人教版数学九上同步单元讲练测第24单元01讲（2份，原卷版+解析版）

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第二十四单元 圆考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O．（2）弦与直径：连接 任意两点的 叫做弦，过圆心的 叫做直径，直径是圆内最长的 ．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，小于半圆的弧叫做 ，大于半圆的弧叫做 ．（4）圆心角：顶点在 的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在 ，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距： 到弦的距离，叫做弦心距． （7）等圆：能够 的两个圆叫做等圆．（8）等弧：在同圆或等圆中，能 的弧叫等弧．考点2 垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的两条弧．（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过 ，并且 弦所对的两条弧．（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①； ②；③CE＝DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径．只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三．考点3 弧、弦、圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点4 圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半． 如图a， ＝ ． 图a 图b 图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b，∠A＝ ．②直径所对的圆周角是直角．如图c， ＝90°．③圆内接四边形的对角互补．如图a，∠A＋ ＝180°，∠ABC＋ ＝180°．考点5 点与圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d， 点P在 d＞r ；点P在 d＝r ；点P在 d＜r ．2.三点圆：不在 直线上的三个点 一个圆．3.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 圆．外接圆的圆心是三角形三条边的 的交点，叫做这个三角形的外心．考点6 直线和圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆 ．这条直线叫做圆的 线．（2）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆 ．这条直线叫做圆的 线，这个点叫做 点．（3）直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆 ．（4）设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d， 直线l和⊙O d＜r ；直线l和⊙O d＝r ；直线l和⊙O d＞r ．2.切线的判定定理和性质定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线．（2）切线的性质定理：圆的切线 于过切点的半径．3.切线长定理：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和 点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角．4.内切圆：与三角形各边都相切圆叫做三角形的 ．内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心．考点7 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心， 圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角， 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距．2.公式：正多边形的有关概念：边长（a）、中心（O）、中心角（∠AOB）、半径（R））、边心距（r），如图所示①．边心距，中心角考点8 与圆有关的计算1.弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝2.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的 ，扇形的弧长等于圆锥的底面 ．（2）计算公式：，S侧＝＝πrl垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）．①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径，或只画弦心距．（3）垂径定理的应用：①计算半径、弦心距、弦长、弓形高、角、平行弦的距离；②证明线段相等、角相等、弧相等；③解决实际问题，构造直角三角形．【例题】1. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（　　）A. 26π B. 13π C. D. 2. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）A. B. C. 或 D. 或3. 如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，、、都是弦，，，垂足分别为、，若，则的长为________．5. 如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米的厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？ 【练经典】6. 如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（ ）A. B. C. D. 127. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　）A. 9.6 B. 4 C. 5 D. 108. 如图，圆形纸片⊙O半径为，先在其内剪出2个边长相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2个边长相等的最大正方形，则第二次剪出的正方形的边长是______．9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为_______；面积的最大值为______．10. 古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶P（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．【练易错】易错点：两条弦的位置考虑不全导致错误11. 在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___．圆周角定理及其运用（1）圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，下列四组量中，只要具有一组量相等，其余各组量都相等，简称知一推三（即一推三）．①两个圆心角②两条弦，③两条弧、④两个弦的弦心距中（2）圆周角定理及推论①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对弧上的圆心角度数的②一半；相等的圆周角所对的弧也相等，即同弧或等弧；③半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；④ 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；（3）一条弧的度数＝这条弧所对的圆心角的度数＝这条弧所对的圆周角的度数的2倍；【例题】12. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）A. 25 B. 25 C. D. 14. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，＝，则∠DAB＝_____°．15. 如图，、是圆上的两点，，是的中点．（1）求证：平分；（2）延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长．【练经典】16. 如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则 的度数为（ ）A. 50° B. 25° C. 80° D. 65°17. 如图，在圆内接五边形中，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 18. 如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝32°，则∠AEO的度数____．19. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°20. 如图，A，B，C，D是圆O上的点，，，分别交，，OC于点N，M．求证：（1）；（2）．【练易错】易错点：弦所对的圆周角考虑不全导致错误21. 已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（ ）A. B. C. 或 D. 或点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系（2）过点的圆（4）四点共圆的判定①四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆；②四个点连接而成的四边形的一组对角互补（和为180°），则这四个点共圆；③四个点连接而成同斜边的两个直角三角形，则这四个点共圆；【例题】22. 已知的半径为，，则点和的位置关系是（　　）A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法判断23. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 824. 如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作________个．25. 如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为________________． 【练经典】26. 已知的半径为3，，则点A在（ ）A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定27. 如图，矩形中，，，点在对角线上，圆经过点．如果矩形有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 28. 已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A. 5个圆 B. 8个圆 C. 10个圆 D. 12个圆29. 如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于_______．30. 如图所示的是一块打碎的圆镜的一部分，已知弧上有三点，，（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图中圆镜的圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）已知，且，求圆镜的半径．切线性质及其证明1.直线与圆的位置关系2.切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3.切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．4.常用辅助线作法①有切点，连接过切点的半径；②没切点，过圆心作切线的垂线；【例题】31. 在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）A. B. C. D. 32. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 33. 如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．34. 如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且． （1）求证：为的切线；（2）若，，直接写出半径的长．35. 如图，是的直径，弦，垂足为H，连接，过上一点E作交的延长线于点G，连接交于点F，且，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）延长交的延长线于点M，若，，求的半径．【练经典】36. 已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（ ）A. B. C. D. 37. 如图，在⊙O的内接四边形ABDE中，AB是直径，∠E＝106°，过D点的切线DC与AB延长线交于点C，则∠C的度数为（　　）A. 58° B. 32° C. 74° D. 48°38. 如图，是的弦，点在过点的切线上，且，交于点，已知，则__． 39. 如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是_______．40. 如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）已知，，求的长．三角形的内切圆与外接圆【例题】41. 已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）A. 两人都正确. B. 只有甲正确 C. 只有乙正确 D. 两人都不正确42. 两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（    ）A. 2 B. C. D. 43. 如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是（ ）． A. 射线一定过点 B. 点是三条中线的交点C. 若是等边三角形，则 D. 点是三条边的垂直平分线的交点44. 如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．（1）求证：EB=EI；（2）若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．【练经典】45. 正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（ ）A. B. C. 2 D. 2.546. 如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（　　）A. 5 B. C. 4 D. 47. 已知，点为的外心，点为的内心．（1）若，则___________；（2）若，则___________．48. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，（1）若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；（2）求证：DE=DB．与圆有关的计算（1）扇形的弧长和面积公式，；（2）圆锥与扇形的关系①扇形的半径等于圆锥的母线②扇形的弧长等于圆锥的底面周长：；（2）弧边多边形的面积：连接半径构造扇形．【例题】49. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（ ）．A. 3 B. 2 C. D. 50. 如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 51. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（　　） A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺52. 如图，在扇形中，，，点是弧的中点，连接，与交于点D，E为的中点，连接，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留根号和） 【练经典】53. 长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（ ） A. B. C. D. 54. 如图，点C为圆O上一个动点，连接，，若，则阴影部分面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 55. 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（ ）A. B. C. D. 56. 如图，半圆的直径，，是上一个动点，弦，，交于点．，则图中阴影部分周长的最大值为______． 新考法【新定义小练】57. 对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．若矩形的“等距圆” 始终在矩形内部（含边界），则的半径r的取值范围是 __．58. 新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G为⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图1，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是　 （请直接写出正确的序号）．（2）如图2，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．【阅读材料类小练】59. 【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示；【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径．60. 小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，是半圆的直径，且，是线段的中点，交半圆于点，点是弧上的动点，连接．当是等腰三角形时，求线段的长度．小明分析发现，此问题很难通过常规推理计算解决，于是尝试结合学习函数的经验解决此问题，请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量的长度，得到如表的几组对应值．小明发现，当时，无需测量就能得到的长度，则 ．（2）将线段长作为自变量，的长都是关于的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图2所示，请你在同一平面直角坐标系中画出函数的图象．（3）继续在同一平面直角坐标系中画出所需函数的图象，并结合函数图象直接写出当是等腰三角形时，线段的长度．（结果保留一位小数）．61. 问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程证明：如图2，在上截取，连接，，和是弧的中点，∴，……（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.（3）如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.【规律类小练】62. 如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第次相遇地点的坐标为（　　） A. B. C. D. 点与圆的位置关系图形数量关系点在圆内点在圆上点在圆外过点的数量图形圆的数量过一个点的圆无数个圆心是任意的过二个点的圆无数个圆心在的垂直平分线上过不在同一直线上的三个点的圆一个圆心就是三条线段的垂直平分线的交点直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210图形公共点名称交点切点无直线名称割线切线无数量关系关系定义圆心实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求01.002.003.004.005.00…2.603.093.563.974.304.49…5.204.623.901.870.37…