高中数学7.1.2 弧度制及其与角度制的换算优秀课堂检测

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题型一 任意角与弧度制的概念
1． （2020上·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系
B．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π
C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
【答案】D
【分析】根据弧度的定义判断各选项．
【详解】依据弧度的意义可知A正确；
1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，B正确；
根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确；
根据角度制与弧度制的定义可知，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查弧度制的定义，属于基础题．
2. （2021下·高一课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的1360,1rad的角是周角的12π
C．1rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】D
【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.
【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，
1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π，故A、B正确；
1rad的角是(180π)°≈57.30°>1°，故C正确；
无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.
故选：D
3．（2021下·高一课时练习）关于弧度制有下列说法：
①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大．
②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角．
③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角．
其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据弧度制的知识确定正确答案.
【详解】1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，
与圆的半径无关，据此可知③正确，①②错误．
故选：B
4．（2022上·辽宁沈阳·高二辽宁实验中学校考开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180=απ.
C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2π3
D．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π16cm.
【答案】D
【分析】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.
【详解】A.根据弧度数定义可知A正确；
B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；
C.根据三角形关系可知，长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角为120∘，即弧度数为2π3，故C正确；
D.圆周长为2πr=20πcm，32等分后，每一份弧长为5π8cm，故D错误.
故选：D
题型二 角度与弧度的转化
1．（2021·高一课时练习）把下列各角从度化为弧度：
(1)180°；
(2)90°；
(3)45°；
(4)30°；
(5)120°；
(6)270°.
【答案】(1)π
(2)π2
(3)π4
(4)π6
(5)2π3
(6)3π2
【分析】由1°=π180rad换算即可.
【详解】（1）180°=180×π180=π.
（2）90°=90×π180=π2.
（3）45°=45×π180=π4.
（4）30°=30×π180=π6.
（5）120°=120×π180=2π3.
（6）270°=270×π180=3π2.
2．（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．
(1)72°；
(2)−300°；
(3)2；
(4)−2π9.
(5)780°
(6)−1560°
(7)67.5°
(8)−103π
(9)π12
(10)7π4
【答案】(1)2π5
(2)−5π3
(3)360π°
(4)−40°
(5)13π3
(6)−263π
(7)3π8
(8)−600°
(9)15°
(10)315°
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案.
【详解】（1）72°=72°⋅π180°=2π5.
（2）−300°=−300°⋅π180°=−5π3.
（3）2=2⋅180π°=360π°.
（4）−2π9=−2π9⋅180π°=−40°.
（5）780°=780°⋅π180°=13π3.
（6）−1560°=−1560°⋅π180°=−26π3.
（7）67.5°=67.5°⋅π180°=3π8.
（8）−103π=−103π⋅180π°=−600°.
（9）π12=π12⋅180π°=15°
（10）7π4=7π4⋅180π°=315°.
3．（2023·全国·高一随堂练习）分别把下列各角从弧度化为度：
(1)−5π12；
(2)8π3；
(3)23；
(4)1.4．
【答案】(1)−75∘
(2)480∘
(3)120π∘
(4)252π∘
【分析】根据弧度与度互化公式求得各小题结果.
【详解】（1）−5π12=−512×180∘=−75∘；
（2）8π3=83×180∘=480∘；
（3）23=23×180π∘=120π∘
（4）1.4=75=75×180π∘=252π∘.
4. （2023·高一课时练习）弧度制是当今数学主要的角的单位制，它使进位制统一．在古巴比伦以及古希腊时期，数学家在研究天文学问题时，普遍习惯使用60进制对角进行度量，为了进位制的统一，也用60进制度量弦长和弧长．此时，角度制满足了这种需求，而随着历史的发展，10进制取代了60进制成了度量长度的主要进位制．为了保持进位制的统一，自然也将角的进位制换成10进制．弧度制满足了这一需求，而且可以与角度制进行一一位制表示的数，便于数与数之间的对比，提高解决问题的效率．比如：化弧度制π12为角度制是 ，化角度制-240°为弧度制是 ．
【答案】 15∘ −43π/−4π3
【分析】根据180∘对应π弧度即可进一步转换求解.
【详解】π12=π12×180°π=180∘12=15∘,
−240∘=(−240°)×π180°=−43π.
题型三 钟表中的弧度制
1．（2023上·广东汕头·高一统考期末）将时钟的分针拨快5分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A．π6B．−π6C．π3D．−π3
【答案】B
【分析】根据弧度的定义，可得答案.
