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人教版(2024)七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质课堂检测
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证明:
∵∠B=∠ADE(已知)
∴ ∥ ( )
∴∠EDC=∠DCB ( )
又∠EDC=∠GFB(已知)
∴∠DCB= (等量代换)
∴ ∥ ( )
2.(2023秋•道里区校级期中)将下面的解答过程补充完整:如图,已知DE∥BC,EF平分∠CED,∠A=∠CFE,那么EF与AB平行吗?为什么?
解:因为DE∥BC(已知),
所以∠DEF=∠CFE( ①),
因为EF平分∠CED(已知),
所以∠DEF= ②(角平分线的定义),
所以∠CFE=∠CEF( ③),
因为∠A=∠CFE(已知),
所以∠A= ④(等量代换),
所以EF∥AB( ⑤).
3.(2022秋•尤溪县期末)如图,∠1+∠2=180°,∠B=∠3.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若∠C=76°,∠AED=2∠3,求∠CEF的度数.
4.(2023秋•怀宁县期中)如图,已知EF∥CD,数学课上,老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件,使得∠BEF=∠CDG,并给出证明过程.
小明添加的条件:∠B=∠ADG.
请你帮小明将下面的证明过程补充完整.
证明:∵EF∥CD( )
∴∠BEF= ( )
∵∠B=∠ADG(添加条件)
∴BC∥ ( )
∴∠CDG= ( )
∴∠BEF=∠CDG ( ).
5.(2022秋•长春期末)请把以下证明过程补充完整,并在下面的括号内填上推理理由:
已知:如图,∠1=∠2,∠A=∠D.
求证:∠B=∠C
证明:∵∠1=∠2,(已知)
又:∵∠1=∠3,
∴∠2= ,(等量代换)
∴AE∥FD
∴∠A=∠BFD
∵∠A=∠D(已知)
∴∠D= (等量代换)
∴ ∥CD
∴∠B=∠C .
6.(2022秋•闽清县期末)如图,AB∥CD,E是BC的延长线上的一点,AE交CD于点F,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
(1)∠B=∠D;
(2)AD∥BE.
7.(2023春•石城县期末)如图,已知∠ABC=180°﹣∠A,BD⊥CD于D,EF⊥CD于E.
(1)求证:AD∥BC;
(2)若∠ADB=36°,求∠EFC的度数.
8.(2022秋•淇县期末)如图,已知AD∥FE,∠1=∠2.
(1)试说明DG∥AC;
(2)若∠BAC=70°,求∠AGD的度数.
9.(2022秋•禅城区期末)已知:如图,点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,DF∥CA,∠FDE=∠A;
(1)求证:DE∥BA.
(2)若∠BFD=∠BDF=2∠EDC,求∠B的度数.
30.(2023春•驿城区校级期末)如图,AB∥DG,∠1+∠2=180°.
(1)试说明:AD∥EF;
(2)若DG是∠ADC的平分线,∠2=142°,求∠B的度数.
11.(2023秋•香坊区校级期中)完成下面推理过程,并在括号里填写推理依据:
如图,已知:AB∥EF,EP⊥EQ,∠EQC+∠APE=90°,求证:AB∥CD.
证明:∵AB∥EF(已知),
∴∠APE= ,
∵EP⊥EQ(已知),
∴∠PEQ=90°),
即∠QEF+∠PEF=90°,
∴∠QEF+∠APE=90°,
∵∠EQC+∠APE=90°(已知),
∴∠EQC= ( ),
∴EF∥ ( ),
又∵AB∥EF,
∴AB∥CD( ).
12.(2022秋•邓州市期末)如图,点M在CD上,已知∠BAM+∠AMD=180°,AE平分∠BAM,MF平分∠AMC,请说明AE∥MF的理由.
解:因为∠BAM+∠AMD=180°( ),
∠AMC+∠AMD=180°( ),
所以∠BAM=∠AMC( ).
因为AE平分∠BAM,
所以 ( ).
因为MF平分∠AMC,
所以 ,
得 ( ),
所以 ( ).
13.(2022秋•桐柏县期末)完成下面推理过程.
如图:已知,∠A=112°,∠ABC=68°,BD⊥DC于点D,EF⊥DC于点F,求证:∠1=∠2.
证明:∵∠A=112°,∠ABC=68°(已知)
∴∠A+∠ABC=180°
∴AD∥BC( )
∴∠1= ( )
∵BD⊥DC,EF⊥DC(已知)
∴∠BDF=90°,∠EFC=90°( )
∴∠BDF=∠EFC=90°
∴BD∥EF( )
∴∠2= ( )
∴∠1=∠2( )
14.(2023秋•天山区校级期中)已知,GP平分∠BGH,HP平分∠GHD,∠GPH=90°.
(1)求证:AB∥CD;
(2)若∠AGE=60°,求∠4的度数.
15.(2023春•覃塘区期末)如图:已知,∠HCO=∠EBC,∠BHC+∠BEF=180°.
