浙江省2023年中考数学一轮复习 直线与圆的位置关系 练习题（含详解）

这是一份浙江省2023年中考数学一轮复习 直线与圆的位置关系 练习题（含详解），共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
2．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江温州·统考一模）如图 ，是半径为 4 的⊙O ，弦 AB 平移得到 CD（AB 与 CD 位于 O 点的两侧），且线段 CD 与⊙O 相切于点 E，DE＝2CE，若 A，O，D 三点共线时，AB 的长（ ）
A．4B．5C．D．
4．（2022·浙江宁波·校考一模）如图，是外一点，，分别与相切于点，，是上任意一点，过点作的切线，交于点，交于点．若的半径为4，，则的周长为（ ）
A．B．8C．D．12
5．（2022·浙江宁波·校考一模）如图，是半径为1的圆弧，∠AOC等于45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·浙江衢州·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（ ）
A．3﹣B．C．D．
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径作半圆O，与边BC相切于点D，与边AB的另一个交点为E，与边AC相交于点F，连接AD．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）下列命题是假命题的是( )
A．三角形的内心到这个三角形三边的距离相等
B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．直角坐标系中,点(a,b)关于原点成中心对称的点的坐标为(-b,-a)
D．有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形
二、填空题
9．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．
10．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______．
11．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
12．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，与相切于点B，的延长线交于点C．若，则∠C=_____．
13．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将DEF沿EF对折，点D的对称点恰好落在⊙O上．若AB＝6，则AE：ED=_____，OB的长为____．
14．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在中，点是直径的延长线上一点，过点作的切线，C为切点．连接，若，则的度数为____________．
15．（2022·浙江宁波·统考二模）如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点旋转，和相交于点，则的最大值是______，连结，当点正好是的内心时，的长是_____．
三、解答题
16．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．
（1）试证明是的切线；
（2）若的半径为5，，求此时的长．
17．（2022·浙江金华·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）AD为⊙O的直径，AD=2，PO与⊙O相交于点C，若C为PO的中点，求PD的长．
18．（2022·浙江衢州·统考一模）如图，是的外接圆，，是的直径，，与的延长线交于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求与的长．
19．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，点是上一点．
(1)请用直尺和圆规过点作出的一条切线；（不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）
(2)若（1）所作切线上取一点，满足，若半径为2，求的长．
20．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，为的直径，点B是上方半圆上的一点，作平分交于点D，过点D作//交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
21．（2022·浙江金华·一模）如图，已知AB是的直径，为的内接三角形，C为BA延长线上一点，连接CD，于点E，交CD于点F，．
(1)求证：CD是的切线．
(2)若，求的长．
22．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，，求AD的长．
23．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
24．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙与相切，求的度数；
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
25．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．
26．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，以为直径的与相切于点A，点C在左侧圆弧上，弦交于点D，连接．点A关于的对称点为E，直线交于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)当点E在上，连接交于点P，若，求的值；
(3)当点E在射线上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长．
27．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设．
(1)用含的代数式表示．
(2)求证：．
(3)如图2，为的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当时，求的值．
参考答案：
1．A
【分析】这条直线与这个圆的位置关系只要比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可．
【详解】∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径r为6cm，
如果圆心O到一条直线的距离d为7cm，
d>r，
这条直线与这个圆的位置关系是相离．
故选择：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，掌握点到直线的距离与半径的关系是关键．
2．A
【分析】求出点到直线的距离即可求得的最小值．
【详解】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
设，，则，
∵，，
∴，，
解得：，
∵的半径为1，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质．
3．C
【分析】连接OE，延长EO交AB于点F，由题可知，∠OED=90°，AB∥CD，AB=CD，进而得出OF垂直平分AB，根据△OED∽△OFA，得=，得出OF=3，由勾股定理，得AF=，进而求出AB的长.
【详解】解：连接OE，延长EO交AB于点F
由题可知，∠OED=90°，AB∥CD，AB=CD
∴∠OFA=∠OED=90°，∠D=∠DAB
∴△OED∽△OFA
∴=
由垂径定理得AF=AB
又DE＝2CE
∴AF=CE
∴=
∴OF=3
在Rt△AOF中
由勾股定理，得AF==
∴AB=2
故选：C.
【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线的性质，平移的性质，勾股定理以及相似三角形，作辅助线利用相似三角形是解决本题的关键.