【详解】由题意，分针转过的角度为560×360∘=30∘，由转动的方向为顺时针，则弧度为π6.
故选：B.
2． （2022上·河北·高一校联考阶段练习）如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设半个小时后时针与分针的夹角为α(0<α≤π)，则α=（ ）
A．11π12B．5π6C．3π4D．2π3
【答案】B
【分析】由题意，根据时钟的特性，结合弧度制的写法，可得答案.
【详解】半小时后是5：00整，时针指向5，分针指向12，α=512×2π=5π6．
故选：B．
3. （2022下·上海奉贤·高一校考阶段练习）本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了 弧度
【答案】−4π
【分析】由角度制和弧度制之间互化可得答案.
【详解】本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了−720∘，
即−4π.
故答案为：−4π.
4．（2023上·云南·高一校联考阶段练习）从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（ ）
A．5π6B．2π3C．−5π6D．−2π3
【答案】C
【分析】根据弧度的概念求解.
【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，
所以分针转动的弧度为−2530π=−5π6.
故选：C.
题型四 用弧度制表示终边相同角
1．（2020·高一课时练习）下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．32π和2kπ−32π(k∈Z)B．−π5和225πC．−79π和119πD．203π和1229π
【答案】C
【解析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论．
【详解】若终边相同，则两角差2kπ,k∈Z，
A. 3π2−2kπ−3π2=3π−2kπ, k∈Z，故A选项错误；
B. 225π−−π5=23π5，故B选项错误；
C. 119π−−7π9=2π，故C选项正确；
D. 1229π−203π=629π，故D选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属于基础题.
2．（2023下·辽宁·高一校联考期中）下列与45°终边相同角的集合中正确的是（ ）
A．α|α=2kπ+45°,k∈ZB．α|α=k⋅360°+π4,k∈Z
C．α|α=2kπ−74π,k∈ZD．α|α=kπ+π4,k∈Z
【答案】C
【分析】根据终边相同的角分析判断.
【详解】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误；
因为45°=π4=π4−2π=−7π4，故C正确；
对于选项D：因为α−π4=kπ+π4−π4=kπ≠2kπ,k∈Z，
则α=kπ+π4,k∈Z与45°终边不相同，故D错误；
故选：C.
3．（2022下·陕西西安·高一校考期中）已知α=1690∘．
(1)把α表示成2kπ+β的形式，其中k∈Z，β∈0,2π；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈−4π,−2π．
【答案】(1)α=8π+2518π
(2)θ=−4718π
【分析】（1）将α直接表示为2kπ+β的形式，其中k∈Z，β∈0,2π；
（2）设θ=2518π+2nπn∈Z，由θ∈−4π,−2π可求得n的值，即可得解.
【详解】（1）解：α=1690∘=4×360∘+250∘=8π+2518π.
（2）解：∵α=8π+2518π，设θ=2518π+2nπn∈Z，
由θ∈−4π,−2π可得−4π≤2518π+2nπ<−2π，解得−9736≤n<−6136，
∵n∈Z，则n=−2，故θ=2518π−4π=−4718π.
4．（2021·高一课时练习）已知α=π6，角β的终边与角α的终边关于直线y=x对称，求角β的集合．
【答案】ββ=π3+2kπ,k∈Z
【分析】由对称性写出角β的集合．
【详解】角β=π4+π4−π6=π3的终边与角α=π6的终边关于直线y=x对称
由此角β的集合为ββ=π3+2kπ,k∈Z
题型五 用弧度制表示终边对称
1．（2023上·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）已知α=−409π，β与α的终边相同，且β∈−π2,π2，则β= .
【答案】−4π9/−49π
【分析】变形可得α=−2×2π−4π9，结合已知，即可得出答案.
【详解】因为α=−409π=−2×2π−4π9，
β与α的终边相同，且β∈−π2,π2，
所以，β=−4π9.
故答案为：−4π9.
2．（2022下·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）α的终边与π6的终边关于直线y=x对称，则α的取值集合为 ．
【答案】αα=π3+2kπ,k∈Z
【分析】由题知α的终边与角π3的终边相同，再根据终边相同的角的集合求解即可.
【详解】解：α的终边与π6的终边关于直线y=x对称，
所以α的终边与角π3的终边相同，
所以α的取值集合为αα=π3+2kπ,k∈Z
故答案为：αα=π3+2kπ,k∈Z
3．（2021上·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考期中）若角α和β的终边关于直线x+y=0对称，且α=−π6，则角β的集合是 .