(1)求证:EF∥BH;
(2)若BH平分∠EBO,EF⊥AO于F,∠HCO=64°,求∠CHO的度数.
16.(2023春•新化县期末)如图,点E,F分别在AB,CD上,AF⊥CE,垂足为点O.已知∠1=∠B,∠A+∠2=90°.
(1)求证:AB∥CD;
(2)若AF=12,BF=5,AB=13,求点F到直线AB的距离.
17.(2023春•温州月考)如图,已知∠1=∠3,∠2=∠B.
(1)试判断DE与BC的位置关系,并说明理由;
(2)若DE平分∠ADC,∠1=3∠B,求∠EFC的度数.
18.(2023春•仙居县期末)如图是一个汉字“互”字,其中,AB∥CD,HF∥GE,∠HGE=∠HFE,M、H、G三点在同一直线上,N、E、F三点在同一直线上.
求证:(1)GH∥EF;
(2)∠CMH=∠BNE.
19.(2022秋•东阳市期末)如图,长方形纸片ABCD中,G、H分别是AB、CD边上的动点,连GH,将长方形纸片ABCD沿着GH翻折,使得点B,C分别落在点E,F位置.
(1)若∠BGH=110°,求∠AGE的度数.
(2)若∠FHD=20°,求∠CHG的度数.
(3)已知∠BGH和∠CHG始终互补,若∠BGH=α,请直接写出∠FHC的度数(含α的代数式).
20.(2023春•金牛区校级期中)如图1,直线GH与直线l1,l2分别交于B,A两点,点C在直线l2上,射线AD平分∠BAC交直线l1于点E,∠GBE=2∠BAE.
(1)求证:直线l1∥l2;
(2)如图2,点Q在直线l1上(B点左侧),AM平分∠BAQ交l1于点M,过点M作MN⊥AD交AD于点N,请猜想∠BQA与∠AMN的关系;并证明你的结论;
(3)若点P是线段AB上一点,射线EP交直线l2于点F,∠GBE=130°.点N在射线AD上,且满足∠EBN=∠EFC连接BN,请补全图形,探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系,并证明.
21.(2023春•义乌市校级期中)今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目,照亮山城的山水桥梁城市楼阁,人民欢欣鼓舞.观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的,如图1所示,灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转,灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转,两灯不停旋转.
假设长江两岸是平行的,即PQ∥MN,点A在PQ上,B、C、D在MN上,连接AB、AC、AD,已知AC平分∠BAP,AD平分∠CAP.
(1)如图1,若∠ABD=40°,则∠CAQ= ;
(2)如图2,在PQ上另有一点E,连接CE交AD于点F,点G在MN上,连接AG,若∠CAG=∠CAE,∠EFD+∠DAG=180°,试证明:EC∥AB.
(3)如图3,已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°,灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°,若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒,灯A射出的光线才从AQ出发开始转动,设灯A转动的时间为t秒,在转动过程中,当0≤t≤12时,请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值.
22.(2022秋•萍乡期末)已知点A在射线CE上,∠C=∠ADB.
(1)如图1,若AD∥BC,求证:AC∥BD;
(2)如图2,若BD⊥BC,垂足为B,BD交CE于点G,请探究∠DAE与∠C的数量关系,写出你的探究结论,并说明理由;
(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DF∥BC交射线CE于点F,当∠BAC=∠BAD,∠DFE=8∠DAE时,求∠BAD的度数.
23.(2022秋•鲤城区校级期末)如图①,已知AB∥CD,一条直线分别交AB、CD于点E、F,∠EFB=∠B,FH⊥FB,点Q在BF上,连接QH.
(1)已知∠EFD=70°,求∠B的度数;
(2)求证:FH平分∠GFD.
(3)在(1)的条件下,若∠FQH=30°,将△FHQ绕着点F顺时针旋转,如图②,若当边FH转至线段EF上时停止转动,记旋转角为α,请求出当α为多少度时,QH与△EBF某一边平行?
(4)在(3)的条件下,直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系.
24.(2023秋•香坊区校级期中)如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1+∠2=180°.
(1)求证:AB∥CD;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,延长EP交CD于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,∠HPQ=45°,K是GH上一点,连接PK,作PQ平分∠EPK,若∠PHG=15°,求∠QPK的度数.
25.(2023秋•吉林期中)如图①,直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上,∠ACB=∠E=90°,∠EDF=36°,∠ABC=40°,CD平分∠ACB,将△DEF绕点D按逆时针方向旋转,如图②,记∠ADF为α(0°<α<180°),在旋转的过程中:
(1)当∠α= °时,DE∥BC,当∠α= °时,DE⊥BC;
(2)如图③,当顶点C在△DEF的内部时,边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N.
①求出此时∠α的度数范围;
②∠1与∠2的度数和是否变化?若不变,请直接写出∠1与∠2的度数和;若变化,请说明理由.
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