数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时教案及反思

这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时教案及反思，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 平面与平面垂直的性质

一、教学目标
1.理解并掌握平面与平面垂直的性质定理；并能用文字、符号和图形语言描述定理，并能运用其证明有关的垂直问题．
2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．

二、教学重难点
重点：平面与平面垂直的性质定理．
难点：平面与平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用．

三、教学过程
（一）创设情境
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想一想：平面与平面垂直时会得到哪些结论呢？
师生活动：教师展示生活中给我们平面与平面垂直的实例. 之后提出问题，引导学生探究面面垂直时能得到哪些结论，用数学的语言表示.
设计意图：通过直观观察，操作确认得出面面垂直的位置关系及其性质. 结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究平面与平面垂直的性质.
思考：如下图，设α⊥β，α∩β=a．则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？
相应地，b与α有什么位置关系？为什么？当b⊥a时，如图，直线b与α有什么位置关系？为什么？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：显然，b与a平行或相交．当b//a时，b//α；当b与a相交时，b与α也相交．
当b⊥a时，如上（右）图，设b与a的交点为A，过点A在α内作直线c⊥a，则直线b，c所成的角就是二面角α−a−β的平面角，由α⊥β知，b⊥c．又因为b⊥a，a和c是α内的两条相交直线，所以b⊥α．

由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
符号语言：若α⊥β，α∩β=l，AB⊂α，AB⊥l于点B，则AB⊥β．
注意：运用定理时三个条件缺一不可：①“面面垂直”，α⊥β；②“线在面内”，AB⊂α；③“线线垂直”，AB⊥l于点B.
作用：此定理揭示了由“面面垂直”可以推出“线线垂直”．这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题．例如：装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的线段，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可．
我们知道，可以通过“线线垂直”判定“线面垂直”；可以通过“线面垂直的定义”得到“线线垂直”；可以通过“线面垂直”判定“面面垂直”；同时“面面垂直的性质”得到“线面垂直”．这种直线、平面之间的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的一种重要的思想方法．
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线面垂直的判定
线面垂直的定义
面面垂直的判定
面面垂直的性质
师生活动：教师引导学生结合之前所学，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程，学生根据问题进行直观感知，并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想. 直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验，要求用语言描述发现的结论.
设计意图：通过问题引导学生感知在两个相互垂直的平面中，有哪些特殊的直线、平面的位置关系．然后通过操作，确认两个平面垂直的性质定理的合理性，进而提出猜想，最后进行逻辑推理，证明性质定理成立．这个过程采用的思路仍然是“直观感知、操作确认、推理证明”，这是符合学生学习立体几何知识，培养空间观念、直观想象素养以及逻辑推理能力的基本规律的．
说一说：已知两个平面垂直，下列命题错误的有 .
①一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
答：①③④，理由如下：
一个平面内只有垂直于交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，故①③错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，故②正确；过一个平面内任意一点作交线的垂线，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，故④错误．
任务2：探究平面与平面垂直的相关结论.
思考：如图，设平面α⊥β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
答案：如图，设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c．
∴根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β．
∵过一点有且只有一条直线与平面β垂直，
∴直线a，b重合，因此，即a⊂α．
结论：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
思考：两个平面互相垂直的性质告诉我们，可以在一个平面内作另一个平面的垂线．如果直线不在两个平面内，如图，已知平面α⊥β，直线a⊥β，a⊄α，直线a与平面α是什么位置关系呢？
答案：在α内作垂直于α与β交线的直线b．
∵α⊥β，
∴b⊥β．
又a⊥β，
∴a//b．
又a⊄α，
∴a//α．
即直线a与平面α平行．
结论：如果一条直线垂直于两个互相垂直的平面中的一个，则这条直线要么在另一平面内，要么与另一平面平行．
（三）应用举例
例1 如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．
分析：题目给出面面垂直能给我们提供什么条件？
找两个平面的交线，作垂直出线面垂直
证明：如图，过点A作AE⊥PB．
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC．
∵BC⊂平面PBC,
∴AE⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC．
又PA∩AE=A，
∴BC⊥平面PAB．
例2 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：
（1）DE=DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA．
提示：证明线段相等的方法有哪些？
证明：（1）取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN∥EC，且MN=12EC．
因为EC∥BD，BD=12EC，
所以MN∥BD，MN=BD．
所以四边形MNBD是平行四边形．
所以DM∥BN．
因为EC⊥平面ABC，
所以EC⊥BN．
又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．
所以DM⊥平面ECA．
又AE⊂平面DCE，
所以DM⊥AE，
又M是EA的中点，所以△ADE是等腰三角形，即DE=DA．
总结：证明线段相等的方法：
①等腰三角形②垂直平分线的性质③全等
（2）由（1）知，BN⊥平面ECA．
因为BN⊂平面MNBD，
所以平面MNBD⊥平面ECA，
即平面BDM⊥平面ECA．
（3）由（1）知，DM⊥平面ECA．
又DM⊂平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA．
总结：证明面面垂直
方法：定义法；面面垂直判定定理
步骤：①找线线垂直②再证线面垂③最后证面面垂直
设计意图：通过例题，考查学生对两个平面互相垂直的判定定理和性质定理的综合应用，加深对知识的理解．
例3 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC,BD 相交于点O，EF//AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面 ABCD，点G 为BC 的中点.
(1)求证：直线OG// 平面EFCD (2)求证：直线AC⊥平面ODE .

