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数学九年级上册7 相似三角形的性质精品课后复习题
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这是一份数学九年级上册7 相似三角形的性质精品课后复习题，文件包含专题47相似三角形的八大经典模型北师大版原卷版docx、专题47相似三角形的八大经典模型北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9888" 【题型1 A字型】 PAGEREF _Tc9888 \h 2
\l "_Tc3275" 【题型2 “8”字形】 PAGEREF _Tc3275 \h 3
\l "_Tc31175" 【题型3 AX字型】 PAGEREF _Tc31175 \h 4
\l "_Tc12815" 【题型4 子母型】 PAGEREF _Tc12815 \h 6
\l "_Tc12912" 【题型5 双垂直型】 PAGEREF _Tc12912 \h 8
\l "_Tc210" 【题型6 一线三等角型】 PAGEREF _Tc210 \h 10
\l "_Tc1422" 【题型7 手拉手型】 PAGEREF _Tc1422 \h 13
\l "_Tc19558" 【题型8 三角形内接矩形型】 PAGEREF _Tc19558 \h 16
【基本模型1-A字型】
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；
③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
【题型1 A字型】
【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（ ）
A．75B．125C．35D．25
【变式1-1】（2023春·四川成都·九年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC．已知△ABC的面积为9，则阴影部分的面积为 ．
【变式1-2】（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=2，连接FE，S△DEFS△ABC= ；
【变式1-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AF交BC边于点H，则CH长为 ．
【基本模型2-“8”字形】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
【题型2 “8”字形】
【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（ ）
A．23B．12C．13D．34
【变式2-1】（2023春·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC=6，则AE= ．
【变式2-2】（2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG∥BC，交CD于点G．求FG的长．
【变式2-3】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，则BD=（ ）
A．103B．5C．53D．6
【基本模型3-AX字型】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX字型】
【例3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．
(1)图中相似三角形有______对；
(2)若AD2=AC⋅CM,∠BMA=72°，求∠BCD的度数．
【变式3-1】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE:S△CDE=2:3，则S△DOE:S△AOC= ．
【变式3-2】（2023春·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于E点，交AB于F点，连接AE.若F是AB中点，且BC=8，则AE的长为 ．
【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
(1)求FG:AE的值．
(2)若AB:AC=3:2，
①求证：∠AEF=∠ACB．
②求证：DF2=DG⋅DA．
【基本模型4-子母型】
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
【题型4 子母型】
【例4】（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求CEAC的值．
【变式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
【变式4-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，过F点作FH⊥AC于点H．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）求证：AE=2EF；
（3）若FH=3，求BC的长．
【变式4-3】（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求证：AC∥FB；
(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）
【基本模型5-双垂直型】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．
【题型5 双垂直型】
【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边BC上，CE=2，若点P、Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP+QE的最小值为 ．
【变式5-1】（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE=10，求OF的长．
【变式5-2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)
【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由．
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
【基本模型6一线三等角型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
【题型6 一线三等角型】
【例6】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图， Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD，△ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求两矩形的相似比的是（ ）
A．ABACB．BDCDC．CDCHD．CEEH
【变式6-1】（2023春·山东日照·九年级校考期中）已知等边三角形ABC的边长为4．
(1)如图，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD=60°，求证：△ABP∽△PCD；
(2)如图，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD=120°，当PC=2时，求AD的长；
(3)在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D′，求△D′AP的面积．
【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
(2)如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP:PB＝1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
【变式6-3】（2023春·重庆万州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF
【基本模型7-手拉手型】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示，，则，，且．
【题型7 手拉手型】
【例7】（2023·山东济宁·统考三模）背景材料：
在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．
例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．
学习小组继续探究：
（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；
（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．
学以致用：
（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝34，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．
【变式7-1】（2023春·安徽六安·九年级校考阶段练习）［问题发现］
(1)如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，已知ΔACF∽ΔBCE．请直接写出线段BE与AF的数量关系；
［实验研究］
(2)在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；
［结论运用］
(3)在（1）（2）的条件下，若ΔABC的面积为8，当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请求出线段AF的长．
【变式7-2】（2023·河南洛阳·统考模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)操作判断 已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α0°①线段BD与线段AE的数量关系是________；
②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是________；
(2)迁移探究 如图2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=42，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．
【变式7-3】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）在ΔABC，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．
【基本模型8-三角形内接矩形型】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【题型8 三角形内接矩形型】
【例8】（2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，△ABC中，点PQ分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD:BC=2:3，连接MQ，若△ABC 的面积等于75，则MQ的最小值为 ．
【变式8-1】（2023春·陕西西安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，正方形DEFG的边长是6，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE=3．
(1)求证：△BDG∽△FEC；
(2)求S△BDG:S△FEC的值．
【变式8-2】（2023春·山东东营·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.点M1，N1，P1分别在AC、BC、AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1、BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn−1Nn−1，BNn−1，BPn−1上，且四边形MnNn−1NnPn是正方形，则线段M2023P2023的长度是 ．
