数学七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质学案设计

这是一份数学七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质学案设计，共14页。学案主要包含了巩固练习，知识点梳理，要点诠释等内容，欢迎下载使用。

5.3平行线的性质
【总结解题方法 提升解题能力】
【知识点梳理】
一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
二、命题、定理、证明
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
【要点诠释】
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

一、平行线的性质
1、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（　　）。
　 A、65° B、115° C、125° D、130°
2、如图，直线∥，∠1=70°，∠2=30°，则∠A的度数是（　　）。
　 A、30° B、 35° C、40° D、50°
3、如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是( )。
A、75° B、65° C、55° D、50°
4、某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，
则∠FDC的度数是( )。
A、30° B、45° C、60° D、75°
5、如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .
6、如图，在A，B两地挖一条笔直的水渠，从A地测得水渠的走向是北偏西42°，A，B两地同时开工，B地所挖水渠走向应为南偏东_________.
7、如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数.




8、如图，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，DE过O点，且DE∥BC.求∠BOC的度数．


9、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别在D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G.
若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．



10、如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与∠Q一定相等吗？为什么？


二、命题、定理、证明
1、下列语句中，是命题的是( )。
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
2、下列命题：①若|a|＞|b|，那么a2＞b2；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等．其中真命题的个数是( )。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是_____________________________.
4、判断下列命题的真假，是假命题的举出反例。
①两个锐角的和是钝角；
②一个角的补角大于这个角；
③不相等的角不是对顶角．

5、把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
(1)等角的补角相等；
(2)不相等的角不是对顶角；
(3)相等的角是内错角．

6、如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB.




【巩固练习】
一、选择题。
1、如图，若，则下列结论一定成立的是（ ）。
A． B．
C． D．
2、如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）。
A． B． C． D．
3、下列语句：①三角形的内角和是180°；②作一个角等于一个已知角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④延长线段AB到C，使BC=AB，其中是命题的有（ ）。
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
4、下列命题中,是真命题的是（ ）。
A．互补的角是邻补角 B．相等的角是对顶角
C．内错角相等 D．对顶角都相等
5、如图，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是（ ）。
A． B．
C． D．
二、填空题。
6、如下图，AB∥CD，直线l分别交AB、CD于E，F，∠1=56°，则∠2的度数是________°．
7、如下图，a∥b，AC分别交直线a、b于点B、C，，若，则__________度．
8、如下图，AB∥CD，∠B=115°，∠C=45°，则∠BEC=__________．


第6题 第7题 第8题 第9题
9、如上图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A=120°，∠B=150°，则∠C的度数是__________．
10、“直角都相等”的题设是_________________，结论是_______________________。
三、证明题。
11、如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠E，试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．




