初中数学人教版（2024）七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质习题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质习题，共16页。试卷主要包含了3平行线的性质课堂练习题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，已知AD∥BC，∠C=30°，∠ADB：∠BDC=1：2，那么∠ADB等于（ ）
A．45°B．30°C．50°D．36°
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．能够完全重合的两个图形全等
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．等腰三角形的两底角相等
3．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
③a，b，c是三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例为（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．同旁内角相等，两直线平行
C．若，则D．对顶角相等
6．下列命题中是真命题的是（ ）
A．确定性事件发生的概率为1
B．平分弦的直径垂直于弦
C．正多边形都是轴对称图形
D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
7．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b.若∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．下列命题中是真命题的个数是（ ）
①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．如图所示，长方形，半圆与直角分别是学生常用的直尺，量角器与三角板的示意图．已知图中的点处的读数是135°，则的度数为 ．
10．如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2= 度．
11．已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为
12．如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD．求证：AC∥BD．（补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由）
证明：∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD（ ）
又∠COA=∠BOD（ ）
∴∠C= ．
∴AC∥BD．（ ）
三、解答题
13．如图，有三个论断① ；② ；③ ，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
14．如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA的延长线于点E，若∠BGF=∠E，AD平分∠BAC吗？请说明理由。
15．如图，AB∥CD，BO与CD相交于点O，OE⊥BO，OF平分∠BOD．若∠ABO=50°，求∠EOF的度数．
16．求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角的角平分线互相垂直， 那么这两条直线互相平行．
四、综合题
17．如图，在△ABC中，点E在BC上，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．
18．如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）若平分交于点，，请说明与的位置关系．
19．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点.
（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由.
（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当满足，且，分别平分和，
①若，则 °.
②猜想与的数量关系.（直接写出结论）
20．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，CF平分∠DCE．
（1）试判断直线AC与BD有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）若∠1=80°，求∠3的度数．
21．如图
（1）如图1，AB∥CD，∠A=35°，∠C=40°，求∠APC的度数.（提示：作PE∥AB）.
（2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由.
（3）在（2）的条件下，如果点P在射线DM上运动，请你直接写出∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系 .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】∵AD∥BC，∠C=30°，
∴∠ADC+∠C=180°，则∠ADC=150°，
∵∠ADB：∠BDC=1：2，
∴∠ADB+2∠ADB=150°，
解得：∠ADB=50°
故答案为：C．
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补得出∠ADC=150°，再根据比例的性质去求解。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、由全等三角形的定义得到：能够完全重合的两个图形全等，此命题是真命题；
B、两边和一角对应相等且该角是两边的夹角的两个三角形全等，此命题是假命题；
C、 三个角都相等的三角形是等边三角形，此命题是真命题；
D、等腰三角形的两底角相等，此命题是真命题.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的定义可以判断A；根据全等三角形的判定定理判断B；根据等边三角形的判定定理判断C；根据等腰三角形的性质判断D.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
②在同一平面内，a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题是假命题；
③a，b，c是三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，
综上，真命题只有③一个.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可判断①；由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可判断②；由平行于同一直线的两条直线互相平行，可判断③；由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断④.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、当a=-2时，a2=4＞0，故A不符合题意；
B、​​​​​​​当a=-1时，a2=1＞0，故B不符合题意；
​​​​​​​C、​​​​​​​当a=0时，a2=0，故C符合题意；​​​​​​​
D、​​​​​​​当a=1时，a2=1＞0，故D不符合题意.
​​​​​​​故答案为：C.
【分析】把a的值分别代入，求出a2的值，判断a2与0的大小关系，即可得出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，故原命题是假命题，不符合题意；
C、若，则，故原命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，故原命题是真命题，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，只有在被截的两条线平行的时候，同位角才相等，据此判断A；根据平行线的判定方法，只有在同旁内角互补的时候，两直线才平行，据此判断B；根据偶数次幂的非负性，如果两个数的偶数次幂相等，则这两个数相等或互为相反数，据此判断C；根据对顶角的性质，对顶角是相等的，据此可判断D.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：确定性事件发生的概率为1或0，故A错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B错误；
正多边形都是轴对称图形，故C正确；
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D错误，
故选：C．
【分析】根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形全等的判定定理进行判断即可．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=70°.
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°.
故答案为：B.
【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义即可求得∠2的度数.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题；
③若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，为真命题；
⑤三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故错误，为假命题；
故选B．
【分析】根据平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
9．【答案】45°或45度
【解析】【解答】解：由题意：∠COM=135°，∠EOF=90°，
∴∠FOC=45°，
∵AD//BC，
∴∠FND=∠FOC=45°，
故答案为：45°．
【分析】先求出∠FOC=45°，再利用平行线的性质可得∠FND=∠FOC=45°。
10．【答案】110
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°
∵a∥b
∴∠2+∠3=180°
∴
故答案为：110
【分析】根据对顶角相等，得出∠3=∠1=70°，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠2=180°-70°=110°
11．【答案】∠α+∠β﹣∠γ=180°
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）
∵∠β=∠AEF+∠FED
又∵∠γ=∠EDC（已知）
∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．
【分析】过E作EF∥AB∥CD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
12．【答案】已知；对顶角相等；∠D；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】由对顶角相等知：∠COA=∠BOD，又∠C=∠COA和∠D=∠BOD，由等量替换可得到∠C=∠D，进而得到内错角相等，两直线平行.
13．【答案】解：答案不唯一，如：选②③作为条件，①作为结论.
