数学七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.3 余角和补角学案设计

这是一份数学七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.3 余角和补角学案设计，共18页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
掌握互为余角和互为补角的概念及性质；
会用余角、补角性质进行有关计算；
【要点梳理】
知识点一、余角与补角
1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
特别说明：
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°．
知识点二 邻补角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
特别说明：
邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
【典型例题】
类型一、余角、补角的理解
1、下列说法中正确的是（ ）
A．一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°
B．如果一个角有补角，那么这个角必是钝角
C．如果，则，，互为余角
D．如果与互为余角，与互为余角，那么与也互为余角
【答案】A
【分析】根据余角和补角的定义以及性质进行判断即可，
解：A.一个锐角的余角比这个角的补角小，故选项正确；
B.的补角为，故选项错误；
C.当两个角的和为，则这两个角互为余角，故选项错误；
D.如果与互为余角，与互为余角，那么与相等，故选项错误．
故选：A
【点拨】本题考查了余角、补角的概念及其性质．余角和补角指的是两个角之间的关系：两角和为为互余，和为为互补；同角（或等角）的余角（或补角）相等；另外，证明一个命题的错误性还可以用举反例的方法．熟记定义和性质进行判断即可．
举一反三：
【变式1】下列判断正确的个数是( )
①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③锐角和钝角互补；④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
解：锐角的补角一定是钝角，①正确；
钝角的补角小于这个角，②错误；
锐角和钝角不一定互补，③错误；
如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，④正确；
正确的判断有2个．
故选C．
【变式2】下列关于余角、补角的说法，正确的是（ ）
A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补
C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余
D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补
【答案】A
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补．根据此定义判断即可．
解：A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，此选项符合题意；
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互余，此选项不符合题意；
C．3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意；
D．3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质．
类型二、求一个角的余角和补角
2、已知：锐角∠AOB．
（1）若∠AOB=65°，则∠AOB的余角的度数为________度．
（2）若∠AOB=53°17ʹ，则∠AOB的补角的度数为________．
（3）若∠AOB=31°12ʹ，计算：∠AOB=___________．
（4）若∠AOB=20°21ʹ，计算：3∠AOB．
【答案】（1）25°；（2）126°43ʹ；（3）15°36ʹ；（4）61°3ʹ．
【分析】（1）根据余角的性质，即可求解；
（2）根据补角的性质，即可求解；
（3）用 乘以∠AOB，即可求解；
（4）用3乘以∠AOB，即可求解．
解：（1）∠AOB的余角的度数为
（2） ；
（3） ；
（4）3∠AOB=3×20°21ʹ=60°63ʹ=61°3ʹ．
【点拨】本题主要考查了余角和补角，角的倍分关系，熟练掌握余角和补角的性质，角的倍分关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 图中哪些角互为余角？哪些角互为补角？
【答案】∠COD和∠COE，∠AOD和∠BOE, ∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE互为余角；∠AOD和∠BOD，∠COD和∠BOD，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE互为补角
【分析】和为90°的两角互余，和为180°的两角互补，根据两角和即可找出互余与互补的角．
解：由题意知
∵
∴∠AOC和∠BOC互为补角；
∴
∴∠COD和∠COE互为余角；
同理，∠AOD和∠BOE, ∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角；∠AOD和∠BOD，∠COD和∠BOD，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE也互为补角；
∴∠COD和∠COE，∠AOD和∠BOE, ∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE互为余角；∠AOC和∠BOC，∠AOD和∠BOD，∠COD和∠BOD，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE互为补角．
【点拨】本题考查了两角互余与两角互补的关系．解题的关键在于正确的找出角度的数量关系．
【变式2】O是直线AB上一点在同一平面内直线，AB的同侧有∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°．
(1)请画出题设的图形，并分别写出∠COD的余角，∠AOC的补角；
(2)写出图中相等的锐角，并说明理由?
【答案】(1)图见分析，∠COD的余角为∠AOC，∠DOE；∠AOC的补角为∠BOC；
(2)∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE，理由见分析．
【分析】（1）根据题目的条件画出对应的几何图形，然后利用余角和补角的定义写出∠COD的余角，∠AOC的补角；
（2）根据等角的余角相等可判断∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE．
(1)解：如图，
∠COD的余角为∠AOC，∠DOE；∠AOC的补角为∠BOC；
(2)解：图中相等的锐角有：∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，
∴∠AOC+∠COD＝90°，∠COD+∠DOE＝90°，
∴∠AOC＝∠DOE；
∵∠BOE+∠DOE＝90°，∠COD+∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠COD．
【点拨】本题考查了求一个角的余角和补角，解决本题的关键是准确作出符合条件的图形，熟记余角和补角的定义.
类型三、与余角和补角的相关运算
3、如图，O，D，E三点在同一直线上，∠AOB=90°．
（1）图中∠AOD的补角是_____，∠AOC的余角是_____；
（2）如果OB平分∠COE，∠AOC=35°，请计算出∠BOD的度数．
【答案】（1）∠AOE，∠BOC；（2）125°
【分析】（1）结合图形，根据补角和余角的定义即可求得；
（2）由∠AOC=35°，∠AOB=90°可求得∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BOE的度数，再根据邻补角的定义即可求得∠BOD的度数．
解：（1）图中∠AOD的补角是∠AOE，∠AOC的余角是∠BOC，
故答案为 ∠AOE， ∠BOC；
（2）∵∠AOC=35°，∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-35°=55°，
∵OB平分∠COE，
∴∠BOE=∠BOC=55°，
∴∠BOD=180°-∠BOE=180°﹣55°=125°．
