关键．
5．D
【分析】设原正方形的边长为a，根据图3中，，得到图④中的图形中的线段关系，求出四边形的面积，即可求解.
【详解】根据图示的方法折叠可知四边形为菱形，
∵图③中，，
故在图④中，可知G为OQ中点，∠OHG=30°，
设原正方形的面积为a，则PQ=a，S正方形MNQP=a2,
故OQ=
∴OG=OQ=，EG=2OG=
∵∠OHG=30°
∴HG=2OG=，OH==
∴HF=2OH=
∴S四边形EFGH=EG×HF=a2,
∴四边形与原正方形纸面积比为a2：a2=，
故选D.
【点睛】此题主要考查菱形的面积解，解题的关键是熟知折叠的性质及含30°的直角三角形的性质及菱形的面积公式.
6．B
【分析】先根据三角形的外角性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：，
，
由作图可知，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
7．B
【分析】首先根据角平分线的定义，可得∠ABD=∠DBC，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求得∠DBC=35°，再根据三角形外角的性质，即可求得．
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∵∠DBC+∠ACB+∠BDC=180°，∠BDC=75°，
∴3∠DBC+75°=180°，
∴∠DBC=35°，
∴∠ABD=35°，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD =75°-35°=40°，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，结合图形准确找到相关角的关系是解决本题的关键．
8．D
【分析】根据在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合对各选项进行判断即可．
【详解】解：等腰三角形中三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合．
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质．解题的关键在于熟练掌握三线合一中的三线分别指顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线．
9．D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
10．D
【分析】根据已知条件可得，可得，则再添加一条边相等即可证明，根据选项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵在中， 和是边上的高，
∴，
∴，
，
A、添加，根据AAS即可证明，故该选项正确，符合题意；
B、添加，根据AAS即可证明，故该选项正确，符合题意；
C、添加 ，则是等腰直角三角形，则，根据ASA即可证明，故该选项正确，符合题意；
D、添加，不能得到边相等，无法证明，故该选项不正确，不符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．
【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，
∵是两面互相平行的平面镜，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．
12．64
【分析】由题意得AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=58°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF=58°，再由邻补角的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD∥BC，
∴∠CEF=∠EFG=58°，
由折叠的性质得：∠GEF=∠CEF=58°，
∴∠BEG=180°-∠FEC-∠GEF=180°-58°-58°=64°．
故答案为：64°．
13．或
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得．
【详解】∵等腰三角形的一个外角为，
∴与130°相邻的内角为50°，
当为顶角时，其他两角都为、，
当为底角时，其他两角为、，
所以等腰三角形的顶角为或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题．
14．18或21
【详解】当腰为8时，周长为8+8+5=21；
当腰为5时，周长为5+5+8=18．
故此三角形的周长为18或21
故答案为18或21．
15．（答案不唯一）
【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：添加，理由如下：
为等腰三角形，
，
为等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．
16．10°或100°
【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：如图，点即为所求；
在中，，，
，
由作图可知：，
，
；
由作图可知：，
，
，
，
．
综上所述：的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．
17．(1)25°
(2)①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50°
【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，可得∠ACD，从而α＝∠ACB−∠ACD；
（2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°−α，根据∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α−β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°−α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°−α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．
【详解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵P与E重合，AE平分∠BAC，
∴D在AB边上，AE⊥CD，
∴∠ACD＝65°，
∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；
（2）①如图1，当点P在线段BE上时，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，
∴90°－α＋β＝40°＋α，
∴2α－β＝50°；
②如图2，当点P在线段CE上时，
延长AD交BC于点F，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，
∴90°－α＝40°＋α＋β，
∴2α＋β＝50°．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质．
18．(1)见解析
(2)20°
【分析】（1）根据，可得，，再由，即可求证；
（2）根据，可得，，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵， ，
∴，，
∵，
∴∠AED=∠ABC=90°
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴∠ADC=∠ACD，
∴，
∵，
∴∠ADE+∠DAC=90°，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)60
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，证明是本题的关键．
20．(1)见解析
(2)相等，见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
由（1）得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
21．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】(1)过点B作于点O，再在点O的右侧的MN上取一点C，使OC=OB，点C即为所求的点；
(2)作线段AB的垂直平分线交MN于点E，点E即为所求的点．
（1）
解：如图：点C即为所求的点
（2）
解：如图：点E即为所求的点
【点睛】本题考查了复杂作图，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用数形结合思想解决问题．
22．（1）见解析；（2）75°．
【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得到∠B＝∠C，继而证明△ABF≌△CDE（AAS），据此解题；
（2）由（1）△ABF≌△CDE得，AB＝CD，BF＝CE，证明△ABF是等腰三角形，再根据三角形内角和180°解题．
【详解】证明：（1）∵，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴AB＝CD，BF＝CE，
∵AB＝CE，∠B＝30°，
∴AB＝BF，
∴∠A＝∠AFB，
∴△ABF是等腰三角形，
∴∠A＝，
∴∠D＝∠A＝75°．
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．(1)DE＝40cm
(2)最远距离，最近距离
【分析】（1）延长CD交l于点E，过点B作BF⊥CD，垂足为F．解Rt△BCF，求出CF长，即可求解；
（2）如图，当B、C、共线，物品M离底座A最远，距离为，解Rt△ABD1，求出AD1长；过点C作CG⊥l，垂足为G，解Rt△CGD1，求出D1G长，再利用等腰三角形性质，得D2G的长，从而可求出AD1即可求解．
（1）
解：延长CD交l于点E，过点B作BF⊥CD，垂足为F．
∵CDAB，AB⊥l，
∴CD⊥l．
∴四边形AEFB为矩形，
∴EF＝AB＝50cm．
又∵∠ABC＝120°，
∴∠CBF＝30°．
∴．
∴DE＝EF＋CF－CD＝50＋30－40＝40(cm)．
答：机械臂臂端D到操作台l的距离DE的长为40cm；
（2）
如图，当B、C、共线，物品M离底座A最远，距离为，
∵BC＝60cm，，
∴BD1=BC+CD1=100cm，
∵AB＝50cm，
∴．
∴，
∴∠AD1B=30°，即∠B＝60°，
如图，当∠B＝60°，时，物品M离底座A最近，距离为．
∵，
∴．
过点C作CG⊥l，垂足为G，
∴CG＝CD1=20cm，
∴．
∴D1D2=D1G+D2G=40cm，
∴．
答：物体M离底座A的最远距离和最近距离分别是50cm和10cm．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，结合题中条件，添加适当的辅助线，构造恰当直角三角形是解题的关键．
24．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的特征进行作图即可；
（2）以A或B为固定点，先确定其中一条对角线长为4时的对应点，再根据其中恰有两个内角为90°进行作图即可．
【详解】（1）解：画法不唯一，如图1或图2
（2）解：画法不唯一，如图3、图4、图5、图6、图7或图8
【点睛】本题考查了作图，解题的关键是找准作图的突破口，再根据题目要求进行作图．
25．(1) 25°；（2）2.1.