已知 .所以 .
已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2
【解析】【分析】先求出 ∠B=∠BFC ，再求出 DE∥BF ，最后证明求解即可。
14．【答案】解：AD平分∠BAC
理由如下：
∵AD⊥BC， EF⊥BC ，
∴∠EFC=∠ADC=90°，
∴EF∥AD，
∴∠BGF=∠EGA =∠BAD，∠E=∠DAC
∵∠BGF=∠E，
∴∠BAD
=∠DAC，
∴AD平分∠BAC.
【解析】【分析】由垂直的定义得， ∠EFC=∠ADC=90° ，从而得到 EF∥AD 。由平行线的性质得及对顶角相等可得 ∠EGA =∠BAD ， ∠E=∠DAC ，再根据等量代换得出 ∠BAD =∠DAC，根据角平分线的定义可知AD平分∠BAC.
15．【答案】解：∵AB∥CD， ∠ABO=50°，
∴∠BOD=∠ABO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠BOD=25°，
∵EO⊥BO，
∴∠BOE=90°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=115°.
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠BOD=∠ABO=50°，由角平分线的定义得∠BOF=∠BOD=25°，由垂直定义得∠BOE=90°，进而根据角的和差，由∠EOF=∠BOE+∠BOF可算出答案.
16．【答案】解：如图，已知AB、CD被EF所截，EG、FG分别平分∠BEF、∠DFE，且EG⊥FG，求证：AB∥CD．
证明：∵EG⊥FG，∴∠GEF+∠EFG=90°，∵EG、FG分别平分∠BEF、∠DFE，∴∠BEF+∠DFE=2(∠GEF+∠EFG)=180°，∴AB∥CD．
【解析】【分析】此题是一道文字证明题，将命题改写成若果和那么的形式，用如果领起的是题设，用那么领起的是结论，根据命题的题设和结论，写出已知和求证，再根据直角三角形的两锐角互余得出∠GEF+∠EFG=90°，根据角平分线的定义得出∠BEF+∠DFE=2(∠GEF+∠EFG)=180°，根据同旁内角互补，二直线平行即可证明出该命题。
17．【答案】（1）解：CD平行于EF，
理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF=∠EFB=90°，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD∥EF，
∴∠2=∠DCB，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCB，
∴BC∥DG，
∴∠3=∠ACB，
∵∠3=115°，
∴∠ACB=115°．
【解析】【分析】（1）根据垂直定义求出∠CDF=∠EFB=90°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得出∠2=∠DCB，求出∠1=∠DCB，根据平行线的判定得出BC∥DG，根据平行线的性质得出∠3=∠ACB即可．
18．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，的度数为，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）直接根据AD∥BC可得同旁内角∠B+∠BAD=100°，求得∠BAD即可；
（2）由（1）知∠BAD=100°，根据角平线的定义可得∠EAD=50°，再根据AD∥BC，得出内错角∠AEB=∠EAD=50°，再结合∠BCD=50°，可得∠AEB=∠BCD，从而根据同位角相等，可判定AE∥CD。
19．【答案】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；
过点作，
，
，
，
，
，
；
（3）①或30；
②或.
【解析】【解答】解：（3）①如图3，若当点在的左侧时，
，
，
，分别平分和，
，，
；
如图4，当点在的右侧时，
，
，
；
故答案为：或30；
②由①可知：，
；
，
.
综合以上可得与的数量关系为：或.
【分析】（1）过点P作PG∥AB，根据平行线的性质可得∠EPG=∠AEP，∠FPG=∠PFC，然后根据∠EPF=∠EPG+∠FPG进行解答；
（2）过点P作PG∥AB，根据平行线的性质可得∠EPG+∠AEP=180°，∠FPG+∠PFC=180°，据此解答；
（3）①当P点在EF的左侧时，易得∠PEB+∠PFD=300°，结合角平分线的概念可得∠EQF=∠BEQ+∠QFD=(∠PEB+∠PFD)，据此计算；当P点在EF的右侧时，易得∠PEB+∠PFD=60°，结合角平分线的概念可得∠BEQ+∠QFD=(∠PEB+∠PFD)，据此计算；
②由①可知：∠EQF=(∠PEB+∠PFD)=(360°-∠EPF)或∠EQF=(∠PEB+∠PFD)=∠EPF，据此解答.
20．【答案】（1）解：AC∥BD．
理由：∵AB∥CD，
∴∠2=∠CDF．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDF，
∴AC∥BD
（2）解：∵∠1=80°，
∴∠ECD=180°﹣∠1=180°﹣80°=100°．
∵CF平分∠ECD，
∴∠ECF= ∠ECD= ×100°=50°．
∵AC∥BD，
∴∠3=∠ECF=50°
【解析】【分析】（1）先根据AB∥CD得出∠2=∠CDF，再由∠1=∠2即可得出结论；（2）先求出∠ECD的度数，再由角平分线的性质求出∠ECF的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
21．【答案】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE，
∵∠A=35°，∠C=40°，
∴∠APE=35°，∠CPE=40°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=35°+40°=75°；
（2）解：∠APC=∠α+∠β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=∠α，∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）∠APC=∠α-∠β
【解析】【解答】解：（3）如图3，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB=∠APE=∠α，∠PCD=∠CPE=∠β，
∵∠APC=∠APE-∠CPE，
∴∠APC=∠α-∠β.
【分析】（1）过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC.（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）若P在BD延长线上，画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，依据角的和差关系即可得出答案.