初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角练习

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一、单选题
1．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE=BEB．CE=DEC．AC=BCD．AD=BD
【答案】B
【分析】回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，即可得出选项．
【详解】∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故选:B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图在中，若点是的中点，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的基本性质推出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】此题考查的是圆的基本性质,掌握等弧所对的圆心角相等是解决此题的关键.
3．（2022·湖南岳阳·模拟预测）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70°B．60°C．40°D．35°
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，∠AOC=140°，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=90°，求得△AOB是等腰直角三角形，过点O做OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴,
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意在“同圆或等圆”中才适用，这是此类问题的易错点．
6．（2022·全国·九年级专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
【答案】D
【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A. 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧；故A错误；
B. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故B错误；
C. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；故C错误；
D. 圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，故D正确；
故选D.
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理及其推论，中心对称图形等知识，熟练掌握有关性质是解答关键.
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A，B，C，D在上，，点D是的中点，则的度数是（ ）
A．36B．40C．46D．72
【答案】A
【分析】连接OD，根据点D是中点求出∠COD，再利用圆周角定理得出结果．
【详解】解：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠COD= ，
∴∠B= ，
故选择A．
【点睛】本题考查圆周角定理以及弧和圆心角关系，注意通过弧进行角的转化是解决问题的关键．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）在中，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】取的中点E，连接CE，DE，可得，根据等弧所对的弦相等可得AB=CE=DE，最后根据三角形三边之间的关系即可进行判断．
【详解】解：如图：，取的中点E，连接CE，DE；
∵，点E为的中点，
∴，
∴AB=CE=DE，
∵CE+DE>CD，
∴2AB>CD，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等弧对等弦以及三角形三边之间的关系，熟练掌握相关内容，将成倍数关系的弧转化为等弧是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
【答案】C
【分析】先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°，即可得到答案．
【详解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．
【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．
∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°，
∴∠COD=∠BOT，
∴，
∴CD=BT=4，
∵AT是直径，AT=6，
∴∠ABT=90°，
∴AB==，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
二、填空题
13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】
【分析】连接AB、BC，根据题意得AB=BC=CD，再根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：如图，连接AB、BC，
∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是的弦，，则________．
【答案】
【分析】根据同圆中半径相等，可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果．
【详解】解：∵，
∴，又，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出是解题的关键．
15．（2022·全国·九年级课时练习）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
【答案】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
16．（2022·全国·九年级课时练习）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器________台．
【答案】4
【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．
【详解】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，
∵360÷100=3.6，
∴至少需要4台．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．
17．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为________°．
【答案】70
【分析】连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出弧CF度数．
【详解】
解：如图，连接OF，
∵∠A＝70°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°−∠A−∠B＝55°，
∵OC＝OF，
∴∠CFO＝∠C＝55°，
∴∠COF＝180°−∠C−∠CFO ＝70°，
∴弧CF的度数是70°．
故答案为：70．
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键．
三、解答题
18．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．
【答案】详见解析
【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
【详解】证明：∵
∴
∴
【点睛】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．
19．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，=∠B=70°，求∠A的度数．
【答案】∠A=40°.
【分析】先根据=∠B=70°，得出∠C的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵=∠B=70°，
∴AB=AC，
∴∠C =∠B =70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°．
故答案为∠A=40°．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
20．（2022·甘肃·甘州中学九年级期末）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．
【答案】见解析
【分析】根据∠ABD=∠CDB，可知，则有，由此可得，进而可证AB=CD．
【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB，
∴，
∴，
∴，
∴AB=CD．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．
21．（2022·全国·九年级单元测试）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；
【答案】见解析
【分析】根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证．
【详解】证明：∵＝，
∴＝，
∴，
∴BD=AC．
【点睛】本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．
22．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】由圆内接四边形的性质得到，再由，得到，根据等边三角形的判定可得到结论．
【详解】证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A进行判断，根据对称轴的定义对B进行判断，根据垂径定理的推论对C进行判断，根据圆周角定理的推论对D进行判断．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆周角定理的推论．
2．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25B．25C．D．
【答案】D
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC=．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
3．（2022·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】连接，，先求解， 可得，，再求解 可得， ，从而可得答案.
【详解】解：连接，，
直径，，，
，
，
，
，
，
直径，，，
，
，
，
，
所以B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
4．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【答案】C
【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，根据∠A＝50°，先求出，再求出，进而可求出∠BOC．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
，，
∵∠A＝50°，
∴，
∴
，
∴∠BOC＝
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线——弦心距．
5．（2021·全国·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．同弧所对的圆心角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．二次函数的图象与坐标轴有两个交点
D．若，则
【答案】C
【分析】利用圆心角的知识、菱形的判定、二次函数的图像与性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、在圆中，同一条弧对的圆心角只有一个，因此A选项说法有问题，是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项是假命题；
C、∵二次函数中，
∴图象与坐标轴有两个交点，
故C选项是真命题，符合题意；
D、当、b=-1时，满足，但，故D选项是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆心角，菱形的判定方法，二次函数的图象与性质以及不等式的性质.