【点拨】本题考查了余角和补角的定义、角平分线的定义等，熟练掌握相关的内容是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是一个直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）如图2，若∠AOC＝x°，求∠DOE的度数．（用含有x的代数式表示）
【答案】（1）15°；（2）
【分析】（1）根据互补求出∠BOC，再根据角平分线求出∠COE，再用互余，求出结果即可；
（2）方法同（1），把角度用未知数表示，相应的角度用含有x的代数式表示即可．
解：（1）∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC＝75°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝15°；
（2）∵∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝（180﹣x）°，
又∵OE平分∠BOC
∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC＝（180﹣x）°，
又∵∠COD＝90°
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（180﹣x）°＝x°
【点拨】本题考查角平分线、互为余角、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．
【变式2】如图，已知∠AOB＝140°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．
（1）若∠COE＝40°，求∠DOE和∠BOD；
（2）设∠COE＝α，∠BOD＝β，试探究α与β之间的数量关系．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据互余的性质求出，根据角平分线的性质求出，结合图形计算即可；
（2）根据互余的性质用表示，根据角平分线的性质求出，结合图形列式计算即可．
解：（1）∵与互余，，
∴，
∵OE平分，
∴，
∴，
∴，；
（2）∵，且与互余，
∴，
∵OE平分，
∴，
∴，
解得：．
【点拨】本题考查了余角及角平分线的性质，角的计算，理解两个性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
类型四、同（等）角的余（补）角相等的应用
4、补全解题过程
（1）已知：如图1，点C是线段AB的中点，CD＝2cm， BD＝8cm，求AD的长
解：∵CD＝2cm，BD＝8cm，
∴CB＝CD＋______＝______cm
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝CB＝_____cm，
∴AD＝AC＋_____＝_____cm
（2）如图2，两个直角三角形的直角顶点重合，∠BOD＝40°，求∠AOC的度数．
解：∵∠AOC ＋∠COB＝__________° ， ∠COB＋∠BOD＝__________°，…………①
∴∠AOC ＝__________ ……………………②
∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝________°
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：________________________________
【答案】（1）BD，10，10，CD；（2）90，90，∠BOD，50，同角的余角相等
【分析】（1）先推出CB＝10cm，根据中点的定义得AC＝CB，进而即可求解；
（2）根据同角的余角相等，即可求解．
（1）解：∵CD＝2cm，BD＝8cm，
∴CB＝CD＋BD＝10cm
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝CB＝10cm，
∴AD＝AC＋CD＝12cm
故答案是：BD，10，10，CD；
（2）解：∵∠AOC ＋∠COB＝90° ， ∠COB＋∠BOD＝90°，………①
∴∠AOC ＝∠BOD ………②
∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝50°
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．
故答案是：90，90，∠BOD，50，同角的余角相等．
【点拨】本题主要考查线段的中点的定义，角的和差运算，掌握同角的余角相等是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
(1)判断大小关系：∠AOD______∠BOC(填＞、=、＜等)
(2)若 ∠BOD=35°，则∠AOC= ；若∠AOC=135°，则∠BOD= ；
(3)猜想 ∠AOC与∠BOD的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)、=；(2)、145°、45°；(3)猜想：∠AOC+∠BOD=180°，理由见分析.
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，∠AOD=90°-∠BOD，∠BOC=90°-∠BOD，即可判断∠AOD=∠BOC；
（2）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补.
解：(1) ∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOD=90°-∠BOD，∠BOC=90°-∠BOD,
∴∠AOD=∠BOC;
(2)∵∠AOB=∠COD=90°,∠BOD=35°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD−∠BOD=90°+90°−35°=145°；
∵∠AOB=∠COD=90°,∠AOC=135°，
∴∠BOD=∠AOB+∠COD−∠AOC=90°+90°−135°=45°；
(3)、猜想：∠AOC+∠BOD=180°
理由： 依题意∠AOB=∠DOC=90°
∴∠AOC+∠BOD=(∠AOB+∠BOC)+∠BOD
=∠AOB+(∠BOC+∠BOD)
=∠AOB+∠DOC
=90°+90°
=180°.
【点拨】本题考查余角和补角.
【变式2】将两个直角三角尺的顶点O叠放在一起
（1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=___；若∠AOC=135°，则∠BOD=___；
（2）如图（2）若∠AOC=140°，则∠BOD=___；
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由．
【答案】（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC与∠BOD互补，理由见分析
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；
（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；
解：（1）若∠BOD=35°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°，
若∠AOC=135°，
则∠BOD=∠AOB+∠COD-∠AOC=90°+90°-135°=45°；
（2）如图2，若∠AOC=140°，
则∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD=40°；
（3）∠AOC与∠BOD互补，理由如下，
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC与∠BOD互补．
【点拨】本题主要考查了互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．
类型五、与余角和补角相关综合压轴题
5、综合与实践
如图，为直线上一点，过点在的下方作射线，将一直角三角板按如图所示的方式摆放（）．
（1）将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由．
（2）若，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③
①使边在的内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）平分，理由见分析；（2）①，理由见分析；②或．
【分析】（1）由平分，可求出，再根据可得 从而可得进而得出结论；
（2）①由可得：，由 从而可得 移项合并后可得结论；②分三种情况讨论：当在的内部时，当在的内部，在的外部时，当都在的外部时，分别画出符合题意的图形，利用角的和差关系列出等式，从而可得结论．
解：（1）平分． 理由如下：
∵平分，
∴
∵


