2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题2（含解析）-练习

这是一份2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题2（含解析）-练习，共19页。
典例1、如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点.
（1）求证:; （2）求二面角的大小.

随堂练习：如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在上，且．
（1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
典例2、如图所示多面体中，底面是边长为3的正方形，平面，，
，是上一点，．
（1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值．

随堂练习：在四棱锥中，，，，，且，
，平面平面.
（1）证明：//平面； （2）求二面角的余弦值.
典例3、如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，
，为的中点.
（1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
随堂练习：如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面
与平面的交线为.
（1）证明∥平面BCM
（2）已知，为上的点，若与平面所成角的正弦值为是，求线段的长.
（3）在（2）的条件下，求二面角的正弦值.
知识点二 求点面距离,面面角的向量求法
典例4、如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，.
（1）求点A到平面SBC的距离；（2）求二面角的大小.

随堂练习：如图，在长方体中，，，为的中点．
（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值．

典例5、已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形是以M为直角顶点等腰直角三角形.
（1）证明M是BC中点；（2）求二面角的大小；（3）直接写出点C到平面的距离.
随堂练习：如图，三棱柱的棱长均为2，点在底面的射影O是的中点.
（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成角的余弦值.
典例6、如图所示，平面平面，且四边形为矩形，，，，．
（1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
随堂练习：如图，平面，，，，，
点，，分别为，，的中点．
（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
空间向量和立体几何高考复习专题二答案
典例1、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）依题意，平面，如图，以为原点，
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意，可得，，
， ，即；
∵，为的中点，∴
（2），平面,
平面，故为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，

， 即，
令，得，故. ，
由图可得二面角为钝角，
二面角的余弦值为，则二面角的大小为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 2（2）
解：（1）证明：连接AN并延长交BC于点E，
因为正四棱锥P−ABCD，所以ABCD为正方形，所以．
又因为，所以，所以在平面PAE中，，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
（2）连接AC交BD于点O，连接PO，
因为正四棱锥P−ABCD，所以平面ABCD，
又OA，平面ABCD，所以，，
又正方形ABCD，所以．
以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，所以，则，，
设平面AMN的法向量为，则，
取，； ，，
设平面PBC的法向量为， 则
取，； 所以，
设平面AMN与平面PBC所成的二面角为， 则，
所以平面AMN与平面PBC所成二面角的正弦值为．

典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：过点作，交于点， 则，即，
因为，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面， 所以平面.
（2）由题意以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，， 即，，
令，，则，，
设二面角为， 所以，即，
所以二面角的正弦值为.

随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）设点满足，即，结合条件，
即，，即；
由条件，即，可得：，显然线段不共线，
从而可得四边形为平行四边形，即可得：//，平面，
平面，故可得：//平面

（2）过点作作的垂线，垂足为，平面，
平面平面，平面平面，可得：平面
∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根据余弦定理：，
根据上述分析可得：，从而可得：.
综上可得：三条直线两两垂直.故以点为原点，方向为轴，
方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系.则有点，， ，，，
设平面的法向量为，则可得：，
即有，令，可得；
平面与平面为同一个平面，显然平面的一个法向量为.
可得：，结合图形可知是锐二面角，
从而可得二面角的余弦值为

典例3、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）记的中点为，连结，
因为，，所以四边形是平行四边形，则，
因为，所以平行四边形是矩形，则，
因为平面，平面，所以，则两两垂直，
（2）故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
因为为的中点，所以，则，
设平面的一个法向量为，而，，
则，令，则，
所以，则，
又平面，所以平面．
.
设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
记平面与平面夹角为，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）依题意，不妨设，则，，
又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，
所以，解得（负值舍去），
所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）在正方形中，，
因为平面，平面，所以∥平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为平面
，平面，所以∥平面
（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，，，，，
设，则有，，，
设平面的法向量为，则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为，则
因为与平面所成角的正弦值为是，
所以， 解得.所以.
（3）由（2）可知平面的一个法向量为
因为是线段的中点，所以
于是，，设平面的法向量
则，即.令，得，，
，所以二面角的正弦值为.
典例4、答案：（1）；（2）.
解:（1）设点A到平面SBC的距离为，因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，
因为四边形为正方形，所以， 因为，所以平面，
因为平面，所以， 因为，所以，
因为， 所以，
所以，解得， 所以点A到平面SBC的距离为，
（2）如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则， 所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为， 所以，
由图可知二面角为锐角， 所以二面角的大小为

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.
解:（1）如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，， 所以，．
因为， 所以．
（2）由（1），得，， 所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，， 所以，
则点到平面的距离．
（3）因为，所以． 由（1）可知，且，
所以平面，即是平面的一个法向量．
由（2）得是平面的一个法向量，
所以．
又二面角的平面角是锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为
典例5、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明：在正三棱柱中，有底面，面，，
又是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 且
，面 面，
面， ，
底面是边长为2的正三角形， 点为中点．
（2）过作，交于．
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
由（1）知，，，，
，则、，，，
所以，，，
设面的一个法向量为，
则，取，得，
令面的一个法向量为， 则，令，则
设二面角的大小为，由图知为锐角，
故，解得． 故二面角的大小为．

（3）过点作，由（1）知且，平面，
平面， 在平面内， ，
又，平面， 平面
由（1）知，，，，
， ， 点到平面的距离为．

随堂练习：答案：（1）；（2）.
解:（1）由点在底面的射影O是的中点，可得平面，
又由是等边三角形，所以两两垂直，
以分别为建立如图所示的空间直角坐标系，
因为三棱柱的棱长都是2，所以得，
可得，所以，
在平面中，，
设法向量为，则有，可得，
取，可得，所以平面的一个法向量为，
记点到平面的距离d，则.
（2）在平面中，，
设法向量为，则有，可得，
取，可得，所以，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值.

典例6、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．
解:（1）证明：∵四边形为直角梯形，四边形为矩形， ∴，，
又∵平面平面，，且平面平面，∴平面
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，

，，，，， 则，．
∵，， ∴为平面的一个法向量．
又， ∴，即平面．
（2）由（1）知， 由（1）知，，
设平面的一个法向量，
则，∴， ∴平面AEF的一个法向量，
则， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（3）由（1）知，又平面的一个法向量，
所以点到平面的距离．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）； （3）.
解：（1）证明：连接，，， ，
又，四边形为平行四边形.
点， 分别为，的中点， ，.
，，为的中点， ，, ，.
四边形为平行四边形. .
平面，平面， 平面.
（2）平面，，可以建立以为原点，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：

依题意可得，，，，，，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即.
设平面的法向量为，
则，令，则，，即.
设平面与平面夹角为， 则.
所以平面与平面夹角为.
（3）设，即，
则，所以. 由知平面的法向量为，
由题意可得，
即，整理得， 解得或.
因为，所以. 所以，， 则.