【变式8-3】（2023春·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．则MN的长为
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9888" 【题型1 A字型】 PAGEREF _Tc9888 \h 2
\l "_Tc3275" 【题型2 “8”字形】 PAGEREF _Tc3275 \h 3
\l "_Tc31175" 【题型3 AX字型】 PAGEREF _Tc31175 \h 4
\l "_Tc12815" 【题型4 子母型】 PAGEREF _Tc12815 \h 6
\l "_Tc12912" 【题型5 双垂直型】 PAGEREF _Tc12912 \h 8
\l "_Tc210" 【题型6 一线三等角型】 PAGEREF _Tc210 \h 10
\l "_Tc1422" 【题型7 手拉手型】 PAGEREF _Tc1422 \h 13
\l "_Tc19558" 【题型8 三角形内接矩形型】 PAGEREF _Tc19558 \h 16
【基本模型1-A字型】
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；
③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
【题型1 A字型】
【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（ ）
A．75B．125C．35D．25
【变式1-1】（2023春·四川成都·九年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC．已知△ABC的面积为9，则阴影部分的面积为 ．
【变式1-2】（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=2，连接FE，S△DEFS△ABC= ；
【变式1-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AF交BC边于点H，则CH长为 ．
【基本模型2-“8”字形】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
【题型2 “8”字形】
【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（ ）
A．23B．12C．13D．34
【变式2-1】（2023春·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC=6，则AE= ．
【变式2-2】（2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG∥BC，交CD于点G．求FG的长．
【变式2-3】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，则BD=（ ）
A．103B．5C．53D．6
【基本模型3-AX字型】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX字型】
【例3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．
(1)图中相似三角形有______对；
(2)若AD2=AC⋅CM,∠BMA=72°，求∠BCD的度数．
【变式3-1】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE:S△CDE=2:3，则S△DOE:S△AOC= ．
【变式3-2】（2023春·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于E点，交AB于F点，连接AE.若F是AB中点，且BC=8，则AE的长为 ．
【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
(1)求FG:AE的值．
(2)若AB:AC=3:2，
①求证：∠AEF=∠ACB．
②求证：DF2=DG⋅DA．
【基本模型4-子母型】
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
【题型4 子母型】
【例4】（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求CEAC的值．
【变式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
【变式4-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，过F点作FH⊥AC于点H．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）求证：AE=2EF；
（3）若FH=3，求BC的长．
【变式4-3】（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求证：AC∥FB；
(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）
【基本模型5-双垂直型】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．
【题型5 双垂直型】
【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边BC上，CE=2，若点P、Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP+QE的最小值为 ．
【变式5-1】（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE=10，求OF的长．
【变式5-2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)
【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由．
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
【基本模型6一线三等角型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
【题型6 一线三等角型】
【例6】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图， Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD，△ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求两矩形的相似比的是（ ）
A．ABACB．BDCDC．CDCHD．CEEH
【变式6-1】（2023春·山东日照·九年级校考期中）已知等边三角形ABC的边长为4．
(1)如图，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD=60°，求证：△ABP∽△PCD；
(2)如图，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD=120°，当PC=2时，求AD的长；
(3)在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D′，求△D′AP的面积．
【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
(2)如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP:PB＝1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
【变式6-3】（2023春·重庆万州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF
【基本模型7-手拉手型】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示，，则，，且．
【题型7 手拉手型】
【例7】（2023·山东济宁·统考三模）背景材料：
在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．
例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．
学习小组继续探究：
（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；
（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．
学以致用：
（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝34，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．
【变式7-1】（2023春·安徽六安·九年级校考阶段练习）［问题发现］
(1)如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，已知ΔACF∽ΔBCE．请直接写出线段BE与AF的数量关系；
［实验研究］
(2)在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；
［结论运用］
(3)在（1）（2）的条件下，若ΔABC的面积为8，当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请求出线段AF的长．
【变式7-2】（2023·河南洛阳·统考模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)操作判断 已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α0°
②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是________；
(2)迁移探究 如图2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=42，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．
【变式7-3】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）在ΔABC，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．
【基本模型8-三角形内接矩形型】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【题型8 三角形内接矩形型】
【例8】（2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，△ABC中，点PQ分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD:BC=2:3，连接MQ，若△ABC 的面积等于75，则MQ的最小值为 ．
【变式8-1】（2023春·陕西西安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，正方形DEFG的边长是6，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE=3．
(1)求证：△BDG∽△FEC；
(2)求S△BDG:S△FEC的值．
【变式8-2】（2023春·山东东营·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.点M1，N1，P1分别在AC、BC、AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1、BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn−1Nn−1，BNn−1，BPn−1上，且四边形MnNn−1NnPn是正方形，则线段M2023P2023的长度是 ．
【变式8-3】（2023春·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．则MN的长为
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