数学九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角课时作业

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圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
【典例剖析】
【例1】如图,在⊙O中, ,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求证：AD＝BE．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
连接OC，先根据得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【详解】
连接OC，
∵，
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦、弦心距的关系，解题关键在于证明三角形COD与三角形COE全等.
【变式1】如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
【例2】．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
【答案】（1）35°；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．
【详解】
（1）解：连接AC．
∵弧AD为120°，弧BC为50°，
∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，
∵∠ACD＝∠BAC+∠E
∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）证明：连接AD．
∵AB＝CD，
∴弧AB＝弧CD，
∴弧AC＝弧BD，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴AE＝DE．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．
【解析】直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
2．（2021秋•越秀区校级期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
C、此弦不能是直径，命题错误；
D、圆是中心对称图形，正确，
故选：D．
3．（2022•广西模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ ）
A．158°B．58°C．64°D．116°
【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由补角的定义即可得出结论．
【解析】∵∠D＝32°，
∴∠BOC＝2∠D＝64°，
∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．
故选：D．
4．（2021秋•鹿城区校级期中）如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【分析】根据正多边形的中心角＝，计算即可．
【解析】由题意这是正十六边形，中心角α＝＝22.5°，
故选：B．
5．（2019秋•吴兴区期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠AOE，则DE＝AC＝2，利用三角形内角和可计算出∠BDE＝135°，所以∠BDF＝45°，从而可计算出DF＝BF＝2，利用勾股定理计算出BE＝2，然后根据△BOE为等腰直角三角形可得到OB的长．
【解析】作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，
∵∠DOC＝90°，∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴DE＝AC＝2，
∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠BDF＝45°，
∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，
在Rt△BEF中，BE＝＝2，
∵△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝×2＝．
故选：D．
6．（2019秋•建水县期末）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．
【解析】如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝OA＝2．
故选：C．
7．（2020秋•郁南县期末）如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．25°B．30°C．50°D．60°
【分析】求出∠AOE，可得结论．
【解析】∵点C、D为的三等分点，
∴＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝150°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，
故选：B．
8．（2020秋•昆明期末）如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（ ）
A．3B．C．2D．3
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMEN是正方形，即可解决问题．
【解析】如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，
∴OM＝ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
∴OE＝OM＝3，
故选：D．
9．（2019•安徽一模）已知⊙O的直径CD为2，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（ ）
A．1B．2C．2D．
【分析】根据翻折的性质得到PB＝PB′，＝，得到∠B′EA＝60°．当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′，根据正弦的定义计算即可．
【解析】过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O于点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB＝PB′，＝，
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是的中点，
∴＝120°．
∴∠B′EA＝60°．
∴AB′＝AE•sin60°＝2×＝．
故选：D．
10．（2019秋•莘县期中）如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＜2CDC．AB＝2CDD．不能确定
【分析】取的中点E，连接AE、BE，如图，易得＝＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到CD＝AE＝BE，然后根据三角形三边的关系可得到AB与2CD之间的关系．
【解析】取的中点E，连接AE、BE，如图，
∵弧AB等于弧CD的2倍，
而＝，
∴＝＝，
∴CD＝AE＝BE，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2020秋•思明区校级期中）在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是 60 °．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，得到答案．
【解析】∵OA＝OB＝AB＝6，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
故答案为：60．
12．（2018秋•大石桥市期中）在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弦长为 9 cm．
【分析】圆心角为60°，且半径相等可得等边三角形，此题易解．
【解析】由题意知，设圆心为O，60°的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，则△AOB是等边三角形，∴AO＝AB＝OB＝9cm．
13．（2021秋•越秀区校级期中）如图，MN为圆O的弦，∠OMN＝35°，那么∠MON为 110° ．
【分析】根据圆的性质及等腰三角形的内角和为180°可得答案．
【解析】∵MN为圆O的弦，
∴OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM＝35°，
∴∠MON＝180°﹣2∠OMN＝180°﹣2×35°＝110°．
故答案为：110°．
14．（2021秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是 ①②③④ （填序号）．
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解析】在⊙O中，＝，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴＝故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
15．（2021秋•思明区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DF＝EF＝FB，则∠AOC＝ 36° ．
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，再求出答案即可．
【解析】∵AC＝CD＝DF＝EF＝FB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝∠AOB＝36°，
故答案为：36°．
16．如图，在半径为4的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为 4 ．
【分析】连接OA、OB、OC、OD，在CD上取一点E，使得CE＝OC，连接OE，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE＝AB；利用等腰三角形性质证明DE＝OE，因此CD﹣AB＝CD﹣DE＝CE＝4．
【解析】如图，
连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE＝OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．
在△COE与△OAB中，
∵，
∴△COE≌△OAB（SAS），
∴OE＝AB．
∵∠EOD＝∠OEC﹣∠ODC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠EOD＝∠ODE，
∴DE＝OE，
∴CD﹣AB＝CD﹣OE＝CD﹣DE＝CE＝4．
故答案为：4．
17．（2019•淄川区二模）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是 120° ．
【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解析】连接OD、OE，
∵的度数为40°，
∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，
∴∠ODC＝∠AOD＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠ODC＝∠E＝40°，
∴∠DOE＝100°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴的度数是120°．
故答案为120°．
18．（2019•桂林模拟）如图，⊙O的半径为2，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，…，则第2019秒点P所在位置的坐标为 （﹣，） ．
【分析】作PH⊥OA于H，分别求出前4秒点的坐标，总结规律，根据规律解答．
【解析】作PH⊥OA于H，
由题意得，∠POH＝45°，
∴OH＝OP•cs∠POH＝，PH＝OP•sin∠POH＝，即点P的坐标为（，），
则第1秒点P所在位置的坐标（，），
第2秒点P所在位置的坐标（0，2），
第3秒点P所在位置的坐标（﹣，），
第4秒点P所在位置的坐标（2，0），
……
2019÷8＝252…3，
则第2019秒点P所在位置的坐标为（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•磐石市期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．
求证：．
【分析】根据弦相等推出弦所对的弧相等，证明即可．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝．
20．（2020秋•涟水县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，所对的圆心角为30°．求∠AOC的度数．
【分析】连接OE，由的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝75°．
【解析】连接OE，如图，
∵为30°，
∴∠COE＝30°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC＝∠OCE＝75°．
21．（2021•秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
【分析】连接BD，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．
【解答】证明：连接BD．
∵AB＝CD，
∴＝
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
22．（2022•金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【解析】（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵•AF•BC＝•AC•AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
23．（2020秋•红谷滩区校级期末）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
∴CD＝＝＝，
∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，
同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝，
∴四边形DOEC的面积＝+＝．
24．（2019秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
【分析】（1）连接AC．根据为120°，为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）连接AD．由AB＝CD，得到＝，推出＝，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．
【解答】（1）解：连接AC．
∵为120°，为50°，
∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，
∵∠ACD＝∠BAC+∠E
∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）证明：连接AD．
∵AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴AE＝DE．