初中数学人教版（2024）七年级上册第二章 整式的加减2.1 整式教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册第二章 整式的加减2.1 整式教学设计，共23页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】，【教学反思】等内容，欢迎下载使用。
通过回忆耳熟能详的儿歌——数蛤蟆，引发学生对代数式的思考，从小时候的记忆激发学生学习的兴趣，对代数式的概念进行思考与拓展，形成对知识的全面认识，从而促进学生思维的发展；
（1）通过儿歌编造出一道代数式的题，让学生根据要求可以自主地用字母表示数，从而加强对代数式概念的理解，并且学会用字母来表示代数式的数量关系；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
二、【单元知识结构框架】
1．用字母表示数：
字母和数一样，可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．
2．列式的注意事项：
①数与字母、字母和字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字写在前面．
3、单项式的相关概念
单项式概念：由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式的系数概念：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数．
单项式的次数概念：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
4、多项式的相关概念
多项式：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．
常数项：不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．
整式：单项式与多项式统称整式．
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是本章的基础，学会用字母表示数，既考验学生对未知数的理解，同时也是对问题中的逻辑关系进行考察；单项式、多项式与整式的概念、区别要加以熟悉与辨别，不能混淆；
2.认知障碍
在理解单项式、多项式与整式的概念时，容易产生混乱，导致概念的不清晰；整式这一块会涉及到多项式的项数与次数问题，要注意怎么算多项式的次数；对于整式这一块的规律性问题，要学会由简到繁，从个例抽象出普遍规律；
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约4课时
教学重点： 掌握代数式表示数；单项式、多项式与整式的概念；
教学难点： 学会正确区分单项式与多项式的概念；掌握单项式、多项式的系数、项数和次数等相关概念；
五、【教学问题诊断分析】
【情景引入】
我们不少同学都是唱着儿歌长大的，朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀．其中有一首名叫《数蛤蟆》的儿歌，你想起来了吗？
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，一声扑通跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，两声扑通跳下水；三只青蛙三张嘴，六只眼睛……，a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿，由此看出a是一个字母，它代表“很多只”的数量，用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系．
今天我们就学习用字母表示数．
2.1.1 用字母表示数
问题1：（含字母式子的书写要求）同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许下列各式中，符合代数式书写要求的是( )
(1)1eq \f(3,4)x2y； (2)a×3；
(3)ab÷2； (4)eq \f(a2－b2,3).
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【破解方法】代数式的书写要求：(1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；(2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；(3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
【解析】(1)正确的书写格式是eq \f(7,4)x2y，不符合要求；(2)正确的书写格式是3a，不符合要求；(3)正确的书写格式是eq \f(1,2)ab，不符合要求；(4)符合要求．符合代数式书写要求的共1个．故选D.
问题2：（用字母表示代数型的数量关系）用字母表示下列问题中的数量关系：
(1)为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为__________元．
(2)在运动会中，一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的eq \f(2,3)还多5分，则二班的总成绩为________．
(3)某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格为______________元．
【破解方法】像这样的实际问题要先找出各个量之间的关系．要抓住关键词语，明确它们之间的意义及它们之间的关系，如和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等，注意数量关系的运算顺序，正确使用运算符号及括号．
【解析】(1)用购买m个篮球的总价加上n个排球的总价表示．所以购买这些篮球和排球的总费用为(80m＋60n)元．
(2)二班的总成绩＝eq \f(2,3)m＋5.
(3)根据题意得
m(1＋50%)(1－30%)(1－10%)＝0.945m(元)．
问题3：（用字母表示几何图形中的数量关系）用字母表示图中阴影部分的面积：

(1) (2)
【破解方法】将不规则图形的面积转化为规则图形(如长方形、圆、三角形等)的面积的和或差是解决求阴影部分面积问题的关键．
【解析】(1)图中阴影部分的面积是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a，圆的直径也是a，圆的半径是eq \f(a,2)；(2)图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为x.
解：(1)S＝a2－π·(eq \f(a,2))2；(2)S＝ab－4x2.
问题4：（探究规律性问题）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的．
(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
(2)摆成第n个图案需要几个五角星？
(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？
【破解方法】此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成第n个图案需要3n枚五角星．
【解析】通过观察已知图形可得每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．
解：(1)根据题意得∵第1个图中，五角星有3个(3×1)；第2个图中，有五角星6个(3×2)；第3个图中，有五角星9个(3×3)；第4个图中，有五角星12个(3×4)；∴第n个图中有五角星3n个．∴第20个图中五角星有3×20＝60个．
(2)由(1)可知，摆成第n个图案需要3n个五角星．
(3)摆成第2015个图案需要五角星2015×3＝6045(个)．
2.1.2 单项式
问题5：（单项式的判断）下列代数式2x，－eq \f(1,3)ab2c，eq \f(x＋1,2)，πr2，eq \f(4,x)，a2＋2a，0，eq \f(m,n)中，单项式有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【破解方法】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式．
【解析】2x，－eq \f(1,3)ab2c，πr2，0，都符合单项式的定义，共4个．故选A.
问题6：（确定单项式的次数与系数）分别写出下列单项式的系数和次数．
(1)－ab2； (2)eq \f(5ab3c2,7)； (3)eq \f(2πxy2,3).
【破解方法】(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．
【解析】单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这些字母的指数相加即可．
解：(1)单项式的系数是－1，次数是3；
(2)单项式的系数是eq \f(5,7)，次数是6；
(3)单项式的系数是eq \f(2π,3)，次数是3.
问题7：（单项式的应用）用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．
(1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？
(2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？
【破解方法】此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题意列出式子是本题的关键．
【解析】(1)根据买2本练习册花了n元，得出买1本练习册花eq \f(n,2)元，再根据买了m本练习册，即可列出算式，再根据系数、次数的定义进行解答即可；
(2)根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子，再根据系数、次数的定义进行解答．
解：(1)∵买2本练习册花了n元，
∴买1本练习册花eq \f(n,2)元，∴买m本练习册要花eq \f(1,2)mn元，∴它的系数是eq \f(1,2)，次数是2；
(2)∵正方体的棱长为a，
∴它的表面积是6a2，系数是6，次数是2；
它的体积是a3，系数是1，次数是3.
2.1.3 多项式
问题8：（单项式、多项式与整式的识别）指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x2＋y2，－x，eq \f(a＋b,3)，10，6xy＋1，eq \f(1,x)，eq \f(1,7)m2n，2x2－x－5，eq \f(2,x2＋x)，a7.
【破解方法】(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．
【解析】根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．
解：eq \f(2,x2＋x)，eq \f(1,x)的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．
单项式有：－x，10，eq \f(1,7)m2n，a7；
多项式有：x2＋y2，eq \f(a＋b,3)，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有：x2＋y2，－x，eq \f(a＋b,3)，10，6xy＋1，eq \f(1,7)m2n，2x2－x－5，a7.
问题9：（确定多项式的项数与次数）写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．
(1)eq \f(2,3)x2－3x＋5；
(2)a＋b＋c－d；
(3)－a2＋a2b＋2a2b2.
【破解方法】(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．
【解析】根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．
解：(1)eq \f(2,3)x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；
(2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式；
(3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式．
问题10：（根据多项式的概念求字母的取值）已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
【破解方法】此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
【解析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．
解：由题意得m＋2＝6，
解得m＝4，
此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.
问题11：（与多项式有关的探究性问题） 若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．
【破解方法】多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
【解析】多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.
解：∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，
∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.
问题12：（多项式的应用）如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？
【破解方法】用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．
【解析】四个角围成一个半径为a米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积．
解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．（2023秋·七年级课时练习）“的倍与的和的一半”可以用式子表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据“的倍与的和的一半”列出代数式，选择即可．
【详解】“的倍”可以表示为：，
“的倍与的和”可以表示为：，
“的倍与的和的一半”可以表示为：或．
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意列出代数式是解题的关键．
2．（2023·河北唐山·模拟预测）在，，，，等五个代数式中整式一共有（ ）个．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
【详解】解：是不是整式，、、、是整式，
故整式的个数有4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是整式的定义，属于基础题型．正确理解整式的定义是解决这个问题的关键．
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．是二次三项式B．单项式的系数和次数分别是，7
C．的系数是，次数是4D．是五次三项式
【答案】C
【分析】运用多项式及单项式的定义求解．
【详解】解：A、是分式，故本选项不符合题意；
B、单项式的系数为，次数为5，故本选项不符合题意；
C、的系数是，次数是4，故本选项符合题意；
D、是二次三项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式及单项式的定义，解题的关键是掌握多项式中关于项数和次数的规定及单项式的次数与系数的概念．
4．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某商店上月收入元，本月收入比上月的2倍多10元，则本月收入 元．
【答案】
【分析】根据本月收入=上月收入即可得出结论．
【详解】解：本月收入为：元，
故答案为：
【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的数量关系是解决此题的关键．
5．（2023秋·七年级课时练习）一个关于x的二次三项式，二次项的系数是，一次项的系数和常数项都是2，则这个多项式是 ．
【答案】
【分析】由于多项式是由单项式组成的，而多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，而关于x的二次三项式，二次项系数是，一次项系数和常数项是2，根据前面的定义即可确定这个二次三项式．
【详解】解：∵该二次三项式二次项的系数是，一次项的系数和常数项都是2，
∴这个多项式是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式，多项式是由单项式组成的，明确二次项、一次项和常数项的定义是解题的关键．
6．（2023秋·七年级课时练习）填空：
【答案】；3；；1；；5；1；3；2；2．
【分析】根据单项式的系数及次数的定义即可求解．
【详解】解：
故答案为：；3；；1；；5；1；3；2；2．
【点睛】本题考查了单项式的系数和次数，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
7．（2023秋·全国·七年级专题练习）用代数式表示：
(1)m的倒数的3倍与m的平方差的；
(2)x的与y的差的；
(3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据代数式的表示方法，得出结论．
【详解】（1）根据题意可得，；
（2）根据题意可得，；
（3）根据题意可得，．
【点睛】本题考查了代数式的表示，难度较小，熟练掌握代数式的书写方式是解题的关键．
8．（2023·上海·七年级假期作业）设某数为，用表示下列各数：
(1)某数与的差；
(2)某数的与的和；
(3)某数与1的差的平方；
(4)某数与2的和的倒数；
(5)某数的30%除以的商．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据语句的含义列出代数式即可；
（2）先表示某数的，再求和列出代数式即可；
（3）先表示差，再表示差的平方，再列式即可；
（4）先表示和，再表示和的倒数即可；
（5）先表示某数的30%，再表示商即可．
【详解】（1）解：某数与的差表示为：；
（2）某数的与的和表示为：；
（3）某数与1的差的平方表示为：；
（4）某数与2的和的倒数表示为：；
（5）某数的30%除以的商表示为：．
【点睛】本题考查的是列代数式，理解语句中的运算顺序是解本题的关键．
9．（2023秋·全国·七年级专题练习）把多项式按下列要求排列：
(1)按x的升幂排列；
(2)按y的降幂排列．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可；
（2）根据降幂排列的定义，我们把多项式的各项按照y的指数从大到小的顺序排列起来即可．
【详解】（1）解：按x的升幂排列：；
（2）解：按y的降幂排列：．
【点睛】此题考查了多项式的降幂排列的定义．首先要理解降幂排列的定义，然后要确定是哪个字母的降幂排列，这样才能比较准确解决问题．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．（2023·安徽宣城·安徽省宣城市第三中学校考模拟预测）某工厂一月份的产值为a，二月份的产值比一月份增长了，三月份的产值又比二月份的产值增长了，则三月份的产值比一月份增长了（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得某工厂二月份的产值为，三月份的产值为，则三月份的产值比一月份增长．
【详解】解：∵某工厂二月份的产值为，三月份的产值为，
∴三月份的产值比一月份增长．
故选D．
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，准确的表示二月份的产值，三月份的产值．
2．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，由相同天小的圆圈按照一定规律摆放，那么第个图形中圆圈的个数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察图形的变化，进而发现规律，即可得第n个图形中圆的个数．
【详解】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中圆的个数为；
第2个图形中圆的个数为；
第3个图形中圆的个数为；
…，
∴第n个图形中圆的个数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化总结规律．
3．（2023秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．单项式既没有系数，也没有次数
B．单项式的系数是
C．式子是单项式
D．有理数是单项式
【答案】D
【分析】根据单项式及其系数、次数的定义：只含有数与字母的积的整式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．判断选择即可．
【详解】A、单项式系数是，次数是，故原说法错误；
B、单项式的系数是，故原说法错误；
C、式子是分式，不是单项式，故原说法错误；
D、有理数是单独的一个数，也是单项式，故原说法正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式及其系数、次数的定义，熟练掌握单项式及其系数、次数的定义是解题的关键．
4．（2023秋·七年级课时练习）若是关于x、y的五次单项式，且系数为，则 ， ．
【答案】 /0.5 3
【分析】根据单项式次数得到，即可求出答案．
【详解】解：∵是关于x、y的五次单项式，且系数为，
∴，
解得： ．
故答案为：，3．
【点睛】此题考查了单项式次数定义，单项式中各字母指数的和是单项式的次数，熟练掌握定义是解题的关键．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行_______．
【答案】
【分析】根据题意，列代数式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：甲船航行的距离为：，
乙船航行的距离为：，
∴甲船比乙船多航行：
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式解决实际问题．熟练掌握顺水船速等于静水船速加上水流速度，逆水船速等于船速减去水流速度，是解题的关键．
6．（2023秋·七年级课时练习）下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是整式的有 ，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号）
【答案】 ①②③④⑥⑦； ①②⑥； ③④⑦；．
【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式．
【详解】解：整式有：，，，，，
单项式有：，，
多项式有：，，
是不等式，是分式，故不属于整式；
故答案为：①②③④⑥⑦；①②⑥；③④⑦．
【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出判断．
7．（2023秋·七年级课时练习）根据题意列出单项式，并指出它们的系数和次数．
(1)长方形的长为，宽为，则长方形的面积为多少？
(2)某班总人数为人，女生人数是男生人数的，那么该班男生人数为多少？
(3)邮购一种图书，每册定价为元，另加价作为邮费，那么购书册需要费用多少元？
【答案】(1)长方形的面积为，的系数是，次数是
(2)该班男生人数为人，的系数是，次数是
(3)购书册需要费用（元），的系数是，次数是
【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘宽，写出表示长方形的面积的单项式；根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可；
（2）根据“女生人数是男生人数的”，分析出“男生为5份，则女生为3份，故男生占总人数的”，再写出表示男生人数的单项式；根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可；
（3）根据“每册定价为元，另加价作为邮费”，得出“每册费用为”，用每册费用乘以册数即可写出表示册需要费用的单项式；根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可．
【详解】（1）∵长方形的长为，宽为，
∴长方形的面积为，的系数是，次数是；
（2）∵女生人数是男生人数的，
∴男生人数占全班总人数的，
又∵总人数为人，
∴该班男生人数为人，的系数是，次数是；
（3）∵每册定价为元，另加价作为邮费，
∴每册费用为，
∴购书册需要费用为，的系数是，次数是．
【点睛】本题考查了列代数式、单项式的系数和次数，理解题意列出代数式是解题的关键．
8．（2023秋·七年级课时练习）已知是关于，的四次三项式，写出该多项式，并指出该多项式的项．
【答案】该多项式为，该多项式的项为，，1
【分析】根据多项式的定义，若干个单项式的和组成的式子叫做多项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，据此求解即可．
【详解】解：由题意，得，且，
解得.
所以该多项式为．
该多项式的项为，，1．
【点睛】本题考查了多项式的次数和项的定义．解此类题目的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是单项式的个数．
9．（2023秋·七年级课时练习）已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
(1)其中哪些是单项式？分别指出它们的系数和次数；
(2)其中哪些是多项式？分别指出它们的项和次数．
【答案】(1)①②⑦是单项式，①的系数为，次数是3；②的系数为，次数是4；⑦的系数是，次数是1；
(2)④⑥是多项式，④的项分别是，次数为2；⑥的项分别是，次数为3．
【分析】（1）根据单项式是由数字与字母的积组成的整式即可解答；
（2）根据多项式是由若干个单项式相加组成的整式即可解答．
【详解】（1）解：∵单项式是由数字与字母的积组成的整式，
∴，，是单项式，
即①②⑦是单项式，
∴的系数为，次数是3；
的系数为，次数是4；
的系数是，次数是1；
（2）解：∵多项式是由若干个单项式相加组成的整式，
∴，，
即④⑥，
∴的项分别为，，，次数为；
的项分别为，次数为．
【点睛】本题考查了多项式是由若干个单项式相加组成的整式，单项式是由数字与字母的积组成的整式，多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式的定义及多项式的定义是解题的关键．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．（2023秋·七年级课时练习）多项式是按字母降幂排列的，则代表的项不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据多项式的降幂排列，可知多项式是按字母降幂排列的，得出第三个单项式为的次方，推得代表的项的幂必须大于或等于，据此分析即可求解．
