四川省眉山第一中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题

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12．
【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得，再利用指数函数必过点0,1来求出函数过的定点.
【详解】由幂函数在0,+∞上单调递增可知：
，解得，
则，此时当时，，
所以则的图象过定点，
故答案为：.
13．/8.5
【分析】利用指数幂的运算性质即可得到结果.
【详解】
.
故答案为：
14．/
【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用均值定理即可求得M的最小值.
【详解】当时，，，不符合题意；
当时，由中有且仅有一个元素，
可得，且，则，
则
令，则，，
则
（当且仅当，即时等号成立）
则的最小值为.
故答案为：
15．(1)
(2)m的取值范围为.
【分析】（1）由题设不等式恒成立有恒成立，即可求k范围，由此确定集合A；（2）根据必要不充分条件的定义可得，分别在和条件下列不等式求m的取值范围．.
【详解】（1）因为对一切实数x恒成立，
所以，
所以，即.
（2）因为“”是“的必要不充分条件，所以，又，
当时，即时，，满足关系，，所以，
当时，即时，，由，可得且，又，所以，当时，，符合要求，
所以m的取值范围为.
16．(1)，
(2)函数在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知得，求出，的值，即可求得函数的解析式，再检验即可；
（2）根据函数单调性的定义可证明；
（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，
所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故，；
（2）函数在上单调递增，证明如下：
任取且，
则，
因为且，所以，，
，，，
所以，所以，即，
所以在上单调递增.
（3）因为为奇函数，
所以，
由（2）可知在上单调递增
所以，解得，
即不等式的解集为.
17．(1)图象见解析，
(2)
(3)
(4)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可得函数的完整图象，再根据函数图象写出函数的单调增区间.
（2）根据偶函数的性质，求函数解析式.
（3）结合图象，可得方程有4个不相等的实数根时，实数的取值范围.
（4）分类讨论，弄清函数在上的单调性，求函数值域.
【详解】（1）函数的图象如图：
单调递增区间为
（2）因为是定义在R上的偶函数，所以.
设，则 ，所以
所以当 时，.
的解析式为 .
（3）关于的方程有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点
结合图象可知，当时，与的图象有个交点
所以.
（4）当时，在单调递减，而，最小值为
∴的值域为
当时，在单调上递减，在上单调递增
所以最小值为1，