【答案】ββ=−π3+2kπ,k∈Z
【分析】根据α=−π6，可得其关于直线x+y=0对称的一个角β，然后根据终边相同的角得到相应的集合.
【详解】由题可知： α=−π6关于直线x+y=0对称的一个角为β=−π3
所以角β的集合为ββ=−π3+2kπ,k∈Z
故答案为：ββ=−π3+2kπ,k∈Z
4．（2021下·北京延庆·高一统考期中）直角坐标系xOy中，以原点O为顶点，以x轴正半轴为始边，那么，角π−α的终边与α的终边关于 对称；角π2−α的终边与α的终边关于 对称.
【答案】 y轴 直线y=x.
【分析】将两角相加再除以2，即可得到对称轴终边所在位置，即可得到对称轴方程；
【详解】解：因为π−α+α2=π2，所以角π−α的终边与α的终边关于y轴对称；
因为π2−α+α2=π4，所以角π2−α的终边与α的终边关于直线y=x对称；
故答案为：y轴；直线y=x；
题型六 弧长公式
1．（2023上·四川成都·高一校考阶段练习）已知扇形的圆心角为30∘，弧长为π，则扇形的半径为（ ）
A．32B．3
C．62D．6
【答案】D
【分析】根据扇形的弧长公式，即可求得答案.
【详解】由扇形的圆心角为30∘，即为π6，
又弧长为π，故扇形的半径为ππ6=6，
故选：D
2．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设r为圆的半径，弧长为12πr的圆弧所对的圆心角为（ ）
A．90∘B．180∘C．270∘D．360∘
【答案】A
【分析】根据弧长、圆心角、半径的关系l=αr，代入求解，再转化为角度制即可.
【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：l=αr，
弧长为12πr的圆弧所对的圆心角：α=lr=12πrr=12π=90∘.
故选：A.
3．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知某个扇形的半径为2，圆心角为30∘，则该扇形的弧长为 ．
【答案】π3
【分析】根据扇形弧长公式计算即可.
【详解】由题意可知扇形的圆心角为30∘，即π6，故扇形弧长为l=2×π6=π3.
故答案为：π3.
4．（2023上·广西南宁·高一校考开学考试）若扇形的圆心角为120∘，半径32.则它的弧长为 .
【答案】π
【分析】利用扇形的弧长公式求解.
【详解】因为120∘=2π3，又扇形的圆心角为120∘，半径为32，
所以它的弧长为l=2π3×32=π，
故答案为：π
题型七 扇形面积公式
1．（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知扇形的半径为2，面积为2π3，则扇形的圆心角的弧度数为
【答案】π3/13π
【分析】根据扇形的面积公式，即可求解.
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，
则扇形的面积S=12α·22=2α=2π3，解得α=π3.
故答案为：π3.
2．（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）《九章算术》中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，弧田是由弧AB和弦AB所围成的弓形部分（如图阴影部分）.若弧田所在扇形的圆心角为2π3，扇形的面积为12π，则此弧田的面积为（ ）
A．12π−9B．12π−93C．6πD．6π−9
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出扇形所在圆的半径，再求出△AOB的面积即可求解.
【详解】依题意，12π=12×2π3×|OA|2，解得|OA|=6，
因此等腰△AOB腰OB上的高ℎ=|OA|sinπ3=33，△AOB的面积S△AOB=12|OB|⋅ℎ=93，
所以此弧田的面积为12π−93.
故选：B
3．（2023上·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）
A．4sin21B．4cs21C．4sin21D．4cs21
【答案】A
【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.
【详解】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为4，O为圆心，如下图，
取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB，则∠AOD=1，
则扇形的半径r=2sin1，所以扇形的弧长l=2×2sin1=4sin1，
则扇形的面积为S=12×4sin1×2sin1=4sin21.
故选：A.

4．（2023上·云南保山·高一校考开学考试）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和π）.
【答案】332−π3
【分析】先求得正六边形ABCDEF的面积和扇形ABF的面积，作差即可.
【详解】解：因为正六边形ABCDEF的边长为1，
所以正六边形ABCDEF的面积为6×12×1×32=332，
扇形ABF的面积为：12×12×2π3=π3，
所以阴影部分的面积为： 332−π3，
故答案为：332−π3，
题型八 最值相关
1．（2023上·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α=120°，R=10cm，求扇形的弧长l；
(2)己知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大?
