2025年高考数学一轮专题复习--数列专题14（含解析）-练习

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典例1、已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.
（1）求证：{2nSn＋2n}是等差数列；
（2）若{an}中，只有三项满足，求实数λ的取值范围.
随堂练习：设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值．
典例2、在数列中，已知，()．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．
随堂练习：已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
典例3、已知数列的前n项和，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．
随堂练习：已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求满足不等式成立的所有正整数，组成的有序实数对．
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,
利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列的前n项和.
（1）求的通项公式．
（2）的前多少项和最大？
（3）设，求数列的前n项和.
随堂练习：已知数列满足，设.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和的最小值.
典例5、已知数列的前项和为，点在直线上．
（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；
（2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值．
随堂练习：已知等差数列的前n项和为.
（1）若数列为等差数列，且，求；
（2）若，求公差d的取值范围.
典例6、已知数列的前项和为，，______.指出、、…中哪一项最大，并说明理由.从①，，②是和的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
随堂练习：已知正项数列的前n项和为，，当且时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）请判断是否存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.
人教A版数学--数列专题十四答案
典例1、答案：（1）证明见解析；（2）．
解:（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵， 所以，是以为首项，以为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，， ∴．
当时，，
∵，所以，的通项公式为．
∴，，，，，．
当时，，即，
也就是说，数列从第项起，是递减数列．
所以，实数的取值范围是．
随堂练习：答案： （1） （2）4
解：（1）由题意得： 设数列的公比为．由，得
，即
成等差数列
，即，解得，或（舍去）
．
（2）由，当时，，两式相减得，，
对也成立 所以
设
当n为奇数时，可递减数列，所以
当n为偶数时，为递增数列，所以
所以的最小值为4．
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）10．
解:（1）证明：由，得，从而，
∴，又， 故数列为等比数列；
（2）解：由（1）得，故，
∴，
，
令，则，解得，
∵， ∴．
故使得的整数n的最小值为10；
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最小值为.
解: （1）由得：，即
，即有数列是常数数列；
（2）由（1）知：
即，
当为偶数时，，显然无解；
当为奇数时，，令，解得：，
结合为奇数得：的最小值为 所以的最小值为
典例3、答案：（1）证明见解析；（2）n的最大值为4．
解:（1）证明：∵，
∴当时，，即，
当时，，则，整理得，
∵，即．
当时，，又 ∴数列是首项和公差均为1的等差数列．
（2）由（1）得， ∴．
∴
∴
由，得，故， ∴n的最大值为4．
随堂练习：答案：（1）；
（2）正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2).
解：（1）依题意，有，代入，
得，解得，所以，
设等比数列的公比为q，则， 解得或.
又单调递减，所以，，于是．
（2）由（1）知，，所以．
则
因为，所以又，
所以，所以m=1，2．
当m=1时，由，解得n=1；
当m=2时，由，解得n=1，2．
综上，满足不等式的所有正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2)．
典例4、答案：（1） （2）前16项或前17项的和最大 （3）
解：（1）因为，当时，
当时，所以，
经检验当时也成立，所以；
（2）令，即，所以，
故数列的前17项大于或等于零．
又，故数列的前16项或前17项的和最大．
（3）由（2）知，当时，；
当时，，
所以当时，．
当时，
．
故．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）因为，所以，由，
所以，且，
所以数列以为首项，以1为公差的等差数列， 所以；
（2）由（1）可知，所以，
所以当或时取得最小值，且
典例5、答案：（1），， （2）-15
解：（1），则， 当时，；当时，；
而，∴，.
（2），当时，，当时，，
故.
随堂练习：答案：（1）；（2）或.
解: （1）∵数列为等差数列，设其公差为，
∴， ∴，
∴当时，
当时也应成立，此时，故
此时，.
（2）∵为等差数列，首项为，
∴，，
∴， ∴，
整理得，，
上述方程对有解，故， ∴.
典例6、答案： ①②均能得到最大.
解: 因为，故， 故.
当时，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，
所以，故，也即是
故，所以为等差数列.
若选①，
因为，，故，
故，，故最大.
若选②，则，故，解得，
故，故，故最大.
随堂练习：答案： （1）；（2）不存在.
解：（1）当且时，有，可得，
由，满足该式，
可得当时，有，平方后可得
当且时，有
可化为 有
由，有，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
有 故数列的通项公式为
（2）由题意有
又由（1）可知
有
由，有，，有
可得
故不存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.