四川省眉山第一中学2024-2025学年高二上学期12月期中考试数学试题

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一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．不存在
2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若如右图中的直线的斜率分别为，则（ ）
A. B． C． D．
4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．向量，若，且，则的值为（ ）
A．或1 B．1 C．3或D．3或1
6．如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（ ）
A．67B．49C．7D．
7．皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理。依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.)
9．下列叙述错误的是（ ）
A．若事件发生的概率为，则
B．分层是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等
C．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
D．对于任意两个事件和，都有
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．，，三点共线
C．直线必过定点
D．经过点，倾斜角为的直线方程为
11．如图，直三棱柱所有棱长均为，，，，分别在棱，上，（不与端点重合）且，，分别为，中点，则（ ）
A．平面
B．过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形
C．在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为
D．若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为3
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12．已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ．
13．已知过点(0，－2)的直线与以点A(3，1)和B(－2 eq \r(3) ，4)为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 ．
14．在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是 ．
四、解答题：(第15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分.)
15．在中，，边上的高所在直线的方程为，
的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.
(1)求直线的方程；
(2)求直线的方程及点的坐标.
16．如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
17．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
（1）求与的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
18．如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，
（i）求平面PDM和平面BDM的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，
（1）试计算的绝对值的值，并求证面；
（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.