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
7．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116B．120C．122D．128
【答案】D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．
【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，
∵，是的中点，
∴∠COE=45°，
∵，，
∴CE⊥OB，
∴∠OCE=∠COE=45°，
∴CE=OE=，
∴BE=OB－OE=，
∵OA=OB，，
∴∠ABO=45°，
∴∠BDE=∠ABO=45°，
∴EB=ED=，
∴CD=CE－DE=．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．
二、填空题
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）
①∠CED＝∠BOD；
②DM⊥CE；
③CM+DM的最小值为4；
④设OM为x，则S△OMC＝x．
【答案】①③
【分析】①由，可得∠COD=∠BOD，据此根据圆周角定理即可得结论；
②由点M是直径AB上一动点，而CE的位置是确定的，因此DM⊥CE不一定成立，可得结论；
③由题意可得点D和点E关于AB对称，因此CM+DM的最小值是在点M和点O重合时取到，即CE的长；
④过点C作CN⊥AO于点N，利用解直角三角形可求得CN，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：①，
，
，
，故①正确；
②点M是直径AB上一动点，而CE确定，
DM⊥CE不一定成立，故②错误；
③，
，∠CED=30°，
DE⊥AB，
点D和点E关于AB对称，
CM+DM的最小值是在点M和点O重合时取到，即CE的长，
AB=4，
CE=AB=4，故③正确；
④连接AC，
，
∠COA=60°，则△AOC为等边三角形，边长为2，
过点C作CN⊥AO于N，则，
在△COM中，以OM为底，OM边上的高为CN，
，故④错误；
综上，①③正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．（2022·全国·九年级课时练习）把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.
【答案】36°，72°，108°，144°
【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．
【详解】四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；
360°×20%=72°；
360°×30%=108°；
360°×40%=144°.
故答案为36°，72°，108°，144°.
【点睛】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．

【答案】
【分析】连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=- =，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得．
【详解】解：连接OE，OD，
∵=，
∴∠DOC=∠EOF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠DCO=∠EFO=90°，
又∵DO=EO，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴CO=OF=，
∵在Rt△DOC中，OD=，
∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=- =，
∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得．
故答案为：x2-x+1=0．
【点睛】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．
三、解答题
12．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
【答案】(1)∠E＝35°
(2)见解析
【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；
（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.
（1）
连接AC，
∵为120°，为50°，
∴，，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）
证明：连接AC、BD，
∵，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．
13．（2022·全国·九年级单元测试）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
【答案】见解析
【分析】根据命题的题设：垂直于弦的直径，结论：CD平分AB，CD平分 写出已知，求证，再利用等腰三角形的性质，圆心角与弧之间的关系证明即可．
【详解】已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为．
求证：，，．
证明：如图，连接、．
因为 ，，
所以，．
所以，．
所以．
【点睛】本题考查的是命题的证明，圆心角与弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，熟练的运用在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是解本题的关键．
14．（2022·江苏·九年级）如图，正方形ABCD内接于⊙O， ，求证：BM＝CM．
【答案】见解析
【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵，
∴，即，
∴BM＝CM．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
15．（2020·江苏·苏州草桥中学九年级期中）如图，在O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，由AC=BC，可得∠AOC=∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，由角平分线定理可得CD=CE；
（2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得，由勾股定理可得，可得；同理可得，进而求出．
【详解】（1）证明：连接OC．
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD=CE．
（2）解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=60°．
∵∠CDO=90°，
∴∠OCD=30°，
∵OC=OA=2，
∴．
∴，
∴，
同理可得，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键．
16．（2021·云南·昆明市第一中学西山学校九年级阶段练习）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝，
∴PC+PD的最小值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
17．（2022·全国·九年级课时练习）如图，中，为直径，弦交于P，且，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】
【分析】连接OC、OD，根据OC=OD，推出∠D=∠C=∠COP，根据外角的性质证得∠AOD=3∠COP，即可得到结论．
【详解】解：连接OC、OD，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵，
∴∠C=∠COP，
∴∠D=∠C=∠COP，
∵∠AOD=∠DPO+∠D=∠C+∠COP+∠D=3∠COP，
∴．
【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，等边对等角的性质，三角形外角性质，以及弧、弦、圆心角定理，熟记各定理并应用解决问题是解题的关键．