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人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数 学案1
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《二次函数》教学设计 课程名称二次函数教学对象九年级科 目数学课时安排1课时一、教材分析本节课是二次函数的复习课，是在学生已经能应用二次函数的基础知识解决一些简单的数学问题，如二次函数的图形及其性质，用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标，应用二次函数解决一些简单的实际问题等，本节课主要探究二次函数的图形变换和将二次函数与多边形结合的数学问题的解题通法，让学生进一步体验“数形结合”的数学思想．二、教学目标及难重点教学目标： （1）能将二次函数与其他知识相关联，形成解决二次函数图形变换问题和求取多边形未知顶点坐标的解题通用方法； （2）经历探究二次函数视角下图形变换及与“直线型”综合问题的通用解法的探究过程，进一步体验数形结合的思想； （3）依托信息技术的直观演示，发展学生的空间观念、几何直观、推理能力和模型思想．教学重点：在动态变换的直观演示中，归纳解题通法．教学难点：在直观演示中充分体验“数形结合”，形成解题通法．三、教学策略选择与设计教法：情境教学法、活动教学法、多媒体教学法等．学法：主动探究法、情境体验法、成果展示法等．四、教学环境及设备、资源准备教学环境：多媒体、电子交互白板、黑板教师准备：活动单，学习小组划分教学资源：活动单、多媒体课件等五、教学过程教学过程教师活动学生活动媒体设备资源应用分析情境引入活动一体验变换归纳通法活动二 演示变换明晰原理活动三即时训练巩固提升活动四小结提炼知识建构 活动五布置作业延伸拓展引入：信息技术的引入，给初中数学课堂带来的勃勃生机，它能形象直观地展示数与形之间的互换，充分展示“数形结合”的数学思想．上学期，我们已经探究了二次函数的一些基本知识，今天，我们将借助电子白板来继续探究二次函数的知识．（板书课题：二次函数）投影1：例1 填空： （1） 将y＝( x－6)2＋3向左平移2个单位，向下平移1个单位所得抛物线解析式为_________； （2）将y＝( x－6)2＋3沿y轴翻折所得抛物线的解析式为_______； （3）将y＝(x－6)2＋3绕原点旋转180°后所得抛物线的解析式为_____． 演示三种抛物线的动态变换:平移，翻折，旋转．投影2（4）将抛物线y＝2(x－2)2＋1沿直线x＝1翻折，再绕点（1，0）旋转180°后所得抛物线解析式为___________．投影3例2 如图，直线y＝－x＋2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝－x2＋x＋2过A、B两点．（1）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这条抛物线于N．MN是否有最大值？如果有，请求出MN的最大值和此时t的取值；如果没有，请说明理由．（2）在（1）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求顶点D的坐标．白板演示：平移直线MN，引导学生发现线段MN有最大值并找出求最大值的方法．用“拉幕”展示例2（1）的解题过程．演示例2（2）中平行四边形的建构过程：将△ANM绕各边的中点旋转180度．（操作演示并分别标出D1，D2，D3．）通过探究归纳并作图：过已知三角形的顶点作平行于对边的直线．板书：作平行线——平行——平行四边形投影4已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴．在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．白板演示：确定等腰三角形第三个顶点的作图方法：作圆，作垂直平分线板书：作圆和作垂直平分线——等腰——等腰三角形． 指导学生求出例2，巩固训练中的点的坐标并进行评析．指导小结本课的收获投影5以形助数，形给了数直觉；以数解形，数赋予形灵动！投影6布置作业1．将y＝2(x＋2)2－1沿直线x＝2翻折，再绕点（1，0）旋转180°后所得抛物线解析式为__________．2．