4．C
【分析】由切线的性质解得，，据此得到的周长，再在中，利用正切定义解得AB的长即可解答．
【详解】解：，分别与相切于点，，
，
是的切线，切点为P，
，
的周长，
，
，
中，
，
，
，
的周长=，
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理，锐角三角函数解三角形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大，以CO为底DE为高，要使△COD面积最大，则DE最长，进而得出答案.
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE⊥CO于点E，
∵CO=AO=1，∠AOC=45∘，
∴CF=FO=，
∴△AOC的面积=×1×=，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，
∴最小面积无限接近但是不能取到．
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高，要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD=90°时，DE最长为半径，
四边形AODC面积的最大值=△AOC的面积+△COD的面积
=+×1×1=，
即四边形AODC的面积S的取值范围是
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的综合，正确得出四边形的最大值是解题关键.
6．D
【分析】先根据勾股定理计算直径AB==2，作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC=∠DCE，根据外角性质得：∠ACE=∠ECB，则∠ACE=∠ECB=45°，作辅助线后可得：△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=4，
∴AB==2，
∵CD=BD，
∴，
∴∠CAD=∠BAD，
过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，
∴PD=DQ，
∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），
∴CP=BQ，
易得△APD≌△AQD，
∴AP=AQ，
设PC=x，则AP=2+x，AQ=AB-BQ=2-x，
∴2+x=2-x，
x=-1，
∴BQ=CP=-1，OQ=1，
Rt△ODQ中，DQ=PD==2，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，
∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，
∵，
∴∠CAD=∠DCB，
∴∠ACE=∠ECB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠ECB=45°，
过E作EF⊥AP于F，
∴△EFC是等腰直角三角形，
设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，
∵EF∥PD，
∴△AFE∽△APD，
∴，
∴，
∴a=3-，
∴CE=a=（3-）=3-.
故选D．
【点评】本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC是关键．
7．C
【分析】阴影部分的面积可理解为S阴影=S△ABC−S△OBD−S△AOF−S扇形DOF，算出各边的长，代入面积公式即可求解.
【详解】如图，连接OF、OD.
由题意可知S阴影=S△ABC−S△OBD−S△AOF−S扇形DOF，
∵AO=BE=2，
∴DO=2，BO=4.
由题意可得，三角形为直角三角形，
∴BD==，
∴S△BOD=×2×=.
根据RtBOD的三边关系，可知∠BOD=60°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴AC=×AB=3，BC=，
∴△AOF和△DOF均为等边三角形，
∴S△AOF=×2×=，
S扇形DOF==，
∴S阴影=×3×−−−
=．
故选C．
【点睛】本题考查圆中的不规则图形面积的计算．不规则图形面积的计算，可以采取“割补”的方式，解决本题的关键在于阴影部分的面积可以用大图形的面积减去小图形的面积．
8．C
【分析】根据三角形内切圆、等边三角形的判定、关于原点对称点的性质、正方形的判定进行分析即可.
【详解】：A. 三角形的内心到这个三角形三边的距离相等,是真命题，故此选项错误；
B. 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故此选项错误；
C. 直角坐标系中,点(a,b)关于原点成中心对称的点的坐标为(-b,-a)，是假命题，故此选项正确;
D. 有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形, 是真命题，故此选项错误.
故选C.