【详解】解：∵多项式是按字母降幂排列的，第三个单项式为的次方，
∴第二个单项式的幂必须大于或等于，且小于或等于；
A、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意；
B、的的幂为的，该选项是错误的，故符合题意；
C、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意；
D、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的降幂排列是解题的关键．
2．（2023春·河北·九年级专题练习）代数式的意义是（ ）
A．a与b的倒数的差的平方B．a的平方与b的倒数的差
C．a的平方与b的差的倒数D．a与b的差的平方的倒数
【答案】B
【分析】用文字解释代数式的意义即可．
【详解】解：代数式的意义是a的平方与b的倒数的差，
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式，解决本题的关键是正确理解代数式的算理．
3．（2023春·湖北襄阳·七年级统考开学考试）下列说法中，正确的是( )
A．单项式的系数是B．单项式的次数为
C．多项式是二次三项式D．多项式的常数项是
【答案】C
【分析】利用单项式、多项式的定义即可解答．
【详解】解：A、单项式的系数是，故本选项说法错误；
B、单项式的次数是2，故本选项说法错误；
C、多项式是二次三项式，故本选项正确；
D、多项式的常数项是-1，故本选项说法错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了单项式和多项式，解题的关键是熟记单项式、多项式的定义．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，通常系数不为0， 多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“-”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
4．（2023秋·七年级课时练习）若表示数的点在原点左边，此点向左移动3个单位长度后表示的数与其相反数之间的距离将增加 个单位长度．
【答案】6
【分析】根据题意列式计算即可．
【详解】根据题意可得，
表示数的点向左移动3个单位长度后表示的数为，
∵的相反数是，的相反数是，
∴到的距离是3，到的距离是3，
∴将增加6个单位长度．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了数轴，相反数，解题的关键是在数轴上向左右移动规律“左减右加”是解题的关键．
5．（2023秋·七年级课时练习）多项式是关于x的四次三项式，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】利用多项式次数和项数的确定方法可得，且，再求解即可．
【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查多项式的概念，熟练掌握单项式的个数就是多项式的项数，这些单项式中最高次项的次数就是这个多项式的次数是解题的关键．
6．（2023秋·七年级课时练习）（1）将多项式按的升幂排列为 ．
（2）把多项式按的降幂排列为 ．
【答案】
【分析】（1）由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式升幂排列进行排列即可；
（2）由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式降幂排列进行排列即可．
【详解】解：（1）将看作数，把看作未知数，
按照的次数从低到高排列为，
故答案为：；
（2）多项式按的降幂排列为，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式的降幂排列，注意掌握把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
7．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值．
【答案】8
【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义，即可求解．
【详解】解：∵ 是六次四项式，
∴，
解得∶，
∵单项式的次数与这个多项式的次数相同，
∴，即，
解得∶，
．
【点睛】本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式的次数与单项式的次数的概念．单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数．
8．（2023秋·全国·七年级专题练习）某种墨水笔的批发价为1.5元/支．开学季，文具批发店推出两种优惠活动（一次只能参加一种优惠活动）如下：
活动一：满减活动：购物金额满99元减10元；满199元减25元；满299元减60元；
活动二：打折活动：若一次购买100支以上，全部打8折．
某文具店老板批发了n支此款墨水笔．
(1)若，用代数式表示在两种优惠活动下文具店老板需要支付的费用；
(2)使用活动二批发此款墨水笔，会不会出现多买比少买花钱少的情况？说明理由．
【答案】(1)按活动一需支付元；按活动二需支付元
(2)见解析
【分析】（1）根据两种活动方案计算费用即可；
（2）通过计算购买100支与120支的费用情况，对比即可作出判断．
【详解】（1）解：由题意知：当时，（元）；当时，（元），
当时，
按活动一需支付的费用为：元；
按活动二需支付的费用为：（元）；
即当时，按活动一需支付元；按活动二需支付元；
（2）解：使用活动二批发此款墨水笔，会出现多买比少买花钱少的情况．
如购买100支，要支付费用：（元）；购买120支，要支付费用：（元），
而，
∴使用活动二批发此款墨水笔，会出现多买比少买花钱少的情况．
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意并正确列出代数式是解题的关键．
9．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（水费按月结算，表示立方米）
根据价目表的内容解答下列问题：
(1)若小聪家5月份用水，则应交水费______元；（直接写出答案）
(2)若小明家6月份用水（其中），求小明家6月份应交水费多少元?（用含的式子表示，写出过程并化简）
【答案】(1)22
(2)小明家6月份应交水费为：
【分析】（1）根据价目表求解即可；
（2）根据的取值范围和价目表列出代数式即可．
【详解】（1）解：
（元），
故答案为：22；
（2）解：小明家6月份应交水费为：
．
答：小明家6月份应交水费元．
【点睛】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．
七、【教学反思】
单项式
系数
次数
单项式
系数
3
1
次数
5
1
3
2
2
价目表
每月用水量
价格
不超过
2元/
超过不超过的部分
3元/
超过的部分
5元/