2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题6（含解析）-练习

这是一份2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题6（含解析）-练习，共26页。
典例1、如图，在四棱锥中，平面，，，且，，
．
（1）证明：；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在， 求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．

随堂练习：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PA的中点，
过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点G，使得二面角的余弦值为若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

典例2、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且．
（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值；
（3）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

随堂练习：请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC．
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F．
（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由； （2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．
典例3、如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，且为的中点.
（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由.

随堂练习：如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，
，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
（2）当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

知识点二 证明线面平行,面面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点.
（1）证明:平面; （2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

随堂练习：从①直线与平面ABCD所成的角为60°；②为锐角三角形且三棱锥的体
积为2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）若，，______，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
典例5、如图，PO是三棱锥的高，点D是PB的中点，.
（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，证明另一个条件成立；条件①：平面；条件②：.注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（2）若，OB平分，，，在（1）的条件下，求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
①；②；③与平面所成的角为.
若平面，，且______________，求二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
典例6、如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点F为的中点．
（1）已知点G为线段的中点，求证：CF∥平面；
（2）若，直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：
（ⅰ）直线到平面的距离； （ⅱ）二面角的余弦值．
条件①：平面； 条件②：； 条件③：平面平面．
随堂练习：如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平
面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）从①三棱锥的体积为1；②与底面所成的角为60°；③异面直线与所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角的余弦值．
空间向量和立体几何高考复习专题六答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）存在，且与所成角的余弦值为
解：证明：连接，设，
因为，则，且为等腰直角三角形，
因为，则，
因为，由余弦定理可得，
所以，，则， 平面，平面，，
，平面，平面，.
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，由题意可得，
因为，解得，此时，，
，，
所以，，
因此，在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，
且与所成角的余弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）存在，.
解:（1）证明：由题意得，AB//CD， 又AB⊂平面PAB，CD平面PAB，∴CD//平面PAB.
又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF， ∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.
（2）取AD的中点为O，连接PO，PA=PD，PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，则AD·PO=4， 又PO2+=4，∴PO=，AD=2.
取BC的中点为H，以OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)，
∴=(，2，－)， =(0，－2，0).

假设存在点G，设，∴，则，
∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))，
设平面GCD的法向量为，
，可取，
又平面的一个法向量，二面角G－CD－B为锐角，
∴，解得λ=或λ=3（舍）.
存在点G，使得二面角G－CD－B的余弦值为，此时.
典例2、答案： （1）证明见解析 （2） （3）存在，，理由见解析.
解：（1）在正方形中，，又因为，，
所以面，因为面，所以，
因为，，，所以面，
因为面，所以， 因为，所以平面；
（2）由已知可得，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，连接，可得，
因为，所以，所以，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
由，令，则，，所以，
设平面的一个法向量，
由，则，令，则，所以，
所以，
（3）因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
存在，理由如下：
假设在棱上是否存在一点满足条件，设，，
则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以
解得：，，
所以在棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是且的长为.

随堂练习：答案： （1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析
解:(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．
证明如下：如图所示：

设PC的中点为H，连结FH， 因为，， ，，
所以 所以四边形AGHF为平行四边形， 则AF∥GH，
又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC， ∴AF∥平面PGC．
(2)选择①AB⊥BC： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，(﹣2，﹣1，1)，
设平面FAC的一个法向量为(x，y，z) ∴，
取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)， 平面ACD的一个法向量为(0，0，1)，
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则csθ， ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．
选择②FC与平面ABCD所成的角为：
∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，
则FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD， FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴，
在Rt△FCM中，CM， 又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此两两垂直， 以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2， ∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)，
E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，( ，0，1)，
设平面EAC的一个法向量为(x，y，z) 则，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的一个法向量为：(0，0，1)，
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，
则csθ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．
选择③∠ABC： ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC的中点，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直，
以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2，∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)，
E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，( ，0，1)，
设平面EAC的一个法向量为(x，y，z)，则，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的法向量(0，0，1)，
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， θ则csθ．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．
典例3、答案： （1）证明见详解； （2）； （3）存在，为中点.

解：（1）平面，平面,
又又平面，
又平面,得证.
（2）为中点，过作于，连， 在中，为中点
又平面，平面, 为二面角的平面角，
在直角梯形中，
又 在中，
二面角的余弦值为.
（3）的中点为为的中位线，，
为平行四边形，又平面,平面 平面.
随堂练习：答案： （1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，证明见解析
（2）符合题意的点存在且为线段的中点．
解：（1）证明如下：∵点，分别是边，的中点，
又，∴，且是等边三角形， ∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面， ∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）由题意知，四边形为等腰梯形， 且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为.
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，又，
又，且，平面，平面，
平面，故平面的一个法向量为，
设（）， ∵，，故，
∴，，
平面的一个法向量为， 则，，
即
令，所以 ，
则平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，
则，即，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．
典例4、答案：（1）证明见解析；（2）
解: （1）连接，交于，连接，

