2025届河南省商丘市九年级下学期中考数学毕业会考模拟试题（含解析）

这是一份2025届河南省商丘市九年级下学期中考数学毕业会考模拟试题（含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1. 数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. 爱心曲线B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线D. 四叶花曲线
2. 下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（ ）
A. 守株待兔B. 旭日东升C. 瓜熟蒂落D. 夕阳西下
3. 在中，若|，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知关于x方程的一根为0，另一根不为0，则m的值为（ ）
A 1B. C. 1或D. 以上均不对
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
6. 抛物线y=kx2-1与双曲线在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，CD为的直径，，，，则弦（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（ ）
A B. C. D.
10. 如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（ ）
A. 11B. C. D. 13
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若，则的值为 __．
12. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______．
13. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______．
14. 如图，在中，，点在轴上，、分别为、的中点，连接，为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点．若的面积为6，则的值为 __．
15. 如图，在中，，将绕直角顶点顺时针旋转得，点的对应点是点，则图中阴影部分面积为______．
三、计算题（本题共8题，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．

（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是 ．
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
18. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
19. 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求关于的函数表达式：
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
20. 已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，，且，求证：，，三点共线；
（3）小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值．
21. 如图，是的外接圆，为的直径，过点作平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求劣弧的长度（结果保留．
22. 《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程：
（1）初步感知：函数的自变量取值范围是 ；
（2）作出图象：①列表：
表中 ， ；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标点，根据描出的点画出该函数的图象；
（3）研究性质：
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 ；
（4）拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围．
23. 如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？
（1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？
变式训练：
（2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？
（3）如图③，在中，，正方形的边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值．
2025届河南省商丘市九年级下学期中考数学毕业会考模拟试题
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. 爱心曲线B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线D. 四叶花曲线
【正确答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）逐项判断，即可解题．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
2. 下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（ ）
A. 守株待兔B. 旭日东升C. 瓜熟蒂落D. 夕阳西下
【正确答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案；
【详解】解：A．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选：A．
本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间
3. 在中，若|，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出，，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
4. 已知关于x的方程的一根为0，另一根不为0，则m的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 以上均不对
【正确答案】A
【分析】首先将根为0代入方程解得的值，然后利用根的判别式进行判断的范围，再根据二次项系数不能为0，从而得到所求的的值．
【详解】解：关于的方程的一根为0，
，
即，
解得：或．
当时，方程为，
解之得，，符合题意；
当时，方程为，
方程只有一个根，不符合题意；
∴，
故选：A．
本题主要考查一元二次方程的解和根的判别式的综合运用，关键是求到的取值范围．
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
【正确答案】D
【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故选：D．
6. 抛物线y=kx2-1与双曲线在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别判断反比例函数图像与抛物线的位置，即可求解．
【详解】分两种情况讨论：①当时，反比例函数在第一、三象限，而二次函数开口向上，顶点在y轴上，且与y轴交点为，四个选项都不符合；②当时，反比例函数在第二、四象限，而二次函数开口向下，顶点在y轴，且与y轴交点为，D选项符合．
本题主要考查反比例函数与二次函数综合，熟练掌握反比例函数与二次函数的图像和性质，是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，直接利用相似三角形的判定与性质得出三边关系，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：过点作轴于点N，过点作轴于点M，
由题意可得：，
∴轴，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
则，
解得：（负数舍去），
则，
故点C的对应点的坐标为：．
故选：A．
8. 如图，在中，CD为的直径，，，，则弦（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】连接BD，由圆周角定理得出∠BDC=60°，进而证明△OBD是等边三角形，由CD⊥AB及勾股定理，可求出BF的长度，再由垂径定理即可得出AB的长度．
【详解】解：连接BD，
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AB=2BF，，
∵∠AEC=60°，
∴∠ODB=∠AEC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴OB=OD=4，
∴OF=OD=2，
∴BF=，
∴AB=2BF=，
故选：D．
本题考查了圆周角定理、勾股定理及垂径定理，理解垂径定理是解题的关键．
9. 如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可．
【详解】解：如图，过点C作交于点E．
∵，，
∴．
∵，
∴设，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10. 如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（ ）
A. 11B. C. D. 13
【正确答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；作点关于的对称点，连接，，则：，再根据，进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，，则，
∴，
又∵，
∴当四点共线时，的值最小为，
∵矩形，
∴，
∴，
∴的值最小为；
故选A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若，则的值为 __．
【正确答案】
【分析】本题主要考查比例的性质，设，，再代入计算即可得到答案．
【详解】解：设，，
则
．
故．
12. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______．
【正确答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
故．
13. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______．
【正确答案】0,2,-2
【分析】当m=0时，函数为一次函数满足题意，当m≠0时，函数为二次函数，此时△=0，可求得m的值.
【详解】解:①当m=0时,函数为y=2x+1，此时图象与x轴有一个交点；
②当m≠0时,函数y=mx+ (m+2)x+m+1的图象是抛物线,
若抛物线的图象与x轴只有一个交点,则方程mx+ (m+2)x+m+1=0只有一个根,
即△=0，可得△=(m+2)-4m(m+1)=0,
解得=2，=-2.
综上可得m的值为0,2,-2.
本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识,解答本题的关键是对函数中m的值进行分类讨论,此题难度不大,但是很容易出现错误.
14. 如图，在中，，点在轴上，、分别为、的中点，连接，为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点．若的面积为6，则的值为 __．
【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．根据等腰，中位线得出，，应用的几何意义求．
【详解】解：如图：连接，
中，，在轴上，、分别为，的中点，
，，
，
．
故．
15. 如图，在中，，将绕直角顶点顺时针旋转得，点的对应点是点，则图中阴影部分面积为______．
【正确答案】
【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的边角关系以及扇形的面积，掌握旋转的性质，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．根据旋转的性质，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：取的交点为，如图，
由题意可知，，
在中，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
故．
三、计算题（本题共8题，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
【正确答案】（1），；（2）
【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算：
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）将特殊角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：（1），
，
或，
解得，；
（2）
．
17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．

