人教版数学九上同步单元讲练测第24单元03巩固练（2份，原卷版+解析版）

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第二十四单元 圆（单元测）一、选择题（共30分，每个题3分）1. 矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A. 点，均在圆外 B. 点在圆外，点在圆内C. 点在圆内，点在圆外 D. 点，均在圆内2. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 84. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 如图，，，是上的三点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等圆和相交于A，B两点，经过圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　）A. B. C. D. 7. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 129. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为，．半圆与正方形组成一个新的图形，点M为（靠近点D）的三等分点，将此组合图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、、分别将线段、绕点A顺时针旋转到，，连接，，，，下列结论正确的有（　　）①点在上；②；③；④当时，与相切．A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个二、填空题（共15分，每个题3分）11. 如图，是的直径，点C、点B在上，过点C作的切线交的延长线于点D，若，垂直于，垂直于，则__．12. 已知，有一量角器如图摆放，中心在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于，两点，点，对应的刻度分别为，，则______13. 如图，已知是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧（虚线）沿弦折叠后交弦于点D，连接．若，则线段的长为____________． 14. 如图，在扇形中，，，将扇形沿射线方向平移得到对应的扇形，交于点，若点恰好为弧的点，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为轴上一点．已知点，，为的外接圆．则：（1）点的横坐标为________；（2）当最大时，点的坐标为________三、解答题（共55分）16. 如图，点A、B、C、D是上点，为直径，． （1）求证：点C平分．（2）利用无刻度的直尺和圆规做出的中点P（保留作图痕迹）17. 已知：如图，内接于圆，且过圆心是弧上的一点，，垂足为，连接、与交于点．（1）求证：．（2）若，求的长．18. 如图，是的直径，点C在上，于E，． （1）求证：是的切线；（2）若，求的长．19. 如图，在四边形中，，以为直径的交于点，交于点，连接，平分． （1）求证：是切线；（2）若，，求的长．20. 阅读材料并完成相应任务：婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．下面对该定理进行证明．已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点，于点，延长交于点．求证：．证明：，，，，．……任务：（1）请完成该证明的剩余部分；（2）请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长．21. 如图，在中，点D为边上一个动点，以为直径的交于点E，过点C作，交于点F．连接，若是的切线．（1）求证：；（2）若，求直径的长．22. 如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，． （1）求证：是的切线；（2）求的直径；（3）当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 　　．23. 如图，内接于，连接，． （1）如图1，求证：；（2）如图2，点在上，连接，点是上一点，连接，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，求的长．24. 如图1，在中，，于，为边上的点，过、、三点的交于，连接，． （1）求证：；（2）如图2，点为弧上一动点，连接，，．在点运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在扇形中，为弧上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，请直接写出内心所经过的路径长．25. 某种在同一平面进行转动的机械装置如图1，图2是它的示意图，其工作原理是：滑块Q在平直滑道上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作于点H，并测得分米，米，分米． 解决问题：（1）点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是______分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；（2）如图3，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，与是相切的．”你认为这个判断对吗？说明理由；（3）当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．（2023·福建·统考中考真题）26. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）A. B. C. 3 D. （2023·山西·统考中考真题）27. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. （2023·山东泰安·统考中考真题）28. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 2（2023·湖北·统考中考真题）29. 如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________． （2023·四川·统考中考真题）30. 如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 _____． （2023·湖南·统考中考真题）31. 如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． （1）求证：直线直线；（2）若；①求证：；②若，求四边形的周长．（2023·广东·统考中考真题）32. 综合探究如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接． （1）求证：；（2）以点为圆心，为半径作圆．①如图2，与相切，求证：；②如图3，与相切，，求的面积．33. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ）A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④34. 【提出问题】（1）如图①，在中，，，为此三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转至，则两点间的距离为______，的度数为______．【探究问题】（2）如图②，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系，并写出解答过程． 【解决问题】（3）如图③是某圆形公园的设计示意图．已知四边形是内接四边形，为直径，，交于点，于点，于点，按设计要求，阴影部分是室内活动区，若，，则阴影部分的面积为______．35. 【阅读理解】在平面直角坐标系中，把点P沿纵轴或横轴方向到达点Q的最短路径长记为．例如：如图1，点，点，则． 图1（1）①已知点和点，则______．②点E是平面直角坐标系中的一点，且，则所有满足条件的点E组成的图形是（ ）A．一条线段 B．一个等边三角形 C．一个正方形 D．一个圆【新知运用】（2）已知点，点Q在线段上；①如图2，已知点和点，则的最大值是； 图2②如图3，已知点和点，求的最小值． 图3（3）如图4，已知点，点，以点G为圆心，5为半径作，点Q在上，则的取值范围是． 图4【尺规作图】（4）如图5，请用无刻度直尺和圆规直线l上找一点K，使得． 图536. 在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．（1）已知的半径为，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的一对平衡点，求的取值范围；（2）已知点，以点为圆心，长为半径画弧交的正半轴于点．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为的圆，若上的任意两个点都是的一对平衡点，直接写出的取值范围．37. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；（2）如图1，点在线段上，作等腰，使得，且点落在直线上，若满足条件的点有且只有一个，求点的坐标．（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点．①求的度数；②设直线与抛物线相交于两点（点在点的左侧），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标．