9．或
【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【详解】解：连接OA，
①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，
设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∵AC=2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，
解得：r=，
即AD=AO=；
②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AO•AC=OC•AD，
∴AD=，
∵AO=，AC=2，OC=4-r=，
∴AD=，
综上所述，AD的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
10． 60°##60度
【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
∵将沿弦折叠
∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB
∴
∵
∴四边形MEOF中
即的度数为60°；
∵，
∴（HL）
∴
∴
∴
∵MO⊥DC
∴
∴
故答案为：60°；
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．
11．##
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
12．##25度
【分析】连接，与相切于点B，得到，根据三角形内角和得到的度数，然后用三角形外角的性质求出的度数．
【详解】解：如图：连接，
∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，求出的度数是解题的关键．
13． 1:2； ．
【分析】连接OE、OD′，作OH⊥ED′于H，根据垂径定理的推论和折叠性质，通过证得AEO≌△HEO（AAS），，设OB=OE=x．则AO=6-x，根据勾股定理得x2=22+（6-x）2，解方程即可求得结论．
【详解】解：连接、，作于，
根据垂径定理得，
∵将△DEF沿EF对折得△D′EF，
∴，，
∴，
∵正方形，
∴，，
∵是⊙的切线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在△AEO和△HEO中
，
∴，
∴，
AE：ED=
∵AE+ED=AE+2AE=3AE=AD=6，
∴，
设．则，
在中，，
解得，
∴．
故答案为：1:2；．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质，勾股定理，垂径定理的推论，切线的性质和判定、方程，全等三角形的判定与性质等知识；掌握正方形的性质、折叠性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质和判定、方程，全等三角形的判定与性质等知识；关键是作出辅助线构造三角形全等．
14．
【分析】连接，根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出的度数，然后再根据三角形的外角和定理，得出，再根据等边对等角，得出，再进行计算即可得出的度数．
【详解】解：连接，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵点是直径的延长线上一点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角和定理、等边对等角，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
15．
【分析】证得BG与DE垂直，进而可得到点K的运动轨迹在以BD为直径的圆上，进而可求得的最大值；当点正好是的内心时，作于点N，于点H，延长EC交BD于点O，证得BE=DE，，，进而可求得CN的长，最后求得CK的长．
【详解】解：∵，，
∴
又∵
∴
∴
如下图，CG与DE交点为M，则有
∴
∴
∴
∴为直角三角形
∴交点K的运动轨迹在以BD为直径的圆上，圆心为BD中点O，显然点A、C也在圆上，AK为该圆的弦，故AK最大值为圆的直径AC，即当点K与点C重合时取得最大值
此时．
如下图，当点正好是的内心时，作于点N，于点H，延长EC交BD于点O
∵EC为的角平分线，BC为的角平分线
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
显然此时四边形CHKN为正方形
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质特征，全等形的判定及性质，相似的判定及性质，圆的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）连接，，证出是等腰三角形，结合图形得出是的中位线，因为， ，证出即可得出是的切线；
（2）由（1）可得，，，在中，由勾股定理求得BD的长度，证出，根据相似三角形对应边成比例可求得DE的长．
【详解】（1）证明：连接，，
∵为的直径，
∴，
又∵，是等腰三角形，
∴又是边上的中线，
∴是的中位线，
∴，
又，
∴，
∴是的切线．
（2）由（1）知，是边上的中线，
得．
∵的半径为5，
∴．
在中，
∵，
∴．
在和中，∵，，
∴，
∴，
即，解得．
【点睛】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三角形的判定是解题的关键．
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用SSS证明△APO≌△BPO，推出∠PBO=∠PAO =90º，即可证明PB是⊙O的切线；
（2）先求得PO=2，PA=，在Rt△PAD中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接OB，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90º，
∵点B在⊙O上，
∴AO=BO，
∵PA=PB，PO=PO，
∴△APO≌△BPO(SSS)，
∴∠PBO=∠PAO =90º，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，AD=2，
∴OA=1，
∵C为PO的中点，
∴PO=2，
∴PA=，
∴在Rt△PAD中，由勾股定理可得PD=．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定可得垂直平分，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接，交于点，先在中，利用正切的定义、勾股定理可得，再设，则，在中，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后在中，利用勾股定理可得的长．
(1)
证明：如图，连接，
，
垂直平分，
，
，
又是的半径，
是的切线．
(2)
解：如图，连接，交于点，
由（1）已证：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
是的直径，
，
在中，．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、正切等知识点，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定理是解题关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据过直线上一点作直线的垂线的作法，即可作得；
(2)根据勾股定理即可求得．
（1）
解：如图：(1)连接OA，并延长OA到C，使AC=OA
(2)分别以点O、C为圆心，以大于OA的长度为半径画弧，两弧交于点M
(3)过点M、A作直线AM，直线AM即为所求的直线
如图：连接OM、CM
由作法可知：点A是线段OC的中点，OM=CM

又是半径
是的切线
（2）
解：如图：连接OB
，OA=2，AB=3
在中，
【点睛】本题考查了过直线上一点作直线的垂线的作法，切线的判定定理，勾股定理，熟练掌握和运算过直线上一点作直线的垂线的作法是解决本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），先连接OD，再根据直径所对的圆周角是直角及角平分线定义求出∠ABD=45°，然后根据圆周角定理求出∠AOD=90°，最后结合平行线的性质得∠ODE=90°，结合切线的判定得出答案；
对于（2），先根据两角对应相等的两个三角形相似得△ABD△DBE，再根据相似三角形的对应边成比例，同时代入数值求出答案即可．
(1)
连结OD，
∵AC使⊙O的直径，
∴∠ABC=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=90°．