12、如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．




13、如图，于，交于点，交于点，，，试判断和的位置关系，并说明理由．



14、如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．




15、阅读下列解答过程：如图甲，AB∥CD，探索∠P与∠A，∠C之间的关系．


















答 案
一、平行线的性质
1、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（　B　）。
　 A、65° B、115° C、125° D、130°
2、如图，直线∥，∠1=70°，∠2=30°，则∠A的度数是（　C　）。
　 A、30° B、 35° C、40° D、50°
3、如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是( B )。
A、75° B、65° C、55° D、50°
4、某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，
则∠FDC的度数是( B )。
A、30° B、45° C、60° D、75°
5、如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝ 48°，∠3＝ 132°，∠4＝ 48°.
6、如图，在A，B两地挖一条笔直的水渠，从A地测得水渠的走向是北偏西42°，A，B两地同时开工，B地所挖水渠走向应为南偏东__42°__.
7、如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数.
解：∵EF∥AD；∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2；∴∠1=∠3（等量代换）
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=70 °；∴∠AGD=180°-70°=110°
8、如图，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，DE过O点，且DE∥BC.求∠BOC的度数．
解：∵CO平分∠ACB，∴∠OCB＝∠ACB＝×60°＝30°.
同理得∠OBC＝20°.∵DE∥BC，∴∠EOC＝∠OCB＝30°，∠DOB＝∠OBC＝20°，
∴∠BOC＝180°－∠DOB－∠EOC＝180°－20°－30°＝130°.
9、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别在D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G.
若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．
解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝55°.
由折叠可知∠GEF＝∠DEF＝55°，∴∠1＝180°－2×55°＝70°.
∵AD∥BC，∴∠2＝180°－∠1＝110°.
10、如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与∠Q一定相等吗？为什么？
解：∠P＝∠Q.
理由如下：∵∠ABC＋∠ECB＝180°，∴AB∥ED，∴∠ABC＝∠BCD.
∵∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，
即∠PBC＝∠BCQ，∴PB∥CQ，∴∠P＝∠Q.
二、命题、定理、证明
1、下列语句中，是命题的是( A )。
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
2、下列命题：①若|a|＞|b|，那么a2＞b2；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等．其中真命题的个数是( C )。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
4、判断下列命题的真假，是假命题的举出反例。
①两个锐角的和是钝角；②一个角的补角大于这个角；③不相等的角不是对顶角．
解：①假命题．反例为：30°与40°的和为70°.
②假命题．反例为：120°的补角为60°.
③真命题．
5、把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
(1)等角的补角相等；
(2)不相等的角不是对顶角；
(3)相等的角是内错角．
解：(1)如果两个角是两个相等的角的补角，那么这两个角相等．是真命题．
(2)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．是真命题．
(3)如果两个角相等，那么这两个角是内错角．是假命题．
6、如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB.
证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝55°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝110°.
又∵∠BCD＝70°，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∴CD∥AB.
【巩固练习】
一、选择题。
1、如图，若，则下列结论一定成立的是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】D；【解析】因为∠1=∠3，所以AD∥BC，所以∠1+∠2=180°，故选D．
2、如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，因为AD∥BC，所以∠1=∠3=65°，因为∠2+∠3+90°=180°，所以∠2=90°-∠3=90°-65°=25°，故选C．
3、下列语句：①三角形的内角和是180°；②作一个角等于一个已知角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④延长线段AB到C，使BC=AB，其中是命题的有（ ）。
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
【答案】D
【解析】①三角形的内角和是180°，是命题；②作一个角等于一个已知角，不是命题；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是命题；④延长线段AB到C，使BC=AB，不是命题，故选D．
4、下列命题中,是真命题的是（ ）。
A．互补的角是邻补角 B．相等的角是对顶角
C．内错角相等 D．对顶角都相等
【答案】D
【解析】A、两直线平行时，同旁内角互补，此时这一对同旁内角不是邻补角，故本选项错误；
B、等腰三角形的两个底角相等，此时这两个底角不是对顶角，故本选项错误；
C、只有两直线平行时，内错角才相等，故本选项错误； 
D、对顶角都相等,故本选项正确． 
故选D.
5、如图，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】B；【解析】∵∠y+∠CEF=180°，∠CEF=∠x—∠z，∴∠X+∠Y—∠Z=180°，故选B。
二、填空题。
6、如图，AB∥CD，直线l分别交AB、CD于E，F，∠1=56°，则∠2的度数是________°．
【答案】124
【解析】∵∠1=56°，∴∠3=180°−∠1=124°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=124°．
故答案为：124．
7、如图，a∥b，AC分别交直线a、b于点B、C，，若，则__________度．
【答案】65
【解析】∵AC⊥DC，∴∠1+∠3=90°，∵∠1=25°，∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°，
∵a∥b，∴∠2=∠1=65°，故答案为：65．
8、如图，AB∥CD，∠B=115°，∠C=45°，则∠BEC=__________．
【答案】110°
【解析】如图，过点E作EF∥AB．因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠B+∠BEF=180°，∠C=∠CEF.
因为∠B=115°，∠C=45°，所以∠BEF=180°-115°=65°，∠CEF=45°，所以∠BEC=∠BEF+∠CEF=65°+45°=110°，故答案为：110°．
9、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A=120°，∠B=150°，则∠C的度数是__________．
【答案】150°
【解析】如图，过点B作BG∥AE，∵AE∥CD，∴AE∥BG∥CD。
∴∠A=∠2，∠1+∠C=180°，∵∠A=120°，∴∠2=120°，∴∠1=150°—120°=30°，
∴∠C=180°—30°=150°，故答案为：150°。
10、“直角都相等”的题设是两个角是直角，结论是这两个角相等．
三、证明题。
11、如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠E，试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．
【解析】AB∥CE，理由如下：
∵∠1+∠2=180°，
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ADF=∠B（两直线平行，同位角相等），
∵∠B=∠E，
∴∠ADF=∠E，∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．
12、如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．
解：∵直线AB∥CD，∠1＝65°，
∴∠ABC＝∠1＝65°.
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝130°.
∵直线AB∥CD，∴∠ABD＋∠BDC＝180°.
∴∠2＝∠BDC＝180°－∠ABD＝180°－130°＝50°.
13、如图，于，交于点，交于点，，，试判断和的位置关系，并说明理由．
【解析】如图，过点作．
∵，∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），∴（等量代换）．
∵（已知），∴（垂直的定义），
∴．
∵，∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
14、如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．
解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，
∴∠BCF＝∠ABC＝70°.
又∵DE∥CF，∠CDE＝130°，
∴∠DCF＋∠CDE＝180°.∴∠DCF＝50°.
∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝70°－50°＝20°.
15、阅读下列解答过程：如图甲，AB∥CD，探索∠P与∠A，∠C之间的关系．

解：过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．
∴∠1＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∠2＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝360°.
又∵∠APC＝∠1＋∠2，∴∠APC＋∠A＋∠C＝360°.
如图乙和图丙，AB∥CD，请根据上述方法分别探索两图中∠P与∠A，∠C之间的关系．
解：如图乙，过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD(已知)，
∴PE∥AB∥CD(平行于同一直线的两条直线平行)．
∴∠A＝∠EPA，∠EPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠APC＝∠EPA＋∠EPC，
∴∠APC＝∠A＋∠C(等量代换)．
如图丙，过点P作PF∥AB.
∴∠FPA＝∠A(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥CD(已知)，∴PF∥CD(平行于同一直线的两条直线平行)．
∴∠FPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠FPC－∠FPA＝∠APC，
∴∠C－∠A＝∠APC(等量代换)．