2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题8（含解析）-练习

这是一份2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题8（含解析）-练习，共17页。
典例1、已知，如图四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，平面ABCD，
E，M分别是BC，PD中点，点F是棱PC上的动点．
（1）证明：平面PAD；
（2）请确定F点的位置，使得直线AF与平面PCD所成的角取最大值．
随堂练习：已知正方体和平面，直线平面，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值.

典例2、如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点．
（1）若平面，求；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？

随堂练习：如图，在三棱柱中，底面，D为的中点，点P为棱上的动点（不包括端点），，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

典例3、在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，
，为棱上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的平面角的正切值为，求的长；
（3）在（2）的条件下，若为线段上一点，求与面所成角为，求的最大值．

随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

知识点一 锥体体积的有关计算,证明面面垂直
典例4、边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，
AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.
（1）证明：平面平面； （2）求四棱锥的体积.

随堂练习：如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．
（1）证明：平面PCD⊥平面PBC； （2）若，求三棱锥的体积．

典例5、如图，在三棱柱中，，，，点D，E，F分别为线段BC，，的中点，且.
（1）证明：平面平面ABC； （2）若，求三棱锥的体积.

随堂练习：如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为2的菱形，，．
（1）证明：平面平面； （2）若，求三棱柱的体积．

典例6、如图，已知在四棱锥中，，，，，
E，F分别为棱PB，PA的中点．
（1）求证：平面平面EFDC；
（2）若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥的体积．
随堂练习：如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，
，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）点在棱上，满足且三棱锥的体积为，求的值.

空间向量和立体几何高考复习专题八答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在正方形中有，，，
，又因为，所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）连接MN,由题意可得，，
，由，所以为直角三角形，即，
，
设点到平面的距离为，由得，
，即，得，
即四棱锥的体积为
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）

解：（1）连接，因为，所以,
又因为，，所以，即,
又因为底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，
又因为平面PCD，，
所以平面PCD,又因为平面PBC， 所以平面PCD⊥平面PBC.
（2）在直角三角形中，
在直角三角形中，
所以，
所以， 所以.
典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）如图，取AC的中点O，连接OD，，因为，，
所以为等边三角形，所以.
又因为，点O，D分别为线段AC，BC的中点，所以，所以，
因为，，平面，所以平面，
∵平面，则，
又因为，平面ABC，所以平面ABC，
又因为平面，所以平面平面ABC.
（2）如图，过B作于点G，由（1）得平面平面ABC，
且平面平面，平面，所以平面，
在直角ABC中，，，，所以，由，
又因为点D为线段BC的中点，所以点D到平面的距离h为点B到平面的距离BG的一半，即.
因为点E，F分别为线段，的中点，所以，
又因为，所以的面积为，，
所以三棱锥的体积为.

随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）因为侧面是矩形，则，又因为，，，
即有，则，又，平面，
因此平面，而平面， 所以平面平面．
（2）由（1）知，平面，而平面，则，
因为，于是得，而是边长为2的菱形，
因此是正三角形，，
所以三棱柱的体积.
典例3、答案：（1）见解析； （2）
解：（1）因为在平面中，，故，
因为，故，而，
，平面，故平面.
因为平面，故， 因为，，故，
因为，平面，故平面.
因为分别为棱的中点，故，
而，故，
故四点共面，而平面， 故平面平面.

（2）取的中点为，连接， 由（1）可得，，
故，而平面，
故平面，故为直线与平面所成的角， 故，
因为平面，平面，故，
故为等腰直角三角形，而，故，故，
故直角梯形的面积.
又平面，故平面平面，
而为等边三角形，故，且.
因为平面，平面平面， 故平面，
故四棱锥的体积为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析. （2）.
解：（1）由题意底面， ,， 则底面为直角梯形，
连接 ，则,故四边形为矩形，

则 ， 所以四边形为正方形，所以 ，
因为侧面为等边三角形，O是 的中点， 所以 ，平面，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以， 因为平面 ，
所以平面， 因为平面 ，所以平面平面.
（2）因为底面中， ,，
侧面 为等边三角形，O是的中点，
所以,,, ，
因为平面，平面， 所以 ，
所以 ，
因为 ， 所以,所以 ,
设点到平面的距离分别为，
因为 ，所以 ,即，故，
因为三棱锥的体积为，
所以 所以 ，解得，
所以，即 因为，所以 .
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）F为PC的中点
解：（1）连接AC，∵底面ABCD为菱形，， ∴△ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴， 又， ∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵，PA、平面PAD， ∴平面PAD，
（2）由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，．
设，．
设平面PCD的法向量为， 则
令，则，， ∴．
设直线AF与平面PCD所成的角为，
则
当时，最大，此时F为PC的中点．

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最大值为.
解:（1）证明：连接，则，因为平面，平面，所以；
又因为，所以平面； 因为平面，所以；
同理；因为，所以平面；
因为平面，过直线作平面与平面相交于直线，则；
所以平面；又平面， 所以平面平面；

（2）设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向
建立空间直角坐标系，则，，，，所以，.
设平面的法向量为， 则，即，取，则；
设，则，因为， 所以；
设直线与平面所成的角为， 则，
所以当时，取到最大值为，此时的最大值为.
典例5、答案：（1） （2）当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
解：（1），所以，解得，
由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，是圆的直径，
所以垂直平分，，
在三角形中，由正弦定理得，则，
由于平面，所以， 由于，
所以三角形是等腰直角三角形，所以, 所以.
（2）由（1）得，设，，
结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，，
设， 则，
设平面的法向量为， 则，故可设，
设直线与平面所成角为， 则，
由于，当且仅当时等号成立，所以，
即当时，直线与平面所成角的正弦值最大.

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）.
解:（1）因为，，所以. 因为底面，平面，所以.
又因为，所以.
因为，，，，平面， 所以平面.
（2）如图，取的中点E，连接. 由，可得平面，
又由，可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

由，，可得， 所以，，，，.
设点P的坐标为，平面的法向量为.
由，，有，
取，则，，可得平面的法向量.
又由，设直线与平面所成的角为.
由，，， 有.
令，， 有
， 故当时，，的最大值为，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
典例6、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）因为平面，面，所以，，
因为，所以两两垂直，
如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，，，
因为，，所以，，
即，，因为，所以平面
（2）由（1）知：平面，取平面的法向量，
因为，，
设平面的一个法向量为，
由，取，则，，所以，
设二面角的平面角为，且为锐角， 则，所以
所以，
整理可得：，解得：，所以的长为.
（3）由（2）知的长为，即，
因为为线段上一点，所以，设，
所以，
平面的一个法向量，
则 ，
当时，最小为，
所以最大值为， 综上所述：的最大值为.

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）.
解: （1）取，中点，，连接，，.

由，得，， 又， 所以平面.
由，知四边形是平行四边形，则，
平面，平面，所以平面，
同理平面，且，
所以平面平面， 所以平面.
（2）由， 知四边形是以的等腰梯形.
连接，则， 又平面，所以，
所以平面，又平面， 所以平面平面，
于是点在底面内的射影在上.
（在平面中，，点在以AC为直径的圆上运动）
取中点，则， 于是当底面时，四棱锥的体积最大.
如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴，
建立空间直角坐标系.

由题意得，，， ，.
所以，，.
设平面的法向量， 由，得，
取，则.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.