已知抛物线经过A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．在老师的描述中，初步感知信息技术引入课堂后，对初中数学的影响，并明了今天的学习任务．读题，并明了这组题中涉及到的三种常见图形变换：平移，翻折，旋转感知三种图形变换，并归纳：由于在变换中，抛物线的形状不变，所以确定变换后的新抛物线的解析式，关键看开口方向和顶点坐标．应用发现的结论解决（4），要注意“数学结合”的思想．学生读题，感知并尝试探究．在平移中感悟线段MN有最大值，并得出求最大值的方法．先口述答案，然后通过老师给出的解答过程进行验证．感知平行四边形的建构过程，为“作平行线”建构平行四边形找到理论上支撑．归纳建构“平行四边形”的一般方法：过已知三角形顶点作对边的平行线学生读题，初步感知本题的研究内容，思考：如何确定等腰三角形第三个顶点的位置．观察作图过程，找寻符合要求的顶点．归纳建构“等腰三角形”的一般方法：作圆和作垂直平分线，得到第三个顶点．小结本课的收获记录作业介绍信息技术给初中数学课堂带来的变化和已学的二次函数的基础知识，迅速吸引学生的眼球，让他们融入课堂．应用多媒体技术演示抛物线的平移、翻折、旋转，让学生充分感知变换中抛物线“保形”的特点，并找出图形变换过程中从形的角度发现的“变”与“不变”，进而找寻出确定新抛物线解析式的关键：开口方向和顶点坐标．应用多媒体技术平移直线MN，让学生体验在直线“自右向左”平移过程线段中，MN的长度 “由小变大，再由大变小”，得出结论并找出确定最大值的方法．为了让学生获得建构平行四边形的一般性方法，根据平行四边形的中心对称的性质，通过多媒体技术将△ANM绕各边的中点旋转180度，得出了符合题意的三个顶点．直观的演示，对学生归纳“过顶点作对边平行线”的解题通法起了决定性作用．通过电子白板中的“圆规”作圆、通过“直线”工具作线段的垂直平分线．借助直观作图让学生发现符合题意的第三个顶点．应用已有的方法，在现有的的展示界面上，将学生求例2，例3中点的坐标的方法演示，并得出坐标．归纳本课收获布置作业六、教学评价设计在本课的教学过程中，评价主体是多元的，有教师的评价，有学生的互评，有学生自我的评价等，本课中，我采用了多种评价方式：即时评价，对学生的课堂中的点滴表现进行鼓励性的即时评价；延迟评价，这是数学学习的特点，对学生的解题方法在验证后给出准确的评价；过程性评价，对学生的学习过程中的表现给予准确评价；总结性评价，对学生在课堂中的整个学习结果进行总结性评价．本课教学评价的内容十分丰富，既评价学生的学习结果，也评价学生的学习过程，从多角度、全方位对学生的学习活动进行评价，有利于激发和保持学生参与学习的积极性和求知欲望，提高学习效率．课后反思 1．直观演示，“空想”变为现实在本课的教学中，笔者借助信息技术，向学生提供了与本课教学内容相配套的动态学习资源．无论是片断一中的抛物线的运动，还是片断二中的三角形的中心对称变换，原本都应该在学生脑海中“运行”．在笔者的课堂中，通过直观演示，将这些变换过程完整地展示在学生的眼前，“呈现出抽象图象”的直观变换．一方面加深了学生对二次函数及与之相关联的知识的理解，为学生得出解题的一般方法提供帮助；另一方面，由信息技术引领的直观演示，为学生积累了丰富的数学活动经验，为他们今后自主探究此类问题提供了借鉴．在信息技术的指引下，原本在学生脑海中的“空想”，跃然眼前，成为现实，提高了课堂学习的效率和效益． 2．适时归纳，方法“无痕”生成信息技术，是帮助学生学习数学知识、训练数学技能、渗透数学思想以及获取数学活动经验的辅助性工具，所起的作用就是“辅助学习”．在快节奏、大容量的课堂教学中，主体依然是学生，不管技术多么先进，都无法替代学生的思维．因此，对数学知识、方法、思想、解题的一般策略等的阶段性归纳，在这样的课堂上显得尤为重要．尤其是有些动态的演示，结论或方法的发现往往就在一瞬间，这样的机会稍纵即逝．由此可见，适时的整理归纳是必须的．在上面的两个片断中，让学生充分感知、积极互动交流之后，笔者都对此类问题的一般解法进行了认真的小结梳理，顺着学生认知的主线，方法得出水到渠成，不留“痕迹”． 3．技术投入，“适生、适时、适度”新课标指出：“教学中应有效地使用信息技术资源，发挥其对数学学习的积极作用”．本课中，二次函数图象的运动是学生认知的难点，而由二次函数引申出的其他问题更是学生认知的“盲区”．在这两个片断中，信息技术的投入，符合学情需求，顺应学生的认知，对学生的知识学习、方法归纳起到了很好的帮助，使用恰如其分、恰到好处．在这两个片断中，很好地展示了函数图象、几何图形的运动变化，帮助学生突破了认知的难点，使用恰在课堂教学的关键之处，真正做到了“雪中送炭”．
