人教版数学九年级上册 第22章 《二次函数》单元测试题（含答案）

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第22章 《二次函数》单元测试题限时：120分钟 满分：120分一．选择题（每题3分，共36分）1．抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（　　）A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4）2．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y23．对抛物线：y＝﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（　　）A．与x轴有两个交点 B．开口向上 C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标是（1，﹣2）4．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（　　）A．1米 B．5米 C．6米 D．7米5．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠36．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0 D．3是方程ax2+bx+c＝0的一个根7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（　　）A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+48．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x29．已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，则直线y＝ax﹣1经过的象限是（　　）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限10．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（　　）A． B． C． D．11．已知拋物线y＝﹣x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是（　　）A．2 B． C． D．12．小明从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b＝0，⑤4a+2b+c＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（每题4分，共,20分）13．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过 象限．14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．15．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是　 　．16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是　 　m．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限．设m＝a+b+c，则m的取值范围是　 　．三．解答题（共64分）18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．19．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是　 　（直接写出结果）．20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为　 　；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：（1）求该二次函数的表达式；（2）当y≥4时，求自变量x的取值范围．23．如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B（2，0），点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．参考答案一．选择1．解：∵y＝x2﹣6x+5，＝x2﹣6x+9﹣9+5，＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4）．故选：A．2．解：根据题意，得y1＝1+6+c＝7+c，即y1＝7+c；y2＝4﹣12+c＝﹣8+c，即y2＝﹣8+c；y3＝9+2+6﹣18﹣6+c＝﹣7+c，即y3＝﹣7+c；∵7＞﹣7＞﹣8，∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c，即y1＞y3＞y2．故选：B．3．解：A、∵△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；C、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；D、∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．故选：D．4．解：∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，∴当t＝1时，小球距离地面高度最大，∴h＝﹣5×（1﹣1）2+6＝6米，故选：C．5．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．故选：B．6．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故C选项错误；∵对称轴x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故B选项错误；∵对称轴x＝1，∴另一个根为1+2＝3，故D选项正确．故选：D．7．解：由原抛物线解析式可变为：y＝（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），与y轴交点的坐标为（0，3），又由抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）中心对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4），∴新的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4．故选：B．8．解：用作图法比较简单，首先作出y＝（x﹣a）（x﹣b）图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．故选：C．9．解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，∴a＞0；又∵直线y＝ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，∴y＝ax﹣1经过的象限是第一、三、四象限．故选：D．10．解：A、根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；B、根据图象可知，函数在对称轴的左边是减函数，函数y随x增大而减小；函数在对称轴的右边是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；C、根据图象可知，函数在两个象限内是减函数，但是如果不说明哪个象限内是不能满足题意的；故本选项错误；D、根据图象可知，函数在实数范围内是减函数，即函数y随x增大而减小；故本选项正确．故选：D．11．解：∵拋物线y＝﹣x2+2的二次项系数a＝﹣＜0，∴该抛物线图象的开口向下；而对称轴就是y轴，∴当1≤x≤5时，拋物线y＝﹣x2+2是减函数，∴当1≤x≤5时，y最大值＝﹣+2＝．故选：C．12．解：①由二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交点在负半轴，c＜0，正确；②由图象可知x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，正确；③对称轴x＝﹣＞0，a＞0，b＜0，abc＞0，正确；④对称轴x＝﹣＝，﹣3b＝2a，2a﹣3b＝﹣6b，错误；⑤由图象可知x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，正确．所以①②③⑤四项正确．故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，∴△＝b2+4c＜0，∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c中，二次项系数﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，∵判别式＝（﹣b）2﹣4×（﹣1）×c＝b2+4c＜0，∴抛物线与x轴无交点，∴抛物线在x轴的下方，∴抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过第三、四象限；故答案为：三、四．14．解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．故答案为：x＝3．15．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．16．解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t＝18时，y＝594，所以600﹣594＝6（米）故答案是：6．17．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）、（﹣1，0），∴c＝﹣3，a﹣b+c＝0，即b＝a﹣3，∵顶点在第四象限，∴﹣＞0，＜0，又∵a＞0，∴b＜0，∴b＝a﹣3＜0，即a＜3，b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0∵a﹣b+c＝0，∴a+b+c＝2b＜0，∴a+b+c＝2b＝2a﹣6，∵0＜a＜3，∴a+b+c＝2b＝2a﹣6＞﹣6，∴﹣6＜a+b+c＜0．∴﹣6＜m＜0．故答案为：﹣6＜m＜0．三．解答题（共6小题）18．解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，解得x1＝0，x2＝4，∴A（0，0），B（4，0）．答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，当x＝4时，y＝3a+3，所以点Q的纵坐标为3a+3．②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，3a+3≥0，∴a≥﹣1∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，∴﹣1≤a＜0当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，所以抛物线与点P不相交．综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜019．解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，把（1500，55）与（2000，50）代入y＝kx+b得，，解得：，∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；（2）根据题意得，P＝（y﹣40）x＝（﹣x+70﹣40）x＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣1500）2+22500，∵﹣＜0，P有最大值，当x＜1500时，P随x的增大而增大，∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，答：每天的最大销售利润是22500元；（3）由题意得，P＝（﹣x+70﹣40+m）x＝﹣x2+（30+m）x，∵对称轴为x＝50（30+m），∵1000≤x≤2500，∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，50（30+m）≥2500，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤40．故答案为：20≤m≤40．20．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）∴直线BC的解析式为，∵∴∴＝，由S△BCD＝2S△AOC得：∴，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值为1或2；（3）存在，理由：设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），①当BC是平行四边形的边时，当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s，解得：m＝﹣2或4，故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；②当BC为对角线时，由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2，解得：m＝2，故点M（2，2）；综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．21．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（2）连接BC，如图1所示，∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），且过B（5，0），C（0，﹣）∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝2时，y＝1﹣＝﹣，∴P（2，﹣），故答案为：（2，﹣）；（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D＝OC＝，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣＝，解得x＝2+或x＝2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣）或（2+，）或（2﹣，）．22．解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称，即对称轴是直线x＝﹣，设二次函数的表达式是y＝a（x+）2+k，把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：，解得：a＝1，k＝﹣，y＝（x+）2﹣＝x2+x﹣2，所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2；（2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4，解得：x＝﹣3或2，所以当y≥4时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x≥2．23．解：（1）在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，即点A的坐标为：（﹣6，0），将A（﹣6，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；（2）设点D的坐标为：（m，m2+m﹣3），设DE交AC于F，则点F的坐标为：（m，﹣m﹣3），∴DF＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣m2﹣m，∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝DF•AE+•DF•OE＝DF•OA＝×（﹣m2﹣m）×6＝﹣m2﹣m＝﹣（m+3）2+，∵a＝﹣＜0，∴抛物线开口向下，∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值，又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，∴存在点D（﹣3，﹣），使得△ADC的面积最大，最大值为；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D（﹣4，﹣3），根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D（﹣4，﹣3）关于x轴的对称点D′（﹣4，3），直线AD′的解析式为y＝x+9，由，解得或，此时直线AD′与抛物线交于D（8，21），满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣4，﹣3）或（8，21）x…﹣2﹣1012…y…0﹣2﹣204…