2025高考总复习专项复习（讲义）--概率专题二（含解析）

这是一份2025高考总复习专项复习（讲义）--概率专题二（含解析），共17页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--概率专题二
知识点一 由频率分布直方图估计平均数,利用二项分布求分布列
典例1、2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：
（1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m的值，并计算这200人得分的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）；
（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为，未抽中奖的概率为，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y为他获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．
随堂练习：青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
（1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望．
典例2、第届冬季奥林匹克运动会，于年月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为、、、、五个等级，分别对应的分数为、、、、．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．
（1）根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）
（2）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；
（3）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为分并且乙的成绩为分或分的次数为，求的分布列（频率当作概率使用）．
随堂练习：“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；
（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列.
典例3、某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d（单位：）．该样本数据分组如下：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6.
（1）求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度（结果精确到，同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在的个数，求ξ的分布列和数学期望；
随堂练习：新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．
（1）求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
（2）按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．
知识点二 计算古典概型问题的概率,利用互斥事件的概率公式求概率,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值
典例4、甲、乙两个学校进行球类运动比赛,比赛共设足球、篮球、排球三个项目,每个项目胜方得100分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.5,各项目比赛互不影响.
（1）求乙获得冠军的概率;
（2）用表示甲校的总得分,求的分布列与期望.
随堂练习：有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.
（1）分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；
（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.
典例5、我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲公司至少答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
随堂练习：某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；
（2）求该社区举行音乐会场数的分布列和数学期望.
典例6、足球比赛两队踢平，需要通过点球决胜。
1、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
2、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
随堂练习：为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：
①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：
（1）若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题并说明理由；
（2）甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望．
人教A版数学--概率专题二答案
典例1、答案：（1）， （2）分布列见解析，
解：（1），解得.
.
由题知：，
，，
，，
的分布列
.
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）由频率分布表可得，解得，
所以这200份问卷得分的平均值为：；
由题意可得的可能取值为，则，
又，
则的分布列为：
典例2、答案： （1）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定 （2）众数为分，平均数为分
（3）分布列答案见解析
解：（1）由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.
（2）因为甲单板滑雪项目测试中分和分成绩的频率之和为，
分成绩的频率为，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为分，
测试成绩分的频率为，
所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为.
（3）由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为分，
并且乙的成绩为分或分的概率为：，
依题意，，所以，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
随堂练习：答案： （1）41.5（岁）． （2） （3）分布列见解析
解：（1）由小矩形面积和等于1可得：， ∴ a＝0.035
∴平均年龄为（岁）．
（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30
故用分层抽样后，第1组抽取人，第2组抽取人
∴再从这5人中抽取3人，
设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为：.
（3）由题意可知X服从二项分布X～B（3，）
，，
，.
∴X的分布列为：
典例3、答案：（1），，，60 （2）分布列见解析，2.1
解：（1）由题意可得， ，
所以，，.
.
（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件，
长度d在的概率
且随机变量ξ服从二项分布，
所以， ，
， ，
所以随机变量ξ分布列为
.
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析；期望
解：（1）名学生的平均成绩为.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，
则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
； ；
；；
的分布列为：
数学期望.
典例4、答案： （1）0.5 （2）分布列见解析,150
解:（1）由题知,乙获得冠军时,需要乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜,
乙在两个项目中获胜的概率,
乙在三个项目均获胜的概率,
故乙获得冠军的概率;
（2）由题分析可得,的所有可能取值为0,100,200,300,
,
,
,
,
所以的分布列如下：
的期望.
随堂练习：答案： （1）；. （2）分布列见解析，.
解：（1）设“3轮获胜”为事件，“5轮获胜”为事件，
3轮：白黑黑：，黑白黑：，
所以，先摸球者3轮获胜的概率为
若进行5轮，前四个球的情况为：黑白白白：，
白黑白白：，白白黑白：，白白白黑：，
所以，先摸球者5轮获胜的概率为
（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为.
X的所有可能取值为：0､1､2､3，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
则.
典例5、答案： （1）； （2）甲公司竞标成功的可能性更大．
解：（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；
所求概率
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为．
．
则的分布列为：
， ；
设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为．
，，
，
则的分布列为：
．
．
由可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由已知可得，，又，解得
设表示第i天可以举行音乐会，B表示该社区能举行4场音乐会
则
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5
；
所以的分布列为
从而数学期望为：
典例6、答案： （）1分布列见解析；期望为 （2）①证明见解析 ；②
解：（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以， 故．
随堂练习：答案： （1）后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析 （2）
解：（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为分，要进入决赛，还需要得分，
所以甲后两轮的选择有三种方案：
方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为；
方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为；
方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：；
因为，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.
依题意，X的可能取值为3、7、8、11、12、16，
则，
，
，
所以X的分布列为：
所以.
分数
频率
0.15
0.25
0.30
0.10
容易题
中等题
难题
答对概率
0.7
0.5
0.3
答对得分
3
4
5
X
0
1
2
3
P
ξ
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
0
100
200
300
0.12
0.38
0.38
0.12
X
0
1
2
3
P
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
P
0
1
2
3
0
1
2
3
X
3
7
8
11
12
16
P