2025高考数学总复习专项复习（讲义）--概率专题九（含解析）

这是一份2025高考数学总复习专项复习（讲义）--概率专题九（含解析），共15页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--概率专题九
知识点一 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,根据回归方程进行数据估计
典例1、某产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：
（1）求回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为10时销售收入的值.
附：线性回归方程中系数计算公式，
，其中，表示样本均值.
随堂练习：某景区对2018年1-5月的游客量x与利润y的统计数据如表：
（1）根据所给统计数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）据估计6月份将有10万游客光临，请你判断景区上半年的总利润能否突破220万元？
（参考数据：，） ，．
典例2、为打造“四态融合、产村一体”的望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府在近几年中任选了5年，经统计，年份代号x与景区农家乐接待游客人数y（单位：万人）的数据如下表：
（1）根据数据说明变量x与y是正相关还是负相关；
（2）求相关系数r的值，并说明年份与接待游客数的相关性的强与弱；
（3）分析近几年中该景区农家乐接待游客人数y的变化情况，求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测在年份代号为10时该景区农家乐接待游客的人数（单位：万人，精确到小数点后2位）.
附：一般地，当r的绝对值大于0.75时认为两个变量之间有很强的线性关系.
, .
随堂练习：下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：参考数据：，， ，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
典例3、目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示.
（1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性；
（2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.
附：①相关系数公式：；
（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合）
②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式
分别为，；
③参考数据：，，.
随堂练习：某公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，.
（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
知识点 独立事件的乘法公式,独立重复试验的概率问题,求离散型随机变量的均值
典例4、甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率.
随堂练习：某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，假设甲，乙两人是否投中互不影响.
（1）若，，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率；
（2）若，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.
典例5、甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记分设每轮比赛中甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．
（1）经过1轮比赛，记甲的得分为，求的分布列和期望；
（2）经过3轮比赛，用表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点均在函数的图象上，求实数m，s，t的值．
随堂练习：“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击，每轮中甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响.
（1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为，求的分布列和数学期望；
（2）经过3轮射击打靶后，求甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
典例6、11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.
随堂练习：足球比赛全场比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时成绩持平，且该场比赛需要决出胜负，则需进行30分钟的加时赛：若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②若在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如第4轮结束时，双方进球数比为2：0．则不需再踢第5轮了，③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜．
（1）已知小明在点球训练中踢进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明踢了3次点球，且每次踢点球互不影响，记X为踢进点球的次数，求X的分布列与期望；
（2）现有甲，乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛120分钟后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为，乙队每名球员踢进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求甲队在点球大战中比赛4轮并以3∶1获得冠军的概率．
人教A版数学--概率专题九答案
典例1、答案： （1） （2）82.5
解：（1）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，
∵，，
∴，
∴， ∴所以回归直线方程为.
（2）当时，预报的值为.
随堂练习：答案： （1）； （2）能，理由见解析.
解：（1）， ，
，
（2）当时，，
上半年景区总利润为：万元，
据估计景区上半年的总利润能突破220万元.
典例2、答案： （1）正相关； （2）0.959，年份与接待游客数的相关性很强；
（3），9.04万人.
解：（1）由表中数据可得，，
则，
由于变量y的值随x的值的增加而增加（）， 因此x与y之间是正相关；
（2）因为，
所以年份与接待游客数的相关性很强；
（3）因为，
所以景区农家乐接待游客人数y关于年份代号x的回归直线方程为，
当x=10时，，
由此预测在年份代号为10时该景区农家乐接待游客人数约为9.04万人.
随堂练习：答案： (1)答案见解析；(2)答案见解析.
解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得：，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由及（1）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
典例3、答案： （1）；认为y与t之间有很强的相关性.
（2）y关于t的回归直线方程为：，不能.
解：（1）由表格数据可知：，，
则：，
由题意知：，
，
代入相关系数公式可得：，
因为，所以认为y与t之间有很强的相关性.
（2）由题意可得：，
，，，
所以，则，
所以y关于t的回归直线方程为：，
把代入可得：， 所以预测9月收入不能突破1万元.
随堂练习：答案： （1）； （2）； （3）30万元.
解：（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型；
（2）令，先建立y关于的线性回归方程，
因为， ，
所以y关于μ的线性回归方程，
（3）因此，γ关于x的回归方程为；
由（2）可知， ，
当时，；当时，，
所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）设，分别表示甲､乙在第次投篮时投中，
则，，，
“甲获胜”为事件， 则；
（2）记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件.
则.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题意得甲，乙两人累计得分之和为4的概率为：
（2）他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为：
，
因为，所以，
令，由，及，得， ，
当时，P的最大值为. 故甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.
典例5、答案：（1）答案见解析 （2），，
解：（1）的可能取值为，
则；；，
的分布列为：
．
（2）由（1）知， 经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：
一是甲两轮得分都为；二是两轮中甲有一轮得0分，另一轮得分，
则．
经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：
三轮中甲得分都为；三轮中甲有两轮得分，另一轮得0分；
三轮中甲有一轮得分，另两轮得0分；三轮中甲有两轮得分，另一轮得1分，
则，
由题意，点均在函数的图象上，
则， ②－①得④， ③－②得⑤，
⑤÷④得⑥， 将⑥代入④得⑦， 将⑥⑦代入①得，
综上，，，．
随堂练习：答案： （1）分布列见解析，；（2）.
解:（1）的可能取值为0，1，2，
由题意可知，
， ，
所以X的分布列为：
.
（2）经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况：
一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分，
二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，
三是甲累计得1分，此时乙累计得0分，
所以
典例6、答案：（1）分布列见解析；（2）①；②，.
解:（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，
由题意，，甲的得分的取值为，
，
，
，
∴的分布列为：
（2）由（1）， ，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：
记，，，则
，，，，
由此得甲的得分的分布列为：
∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：， ∴，
∴数列是等比数列，公比为，首项为， ∴．
∴．
随堂练习：答案： （1）分布列见解析， （2）
解：（1）由题意可知小明踢进点球的次数，所以X的取值可能是0，1，2，3．
因为； ；
；．
所以X的分布列为
所以．
（2）设“甲队在点球大战中比赛4轮并以3:1获得冠军”为事件A．
当甲队前三个点球都进时，乙队前三个点球必进一个球，
﹔
当甲队前三个点球有一个没进时，
所以.
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
月份
1
2
3
4
5
游客量（万人）
4
6
5
7
8
利润（万元）
19
34
26
41
45
年份代号x
2
3
5
7
8
接待游客人数y（万人）
3
3.5
4
6.5
8
月份
5
6
7
8
时间代号
1
2
3
4
家乡特产收入
3.9
3.3
2.2
1.8
12.5
222
3.5
157.5
4.5
1854
270
0
1
X
0
1
2
P

－1
0
1
－2
－1
0
1
2
X
0
1
2
3
P