∵AC∥DE，
∴∠ODE=∠AOD=90°，
即OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．
(2)
∵AC∥DE，
∴∠E=∠BCA=∠ADB．
∵∠ABD=∠DBE=45°，
∴△ABD△DBE，
∴．
∵AB=2，BE=3，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，相似三角形的性质和判定等，掌握性质定理是解题的关键,连接圆心和圆上的点，再证明垂直是圆的切线的判定的常用方法．
21．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠AEO＝90°，从而可得∠OAD＋∠AOF＝90°，再根据等腰三角形的性质，可得∠OAD＝∠ODA，从而可得∠ADC＋∠ODA＝90°，进而可得∠ODC＝90°，即可得证；
（2）在Rt中，由可得∠C＝30°，然后证明是等边三角形，解直角三角形求出AD＝2，可得OD＝2，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠OAD＋∠AOF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC＋∠ODA＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt中，，
∴∠C＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OA＝OD，
∴是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
在Rt中，AD＝，
∴OD＝2，
∴的长为：．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接OE，根据已知条件和切线的性质证明四边形OFCE是矩形，再根据矩形的性质证明即可；
（2）根据题意，结合（1）可知，再由直角三角形中“30°角所对的直角边是斜边的一般”的性质，可推导，最后由计算AD的长即可．
【详解】（1）解：如图，连接OE，
∵AC切半圆O于点E，
∴OE⊥AC，
∵OF⊥BC，，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四边形OFCE是矩形，
∴OF＝EC；
（2）∵，
∴，
∵，OE⊥AC，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含30°角的直角三角形性质等知识，正确作出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键．
23．(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；
（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
【详解】（1）解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
24．(1)证明见详解
(2)
(3)作图见详解
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明；
（2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解；
（3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵与相切，
∴，
又∵，
∴．
（3）如下图，点就是所要作的的中点．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)①或；②
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可；
（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题．
【详解】（1）解：如图1，连结．设半圆O的半径为r．
∵切半圆O于点D，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，即半圆O的半径是．
（2）由（1）得：．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）①显然，所以分两种情况．
ⅰ）当时，如图2．
∵，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3，
则四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∴．
综上所述，x的值是或．
②如图4，连结，
由对称可知，
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵，，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴，
∴，
即：，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴
∴，
∴．
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
26．(1)证明过程见解析
(2)
(3)或或或
【分析】（1）设CD与AB相交于点M，由与相切于点A，得到，由，得到，进而得到，由平行线的性质推导得，，，最后由点A关于的对称点为E得到即可证明．
（2）过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，证明得到，再证明得到；最后根据及得到和，最后根据平行线分线段成比例求解．
（3）分四种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，如图3中，当时，如图4中，当时，分别求解即可．．
【详解】（1）证明：如图，设CD与AB相交于点M，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴．
（2）解：过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：，
∵为的直径，且，由垂径定理可知：，
∴，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴，即，
∴，
由同弧所对的圆周角相等可知：，且，
∴，
∴，
∵，AB与CD交于点N，
∴．
∵，，
∴，
∴，设KE=2x，EN=5x，
∵点A关于的对称点为E，
，，，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：分类讨论如下：
如图1中，当时，连接，，设，则，
∵，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∵，
，
，
；
如图2中，当时，连接，设交点．
设，
∵，
，
，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
如图3中，当时，连接，，
设，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
、，
、，
、，
，
；
如图4中，当时，连接，，．
设，
∵，
，
，
，
，
，
由，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的长为或或或，
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的相关性质，相似三角形，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．
27．(1)
(2)见解析
(3)①3；②
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）由（1）的结论，、证即可；
（3）①通过角的转换得，即可求的长；②连结，证，设，则，由相似的性质即可求解；
【详解】（1）∵，①
又∵，②
②-①，得2，
∴．
（2）由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）①∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，
∵为的直径，
∴．
∴．
∴与的度数之比为3∶2．
∴与的的长度之比为3∶2，
∵，
∴．
②如图，连结．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
设与的相似比为k，
∴．
∵，
∴设，则，
∴，
，
∴，
由，得，
解得，（舍），
∴，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．