证明：（1）
∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩ BD = O
∴点O是BD的中点
∵点G为BC的中点，∴OG//CD
又∵OG平面EFCD，CD 平面EFCO
∴直线OG//平面EFCD .
提示：证明线面垂直的突破口是什么？找到线线垂直
（2）∵BF=CF，G 为BC 中点∴FG⊥BC
∵平面BCF⊥平面ABCD 平面BCF ∩平面 ABCD=BC
FG平面BCF，FG⊥BC
∴FG⊥平面ABCD
∵ AC平面ABCD，∴FG⊥ AC
OG∥AB,OG=12AB,EF∥AB,BF=12AB
∴ OG//EF，OG=EF
∴四边形EFGO 为平行四边形，∴FG//EO
∵ FG⊥AC，FG//EO，∴AC⊥EO
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥DO
∵ AC⊥EO AC⊥DO EO∩DO=O，EO,DO 在平面ODE 内
∴AC⊥平面ODE .
（四）课堂练习
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1)如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.( )
(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.( )
(3)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )
解：(1)×(2)√(3)√
(1)根据面面垂直的性质定理，如果两个面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.所以，平面α与平面β垂直，平面α内不是所有直线都垂直于平面β，故该括号内画×；
(2)当平面α内的直线与交线平行时，该直线平行于平面β．
所以，平面α与平面β垂直，平面α内一定存在直线平行于平面β，故该括号内画√;
(3)由线面垂直证明面面垂直知，“如果一条直线垂直于另一平面，那么这条直线所在平面垂直于另一平面. 反推，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.是正确的，故该括号内画√ .
2.点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=5,BC=4,将直角△ABC沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是 ．
解：如图，过点B′作B'E⊥CD于E，连结BE，AE，
设∠BCD=∠B'CD=α，
则有B'E=4sinα，CE=4csα， ∠ACE=π2−α，
在△AEC中，由余弦定理得：
AE2=25+16cs2α−40cs αcs (π2−α)
=25+16cs2α−40sinαcsα，
在Rt△AEB′中，由勾股定理得：
AB'2=AE2+B'E2=25+16cs2α−40sinαcsα+16sin2α
=41−20sin2α，
∴当 α=π4 时，AB′取得最小值 21．
故答案为： 21．
3.如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD//BC，BC=kAB (k>0)，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN⊥平面BCDA，再将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．

(1)如图2，当k= 2时，若点B1在MN上，且DM=1，AB>1，证明：AB1⊥平面B1CD，并求AB的长度．
(2)如图3，当k= 3时，若点O恰好落在▵ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1−AC−D的余弦值的取值范围．
解：(1)∵点B1在平面ABCD上的投影为O且点B1在MN上，
∴点O恰好落在边AD上，
∴平面AB1D⊥平面ACD，
又CD⊥AD，平面AB1D∩平面ACD=AD，CD⊂平面ACD，
∴CD⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，
∴AB1⊥CD，
又∵AB1⊥CB1，CD∩CB1=C，CD⊂平面B1CD，CB1⊂平面B1CD，
∴AB1⊥平面B1CD，B1D⊂平面B1CD，
∴AB1⊥B1D
设AB=x，BC=AD= 2x，则NB1= x2−1，
∵AB1⊥B1D，
∴▵ANB1∼▵B1MD，
∴B1D=MDB1N⋅AB1=x x2−1，
在Rt△B1CD中，x2+(x x2−1)2=( 2x)2，解得x= 2，
∴AB= 2．
(2)作BE⊥AC，交AC于E，交AD于F，如图：

当点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界)时，点O恰好在线段EF上，
又∵B1E⊥AC，EF⊥AC，
∴∠B1EF为二面角B1−AC−D的平面角，
当k= 3时，由△AEF∼△CEB，可得EFEB=13，且B1E=EB，∴cs∠B1EF=EOB1E∈0,13，
故二面角B1−AC−D的余弦值的取值范围为0,13.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固平面与平面垂直的性质定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.