《二次函数》教学设计 课程名称二次函数教学对象九年级科 目数学课时安排1课时一、教材分析本节课是二次函数的复习课，是在学生已经能应用二次函数的基础知识解决一些简单的数学问题，如二次函数的图形及其性质，用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标，应用二次函数解决一些简单的实际问题等，本节课主要探究二次函数的图形变换和将二次函数与多边形结合的数学问题的解题通法，让学生进一步体验“数形结合”的数学思想．二、教学目标及难重点教学目标： （1）能将二次函数与其他知识相关联，形成解决二次函数图形变换问题和求取多边形未知顶点坐标的解题通用方法； （2）经历探究二次函数视角下图形变换及与“直线型”综合问题的通用解法的探究过程，进一步体验数形结合的思想； （3）依托信息技术的直观演示，发展学生的空间观念、几何直观、推理能力和模型思想．教学重点：在动态变换的直观演示中，归纳解题通法．教学难点：在直观演示中充分体验“数形结合”，形成解题通法．三、教学策略选择与设计教法：情境教学法、活动教学法、多媒体教学法等．学法：主动探究法、情境体验法、成果展示法等．四、教学环境及设备、资源准备教学环境：多媒体、电子交互白板、黑板教师准备：活动单，学习小组划分教学资源：活动单、多媒体课件等五、教学过程教学过程教师活动学生活动媒体设备资源应用分析情境引入活动一体验变换归纳通法活动二 演示变换明晰原理活动三即时训练巩固提升活动四小结提炼知识建构 活动五布置作业延伸拓展引入：信息技术的引入，给初中数学课堂带来的勃勃生机，它能形象直观地展示数与形之间的互换，充分展示“数形结合”的数学思想．上学期，我们已经探究了二次函数的一些基本知识，今天，我们将借助电子白板来继续探究二次函数的知识．（板书课题：二次函数）投影1：例1 填空： （1） 将y＝( x－6)2＋3向左平移2个单位，向下平移1个单位所得抛物线解析式为_________； （2）将y＝( x－6)2＋3沿y轴翻折所得抛物线的解析式为_______； （3）将y＝(x－6)2＋3绕原点旋转180°后所得抛物线的解析式为_____． 演示三种抛物线的动态变换:平移，翻折，旋转．投影2（4）将抛物线y＝2(x－2)2＋1沿直线x＝1翻折，再绕点（1，0）旋转180°后所得抛物线解析式为___________．投影3例2 如图，直线y＝－x＋2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝－x2＋x＋2过A、B两点．（1）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这条抛物线于N．MN是否有最大值？如果有，请求出MN的最大值和此时t的取值；如果没有，请说明理由．（2）在（1）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求顶点D的坐标．白板演示：平移直线MN，引导学生发现线段MN有最大值并找出求最大值的方法．用“拉幕”展示例2（1）的解题过程．演示例2（2）中平行四边形的建构过程：将△ANM绕各边的中点旋转180度．（操作演示并分别标出D1，D2，D3．）通过探究归纳并作图：过已知三角形的顶点作平行于对边的直线．板书：作平行线——平行——平行四边形投影4已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴．在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．白板演示：确定等腰三角形第三个顶点的作图方法：作圆，作垂直平分线板书：作圆和作垂直平分线——等腰——等腰三角形． 指导学生求出例2，巩固训练中的点的坐标并进行评析．指导小结本课的收获投影5以形助数，形给了数直觉；以数解形，数赋予形灵动！投影6布置作业1．将y＝2(x＋2)2－1沿直线x＝2翻折，再绕点（1，0）旋转180°后所得抛物线解析式为__________．2．已知抛物线经过A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．在老师的描述中，初步感知信息技术引入课堂后，对初中数学的影响，并明了今天的学习任务．