∴平分；
（2）①，理由如下：
∵∠MON=90°，
∴，
∵∠BOC=60°，
∴
∴
即：，
②如图，当在的内部时，


当在的内部，在的外部时，如图，


当都在的外部时，如图，


综上：与之间的数量关系为或
【点拨】本题考查的是角平分线的定义，余角，补角的含义，角的和差运算，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即．
（1）如上图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_______；
（2）如上图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，
①若恰好平分，则_______；
②若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系；
（3）将直角三角板绕点O顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数．
【答案】（1）；（2）①；②与数量关系为：；（3）的度数为或．
【分析】（1）利用余角的定义可求解；
（2）①由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解；
②由∠COD＝∠BOC−∠BOD，∠COD＋∠COE＝90°，结合∠BOC的度数可求解；
（3）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的和差可求解．
解：（1）由题意得∠BOD＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠COD＝90°−40°＝50°，
故答案为50°；
（2）①∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°−40°＝140°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝70°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝90°−70°＝20°，
故答案为20°；
②∵∠COD＝∠BOC−∠BOD，∠COD＋∠COE＝90°，
∴∠BOC−∠BOD＋∠COE＝90°，
∴∠COE−∠BOD＝90°−∠BOC，
∵∠BOC＝40°，
∴∠COE−∠BOD＝90°−40°＝50°，
∴与数量关系为：．
（3）①当在的内部时，
∵，而
∴
∵
∴，
又∵，
∴，
∴；
②当在的外部时，
∵，而，
∴，
∵
∴
又∵，
∴，
∴，
综上所述：的度数为或．
【点拨】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
【变式2】一直角三角板的直角顶点在直线上，作射线三角板的各边和射线都处于直线的上方．
（1）将三角板绕点在平面内旋转，当平分时，如图1，如果，求的度数；
（2）如图2，将三角板绕点在平面内任意转动，如果始终在内，且，请问： 和有怎样的数量关系?
（3）如图2，如果平分，是否也平分?请说明理由．
【答案】（1）；（2）∠BOC－∠AOM＝；（3）OB平分∠CON．理由见分析
【分析】（1）根据角平分线的意义可得∠COM=∠BOC=65°，再根据互余可求出∠AOC的度数；
（2）当OA始终在∠COM的内部时，有∠AOM+∠AOC=65°，∠AOC+∠BOC=90°，进而得出∠AOM与∠BOC的等量关系；
（3）根据余角的性质得出∠AOM+∠BOC=90°，再证明∠AOM+∠BON=90°，即可得出结论.
解：（1）∵平分，
∴∠COM=∠BOC=65°，
又∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠AOC=90°-65°=25°；
（2）∵OA始终在∠COM的内部，
∠COM=∠AOM+∠AOC=65°，
∴∠AOC=65°-∠AOM，
又∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴65°-∠AOM+∠BOC=90°，
∴∠BOC－∠AOM＝；
（3）∵平分，
∴∠AOM=∠AOC，
又∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠AOM+∠BOC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠BOC=∠BON，
∴平分.
【点拨】本题考查角的计算、角平分线的定义、余角的性质，解题的关键是理解题意，正确利用数形结合进行分析，仔细观察图形，找到各个量之间的关系.