2025高考数学总复习专项复习（讲义）--概率专题十一（含解析）

这是一份2025高考数学总复习专项复习（讲义）--概率专题十一（含解析），共19页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--概率专题十一
知识点一 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量,由频率分布直方图估计平均数,指定区间的概率
典例1、为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.
（1）指标数不在和之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；
（2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算值，并计算产品指标数落在内的概率.
参考数据：，则，.
随堂练习：2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布，已知样本数据的方差为121，用平均分作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
参考数据：，，．
典例2、2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度（单位：）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．
（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；
（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度（）服从正态分布，其中近似为样本平均数．记为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间的数量，求；
（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）
附：若，则，．
随堂练习：某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在内的概率；
（3）设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本．
参考数据：，则，．
20-5（提升） 为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．
1、若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．
2、估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
3、根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布，以（2）中所求的样本平均数作为的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，
求．
附：若，则．．
随堂练习：《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数
（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，].
（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值.
知识点二 求回归直线方程,卡方的计算,独立性检验解决实际问题
典例4、近年来，随着网络时代的发展，线上销售成为了一种热门的发展趋势.为了了解产品A的线上销售对象对该产品的满意程度，研究人员随机抽取了部分客户作出调查，得到的数据如下表：
（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为客户的满意程度与性别有关？
（2）根据以往数据，产品A的部分销售年份和线上销售总额之间呈现线性相关，数据统计如图所示，其中，，求关于的回归直线方程.
附：，，，其中.
随堂练习：时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻．复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期盼着，都想为校运会出一份力．小智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组织者科学地安排提供参考．
附：①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右；②“参与”人数是指运动员和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；③用数字表示小智同学统计的五个年份的年份数，今年的年份数是6；
统计表（一）
统计表（二）
高一（3）（4）班参加羽毛球比赛的情况：
1、请你与小智同学一起根据统计表（一）所给的数据，求出“参与”人数关于年份数的线性回归方程，并预估今年的校运会的“参与”人数；
2、根据统计表（二），请问：你能否有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关？
参考公式和数据一：，，，
参考公式二：，其中．
参考数据：
典例5、某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天食品的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：
（1）求关于的线性回归方程；查看当天天气预报知道，第二天气温可能降至左右，为第二天准备食品多少千克比较恰当？（精确到个位数）
（2）填写下列2×2列联表，并判断是否有的把握认为气温是否超过对销售量是否低于9千克具有影响？
附：参考公式与数据：①回归方程中，，.
②.
随堂练习：为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：
（1）请利用所给数据求“健走先锋”职工数y与月份x之间的回归直线方程，并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；
（2）为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：
能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？
参考公式：，．
（其中）
典例6、棉花是我国主要经济作物､纺织工业原料､重要战略物资.量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对于“碳达峰，碳中和”愿景下我国棉花绿色可持续生产具有重要意义.某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4年该地区棉花种植面积如下表：（单位：百亩）
（1）请利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程，并估计该地区2022年棉花的种植面积；
（2）针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落，及棉花枯､黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了100亩棉花，对是否按时足量施用硼肥和棉花产量进行统计得到如下数据：
问：是否有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关？
参考公试：线性回归方程：，其中，，其中.
临界值表：
随堂练习：某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始成绩（单位：分）如下表：
甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数具有类似特征中，因此，甲同学作变换，得到新的数据，重新画出散点图，发现与之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立与之间的线性经验回归方程.
（1）预测当时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；
（2）经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.
附：，，，，，
，.
人教A版数学--概率专题十一答案
典例1、答案： （1） （2），0.9544
解：（1）由，解得，
样本中指标数不在和之间的频率为，
所以产品为次等品的概率估计值为.
（2）依题意.
所以，
所以.