底面是菱形，为中点， 为中点，，
平面，平面，平面；
（2）选①：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，

底面是菱形，，， ，
则，
设平面的法向量为， 则，取可得，
设与平面所成的角为， 则，
所以与平面所成的角为；
选②：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，
取中点，连接，

底面是菱形，，，平面，为的中点，
，平面，，，
则，
设平面的法向量为， 则，取可得，
设与平面所成的角为， 则，
所以与平面所成的角为；
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）如图所示，取的中点为，连接，，
为中点，所以，

所以且，
因为为中点，四边形为菱形，所以且，
所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
选择条件①：
因为平面，所以直线与平面所成角为．
因为，，所以，所以为正三角形．
取中点为，连接，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，

，，．
设平面的一个法向量
则，即，令，则，
设平面的一个法向量，
则，即，令，则，
设平面与平面所成锐二面角为，则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
选条件②：由，
解得， 因为，所以．则其对角,
取中点为，连接，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，以下步骤与选①一致.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）选择条件①：平面PAC，证明条件②：成立. 延长BO交AC于点Q，连结PQ，
因为平面PAC，平面，平面PAC平面，则，
∵是PB的中点，∴，
连结OA，∵，∴，
∵是三棱锥的高，∴平面ABC，、平面ABC，
∴，，∴， ∴，∴；
选择条件②：，证明条件①：平面成立.
取AB的中点E，连结OE、PE、DE，则， ∵PO是三棱锥的高，
∴平面ABC，平面ABC，∴，
又，平面POE，， ∴平面POE，平面POE，∴，
∵，∴，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，
又∵D是PB的中点，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，
∵，平面， ∴平面平面PAC，平面，
∴平面PAC；
（2）选择条件①：由（1）得，取AB的中点E，连结OE，则，
∵，，∴，，
以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，过和平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意可得，，，，，
设是平面的一个法向量，则，
∴，令，则，∴，
设是平面的一个法向量，则，
∴，令，则，∴，
∴，由图，平面与平面夹角为锐二面角，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
选择条件②：由（1）得，∵，，∴，
以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，过和平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意可得，，，，，
设是平面的一个法向量，则，
∴，令，则，∴，
设是平面的一个法向量，则，
∴令，则，∴，
∴，平面与平面夹角为锐二面角，
∴平面PAB与平面PAC夹角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）设AC,BD交于点O，因为是菱形，所以O为BD的中点.
连结OF.因为为的中点，所以为的中位线，所以.
因为面，面， 所以平面.

（2）过O作.以O为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

选条件①：.
在菱形中， .因为，所以,.所以,,,,,,.
所以,.
设为面ACF的一个法向量，则：，不妨令x=2，则.
显然为面ACD 的一个法向量. 设二面角的平面角为，由图示，为锐角，
所以.
选条件②.
在菱形中，，所以,所以.因为，
所以,.
所以,,,,,,.
所以,.
设为面ACF的一个法向量，则：，
不妨令x=2，则. 显然为面ACD 的一个法向量.
设二面角的平面角为，由图示，为锐角，
所以.
选条件③：与平面所成的角为.
因为平面，所以为与平面所成的角，即.
在直角三角形中，由可得：.所以,.
所以,,,,,,.
所以,.
设为面ACF的一个法向量，则：，
不妨令x=2，则. 显然为面ACD的一个法向量.
设二面角的平面角为，由图示，为锐角，
所以.
典例6、答案：（1）证明过程见详解 （2）（ⅰ）；（ⅱ）.
解：（1）取的中点，连接，，，；
因为分别为的中点，所以，平面，
平面，所以平面，
又因为分别为的中点，四边形为平行四边形，
所以且，则四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.

（2）选择条件①和③
（ⅰ）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
由题意可知：，又，所以.
因为平面平面，且平面平面，因为平面，
所以，所以平面，平面，所以,
则四边形为矩形，因为，所以，
设点到平面的距离为，由平面可知：，
在中，，
因为为的中点，所以，
所以，，
因为，平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离也就是直线到平面的距离.
因为，即，
也即，所以 故直线到平面的距离为.

（ⅱ）由（ⅰ）可知：，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则有，也即，令，则；
则有，也即，令，则，
则，
由图可知：二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：取的中点，连接，，因为，分别是棱，的中点，
则，， 四边形为平行四边形，
， 平面，平面， 平面．

（2）在平面ACC1中过点作于，连接，
平面平面，平面平面， 平面，
选择条件①：
三棱锥的体积，，
在中，， 点为的中点，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，， ，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
选择条件②：
与底面所成的角为，，， 点为的中点，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，， ，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，， ，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
选择条件③：
， 即为异面直线与所成的角，即，
，， ，即，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，， ，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，， ，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．