（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是 ．
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率、概率公式，（1）利用概率公式求解即可；
（2）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是，
故；
【小问2详解】
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，
∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为．
18. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【正确答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为
（2）检查点和之间的距离为
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【小问1详解】
解：如图，根据题意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
【小问2详解】
过点A作，垂足为．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
19. 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求关于的函数表达式：
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
【正确答案】（1）
（2）销售价格为元时，利润最大为
【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解；
（2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，，
进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解．
【小问1详解】
当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
∴
解得：
∴，
当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
解得：
∴，
【小问2详解】
设利润为
当时，
∵在范围内，随着的增大而增大，
当时，取得最大值为；
当时，
∴当时，w取得最大值为
，
当销售价格为元时，利润最大为．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
20. 已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，，且，求证：，，三点共线；
（3）小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】本题考查属于二次函数综合题，考查二次函数的交点式，一次函数解析式，两条直线的交点坐标等．
（1）根据抛物线与x轴交点坐标设交点式，与对比，求出a的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点D坐标，证明点D满足直线的解析式即可；
（3）在（2）的条件下，求出直线，的解析式，联立求出点P的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，
则，
即抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
证明：设直线对应的函数表达式为，
为中点，
．
又，
，解得：，
直线对应的函数表达式为，
点在抛物线上，
，
解得：或，
，
，，
，即满足直线对应的函数表达式，
点在直线上，即，，三点共线；
【小问3详解】
解：小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，
故在（2）的条件下，，，，，
直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，
联立上述两式得：，
解得：，
则点，，
此时的面积．
21. 如图，是的外接圆，为的直径，过点作平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求劣弧长度（结果保留．
【正确答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【分析】（1）由是的外接圆，为的直径，可得，由，可得，由平分，可得，，则，，进而可证；
（2）如图1，连接，由，可得，则，由，可得，则，，进而结论得证；
（3）证明，则，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵是的外接圆，为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
小问2详解】
证明：如图1，连接，
图1
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是半径，
是的切线；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
由勾股定理得，，即，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
．
∴劣弧的长度为．
本题考查了外接圆，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，角平分线，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，正切，弧长等知识．熟练掌握外接圆，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，角平分线，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，正切，弧长是解题的关键．
22. 《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程：
（1）初步感知：函数的自变量取值范围是 ；
（2）作出图象：①列表：
表中 ， ；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
（3）研究性质：
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 ；
（4）拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）①，0；②见解析
（3）
（4）
【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．
（1）由题意知，，求解作答即可；
（2）①将，分别代入求解即可；②描点连线即可；
（3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可；
（4）由题意知，当时，函数中，，把，代入函数得，，解得，把，代入函数得，解得，然后作答即可．
【小问1详解】
解：∵函数
∴，解得，
∴函数的自变量的取值范围是．
故．
【小问2详解】
①时，，
．
当时，，
，
故，0；
②函数图象如图所示：
【小问3详解】
函数的对称中心为，
故；
【小问4详解】
当时，函数中，，
把，代入函数得，，解得，
把，代入函数得，解得，
当时，关于的方程有实数解，的取值范围是．
23. 如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？
（1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？
变式训练：
（2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？
（3）如图③，在中，，正方形的边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值．
【正确答案】（1）；（2）当，时，此时矩形面积最大．（3）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质：
（1）设正方形零件边长为，根据，可得，即可求解；
（2）设，根据，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据，可得，从而得到，再由，即可求解．
【详解】解：（1）四边形为正方形，
，
，
设正方形零件的边长为 ，则 ，，，
，
即，
解得，
故这个正方形零件的边长是．
（2）设 ，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
矩形面积，
时，此时矩形面积最大．
即当，时，此时矩形面积最大．
（3）四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
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1
2
3
2
3
5
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