随堂练习：答案： （1）；平均分为71分；（2）；（3）．
解：（1）由频率分布直方图可得，， 解得．
这组样本数据的平均数为：．
所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分；
（2）自频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25，0.1．
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人，
成绩在内的有5人，成绩在内的有2人．
记事件这3人至少有1人成绩在内 则；
（3）由题意知，样本方差，故， 所以竞赛成绩
该校竞赛的及格率．
典例2、答案：（1）；（2）；（3）．
解:（1）抽取树木高度为的频率为，
所以样本均值：．
（2）由第一问估计，
，
一棵树的高度位于区间的概率为0.1359，
依题意知，所以．
（3）记移植五棵树中成活了棵．．
随堂练习：答案： （1）；（2）；；（3）元．
解：（1）由 解得．
（2）依题意，
故 所以
故测量数据落在内的概率约为
（3）根据题意得
故生产该疫苗的平均成本为．
典例3、答案： （1） （2） （3）
解：（1）由频率分布直方图可得， 解得，
所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为．
（2）估计样本中男生短跑成绩的平均数为：．
（3）由（2）知，所以，
所以该校男生短跑成绩在以外的概率为：
根据题意， 所以．
随堂练习：答案： （1）70 （2）0.8186 （3）分布列见解析
解：（1）由频率分布直方图可知，.
（2）由题意可知，样本方差，故，所以，
该厂生产的产品为正品的概率：.
（3）X所有可能值为0，1，2，3.
， ， ， .
所以的分布列为
数学期望.
典例4、答案： （1）能； （2）.
解：（1）根据统计数据，可得列联表如下表：
则，
故能够在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为客户的满意程度与性别有关.
（2）由题意得，，， 则，，
∴关于的回归直线方程为.
随堂练习：答案： （1）；2.9千人.
（2）没有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关.
解：（1）由题意得 ， ，
所以， ∴
∴线性回归方程为 ， ∴预计今年的“参与“人数为：（千人）．
由题意可确定列联表如下：
（2）则，
所以没有超过的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关.
典例5、答案：（1），；（2）表格见解析，有．
解:（1），，
，
， ，，
所以，所求回归方程是， 将代入回归方程得千克，
所以依据第二天气温可能降至天气预报，为第二天准备该商品左右较合适；
（2）根据已知条件构造分类变量列联表：
计算随机变量的观测值：
， ，.
所以，具有的把握认为气温是否超过对销售量是否低于具有影响．
随堂练习：答案： （1）；约为37人；
（2）没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关.
解：（1）由表中的数据可知，，，
所以，故．
所以所求的回归直线方程为；
当时，，
所以该单位10月份的“健走先锋”职工人数约为37人．
（2）由表中数据可得，.
因为,
所以没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关．
典例6、答案： （1），面积为462百亩
（2）有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关
解：（1）根据题意得到,
因为，所以，
所以棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程,
（2）当时，，
所以估计该地区2022年棉花的种植面积为462百亩.
结合已知数据得到列联表如下表所示：
，
所以有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关.
随堂练习：答案： （1）51.9分；
（2）表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
解：（1），
，
所以，且,
所以预测当时, ,
即该班学生政治学科成绩约为51.9分.
（2）列联表：
零假设为：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，
，
依据的独立性检验，推断不成立，
即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
表示满意
表示不满意
男性
60
45
女性
30
45
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年份数
1
2
3
4
5
“参与”人数（千人）
1.9
2.3
2.0
2.5
2.8
男生
女生
小计
参加（人数）
26
50
不参加（人数）
20
小计
44
100
2
5
8
9
11
12
10
8
8
7
销量低于
销量不低于
合计
气温高于
气温不高于
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
“健走先锋”职工数
120
105
100
95
80
健走先锋
健走之星
男员工
24
16
女员工
16
14
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
年度
2018
2019
2020
2021
年度代码x
1
2
3
4
种植面积y
306
347
390
420
亩产
亩产
未按时足量施用硼肥
20
10
按时足量施用硼肥
58
12
0.15
0.10
0.05
0.01
2.072
2.706
3.841
6.635
复习时间
2
3
5
6
8
12
16
考试分数
60
69
78
81
85
90
92
考前一周复习投入时间（单位：h）
政治成绩
合计
优秀
不优秀
≥6h
<6h
合计
50
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
表示满意
表示不满意
总计
男性
60
45
105
女性
30
45
75
总计
90
90
180
男生
女生
小计
参加（人数）
26
24
50
不参加（人数）
30
20
50
小计
56
44
100
销量低于
销量不低于
合计
气温高于
3
0
3
气温不高于
0
2
2
合计
3
2
5
亩产
亩产
合计
未按时足量施用硼肥
20
10
30
按时足量施用硼肥
58
12
70
合计
78
22
100
考前一周复习投入时间（单位：h）
政治成绩
合计
优秀
不优秀
≥6h
23
7
30
<6h
2
18
20
合计
25
25
50