【答案】(1)20π3cm
(2)12rad
(3)2rad
【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．
（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解；
（3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可．
【详解】（1）由题意知α=120°=2π3rad，所以弧长l=α·R=2π3×10=20π3cm.
（2）由题意得2R+Rα=1012α·R2=4，解得R=1α=8（舍），R=4α=12，故扇形圆心角为12rad.
（3）由题意知l+2R=20，
所以S=12lR=1220−2RR=10R−R2=−R−52+25，
所以当R=5cm时，S取得最大值25cm2，此时l=10cm，α=2rad.
2．（2023上·全国·高一期末）已知一个扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α=60°，R=10 cm，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(3)若扇形的周长为定值C，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.
【答案】(1)50π3
(2)α=29
(3)当α=2时，扇形面积有最大值，为C216
【分析】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案；
（2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案；
（3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）由α=60∘=π3，则S=12αR2=12×π3×102=50π3cm2.
（2）由Rα+2R=2012αR2=9，解得α=29或18，因为0<α<2π，所以α=29.
（3）由2R+αR=C，得R=C2+α，
则S=12αR2=12α⋅C2α2+4α+4=C22⋅1α+4α+4，
由0<α<2π，则S≤C22⋅12α⋅4α+4=C216，当且仅当α=2时，等号成立，
当α=2时，扇形面积有最大值C216.
3．（2023上·海南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α=60°，R=6，求扇形的周长；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角α为多少弧度.
【答案】(1)2π+12
(2)最大值为25，此时扇形的圆心角α为弧度
【分析】（1）根据弧长公式计算即可；
（1）根据扇形的周长将R用α表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）α=60°=π3，
故扇形的周长为l+2R=π3×6+2×6=2π+12；
（2）扇形的周长为20，
则αR+2R=20，所以R=20α+2，
则扇形的面积S=12αR2=12α⋅400α+22=200α+4α+4≤2002α⋅4α+4=25，
当且仅当α=4α，即α=2时取等号，
所以扇形面积的最大值为25，此时扇形的圆心角α为2弧度.
4．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r．
(1)若α=150°,r=10，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)253π
(2)α=2,Smax=36
【分析】（1）由扇形弧长公式计算；
（2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可.
【详解】（1）设扇形的弧长为l．
因为α=150°，即α=5π6,r=10，
所以l=αr=5π6×10=253π．
（2）由题设条件，知l+2r=24，则l=24−2r(0所以扇形的面积S=12lr=1224−2rr=−r2+12r=−r−62+36．
当r=6时，S有最大值36，
此时l=24−2r=12,α=lr=2，
所以当α=2时，扇形的面积最大，最大面积是36．
1．（2023上·云南·高一云南师大附中校考阶段练习）《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．524米B．334米C．22米D．23米
【答案】A
【分析】根据弧长公式求解即可.
【详解】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为BC⏜=π4×2+π8=5π8，
由弧度数公式得∠BOC=lr=5π81.25=π2，
则掷铁饼者双手之间的距离约为dBC=rsin45∘=524.
故选：A.

2．（2022上·全国·高一开学考试）如图，线段AB=2，以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，则图中阴影部分的周长为 ．
【答案】73π/7π3
【分析】阴影部分的周长为弧AC，弧BC和半圆AB的和，从而求解.
【详解】因为分别以点A,B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，
所以△ABC是等边三角形，所以∠CAB=∠CBA=π3，
所以阴影部分的周长为π3×2×2+12×2π×1=4π3+π=7π3.
故答案为：7π3.
3．（2023上·全国·高一期末）如图，圆心在原点、半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆周上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周匀速运动.点P按逆时针方向每秒转π3，点Q按顺时针方向每秒转π6，求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长.

【答案】第五次相遇时的位置在点M处，M为角2π3的终边与圆的交点，这时动点P，Q走过的弧长分别为l1=20π3R，l2=10π3R.
【分析】先求出点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间，再计算出各自走过的弧长，进而求出点P转过的角度，得出它们出发后第五次相遇时的位置.
【详解】设点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间为t秒，走过的弧长分别为l1，l2，
则l1=π3Rt，l2=−π6Rt=π6Rt.
因为l1+l2=5×2πR，即π3Rt+π6Rt=10πR，
所以t=20，从而l1=20π3R，l2=10π3R.
由此可知，动点P转过的角度为20π3=6π+2π3，
故第五次相遇时的位置在点M处，M为角2π3的终边与圆的交点，
这时动点P，Q走过的弧长分别为l1=20π3R，l2=10π3R.