【详解】试题分析：（1）延长AC交ON于点E，如图，利用互余计算出∠OCE=65°，再利用对顶角相等得到∠ACB=∠OCE=65°，再根据∠ACD=90°-∠ACB即可解决问题；
（2）接着在Rt△ABC中利用∠ACB的余弦可计算出BC，然后根据矩形的性质即可得到AD的长.
试题解析：（1）延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cs∠ACB=，
∴BC=AC•cs65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2），
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）连接，可得为正三角形，即可得出答案；
（2）过作于点，可得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出答案；
【详解】（1）解：如图，连接．
∵甲船位于灯塔 B 的北偏东30°方向
∴∠ABC=60°
∵，，
∴为正三角形，
∴，
即甲船与灯塔之间的距离为．
（2）解：过作于点．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴两艘货船之间的距离为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等边三角形，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)
【分析】（1）通过垂直的定义和对顶角相等进行角度转化，再利用“ASA”得出两个三角形全等；
（2）根据斜边是短直角边长度两倍得出∠CDB=60°，再求∠ADB的度数，从而得出AB的长度．
【详解】（1）∵BD⊥BC，AE⊥AC，
∴∠DAE＝∠DBC＝90°．
∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（ASA）
（2）∵CD＝2AD＝2，
∴BD＝AD＝1，
∵∠DBC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠BDC＝60°，∠DAB＝∠DBC
∴∠DAB＝∠C＝30°，
∴，
∴AB的长为．
【点睛】本题考查了三角形的全等的判定、30°直角三角形特征，掌握这些结论是解决本题的关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形面积公式，当，到的距离为1时，符合题目要求；
（2）以为直径作圆，其中由勾股定理得，，，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角形面积公式计算可得，因此图2中即为所求．
（1）
如图1，即为所求．
由图知：，到的距离为1，
∴，
∴即为所求．
（2）
如图2，即为所求．
由图知：，，，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴即为所求．
【点睛】本题考查了作图—应用设计与作图，正确熟记运用三角形面积公式，勾股定理及其逆定理的应用是解本题的关键．
30．(1)见解析（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）根据格点特点，画出AB＝AD，然后再连接BD即可；
（2）先算出AB的长度，根据，算出BC的长度，根据格点特点画出BC，且使，最后连接AC即可．
(1)
根据格点特点画出AB＝AD，然后再连接BD，则△ABD即为所求三角形，如图所示：
(2)
，
，
∴，
根据格点画出BC的长度，根据格点特点画出BC，且使，连接AC，则△ABC即为所求作三角形．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
31．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由可得两个都是直角三角形，已经给出一条直角边和斜边对应相等，直接用“HL”证明全等即可；
（2）由可得对应边相等，通过勾股定理求出BD，进而求出AF的长．
（1）
证明：∵于点，，
在与中，
∵，
∴；
（2）
∵
∴，
在中，，
又∵，
∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于利用全等三角形的性质将相等的边进行转化．
32．(1)见解析
(2)∠BAE＝130°
【分析】（1）先根据等角对等边得出，再根据即可证明出结论；
（2）根据三角形内角和定理得出∠DAC＝50°，再根据平行线的性质得出∠EAC＝90°，从而∠DAE＝40°，最后由全等三角形的性质可得出∠DAE＝∠BAC＝40°，进一步可得出结论．
（1）
∵∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD．
又∵∠B＝∠E＝90°，BC＝DE，
∴（HL）．
（2）
∵∠ACD＝∠ADC＝65°，
∴∠DAC＝180－65×2＝50°，
∵，
∴∠E＝∠EAC＝90°，
∴∠DAE＝40°，
∵，
∴∠DAE＝∠BAC＝40°，
∴∠BAE＝∠EAC＋∠BAC＝130°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
33．见解析
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AD于点F，利用角平分线的性质得到CE=CF，再利用HL证明Rt△BCERt△DCF，即可证明∠B=∠D．
【详解】解：小明的证法是错误的，
过点C作CE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
∵∠BAC=∠DAC，
∴CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，，
∴Rt△BCERt△DCF（HL），
∴∠B=∠D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解此题的关键．