读题，并明了这组题中涉及到的三种常见图形变换：平移，翻折，旋转感知三种图形变换，并归纳：由于在变换中，抛物线的形状不变，所以确定变换后的新抛物线的解析式，关键看开口方向和顶点坐标．应用发现的结论解决（4），要注意“数学结合”的思想．学生读题，感知并尝试探究．在平移中感悟线段MN有最大值，并得出求最大值的方法．先口述答案，然后通过老师给出的解答过程进行验证．感知平行四边形的建构过程，为“作平行线”建构平行四边形找到理论上支撑．归纳建构“平行四边形”的一般方法：过已知三角形顶点作对边的平行线学生读题，初步感知本题的研究内容，思考：如何确定等腰三角形第三个顶点的位置．观察作图过程，找寻符合要求的顶点．归纳建构“等腰三角形”的一般方法：作圆和作垂直平分线，得到第三个顶点．小结本课的收获记录作业介绍信息技术给初中数学课堂带来的变化和已学的二次函数的基础知识，迅速吸引学生的眼球，让他们融入课堂．应用多媒体技术演示抛物线的平移、翻折、旋转，让学生充分感知变换中抛物线“保形”的特点，并找出图形变换过程中从形的角度发现的“变”与“不变”，进而找寻出确定新抛物线解析式的关键：开口方向和顶点坐标．应用多媒体技术平移直线MN，让学生体验在直线“自右向左”平移过程线段中，MN的长度 “由小变大，再由大变小”，得出结论并找出确定最大值的方法．为了让学生获得建构平行四边形的一般性方法，根据平行四边形的中心对称的性质，通过多媒体技术将△ANM绕各边的中点旋转180度，得出了符合题意的三个顶点．直观的演示，对学生归纳“过顶点作对边平行线”的解题通法起了决定性作用．通过电子白板中的“圆规”作圆、通过“直线”工具作线段的垂直平分线．借助直观作图让学生发现符合题意的第三个顶点．应用已有的方法，在现有的的展示界面上，将学生求例2，例3中点的坐标的方法演示，并得出坐标．归纳本课收获布置作业六、教学评价设计在本课的教学过程中，评价主体是多元的，有教师的评价，有学生的互评，有学生自我的评价等，本课中，我采用了多种评价方式：即时评价，对学生的课堂中的点滴表现进行鼓励性的即时评价；延迟评价，这是数学学习的特点，对学生的解题方法在验证后给出准确的评价；过程性评价，对学生的学习过程中的表现给予准确评价；总结性评价，对学生在课堂中的整个学习结果进行总结性评价．本课教学评价的内容十分丰富，既评价学生的学习结果，也评价学生的学习过程，从多角度、全方位对学生的学习活动进行评价，有利于激发和保持学生参与学习的积极性和求知欲望，提高学习效率．课后反思 1．直观演示，“空想”变为现实在本课的教学中，笔者借助信息技术，向学生提供了与本课教学内容相配套的动态学习资源．无论是片断一中的抛物线的运动，还是片断二中的三角形的中心对称变换，原本都应该在学生脑海中“运行”．在笔者的课堂中，通过直观演示，将这些变换过程完整地展示在学生的眼前，“呈现出抽象图象”的直观变换．一方面加深了学生对二次函数及与之相关联的知识的理解，为学生得出解题的一般方法提供帮助；另一方面，由信息技术引领的直观演示，为学生积累了丰富的数学活动经验，为他们今后自主探究此类问题提供了借鉴．在信息技术的指引下，原本在学生脑海中的“空想”，跃然眼前，成为现实，提高了课堂学习的效率和效益． 2．适时归纳，方法“无痕”生成信息技术，是帮助学生学习数学知识、训练数学技能、渗透数学思想以及获取数学活动经验的辅助性工具，所起的作用就是“辅助学习”．在快节奏、大容量的课堂教学中，主体依然是学生，不管技术多么先进，都无法替代学生的思维．因此，对数学知识、方法、思想、解题的一般策略等的阶段性归纳，在这样的课堂上显得尤为重要．尤其是有些动态的演示，结论或方法的发现往往就在一瞬间，这样的机会稍纵即逝．由此可见，适时的整理归纳是必须的．在上面的两个片断中，让学生充分感知、积极互动交流之后，笔者都对此类问题的一般解法进行了认真的小结梳理，顺着学生认知的主线，方法得出水到渠成，不留“痕迹”． 3．技术投入，“适生、适时、适度”新课标指出：“教学中应有效地使用信息技术资源，发挥其对数学学习的积极作用”．本课中，二次函数图象的运动是学生认知的难点，而由二次函数引申出的其他问题更是学生认知的“盲区”．在这两个片断中，信息技术的投入，符合学情需求，顺应学生的认知，对学生的知识学习、方法归纳起到了很好的帮助，使用恰如其分、恰到好处．在这两个片断中，很好地展示了函数图象、几何图形的运动变化，帮助学生突破了认知的难点，使用恰在课堂教学的关键之处，真正做到了“雪中送炭”．
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