高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算教学设计，共9页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习，变式探究等内容，欢迎下载使用。

本节课是人教B版必修3《三角函数》一章的第2节，本节课起着承上启下的作用，在前面学生在初中已经学习过角的度量单位“度”，并且上节课学习了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位掌握方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便，本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着承上启下的作用。通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式，也为今后学习三角函数带来了很大方便。弧度制是学生高中学习的一个难点，从初中的“角度制“到高中的”弧度制“，从初中单一用”角度值“来度量角的大小，到高中既用”角度值“又用”弧度制“，二者并用度量角的大小，这无疑对学生的认知是一种调整。
【教学重点】
弧度制的定义、弧度制和角度值的换算、弧度制下扇形的弧长、面积公式
【教学难点】
弧度制的概念与角度的换算
引入：
在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算。例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量。类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习地弧度来度量。
问题1.弧度制
思考：角度是怎么定义的？
把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制，角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒．
将折叠扇抽象为如图所示的图形，可以看成，弧与弧都与角对应，但时，它们的弧长与始终不相等，其原因在于。
一般地，如果角是由射线OP绕它的端点旋转形成的，如图（2）所示，则在旋转过程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角，可以猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即
事实上，设，弧的长为，半径，则，因此
这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与的大小有关。
知识点1 弧度制
我们称弧长与半径比值的这个常数称为圆心角的弧度数，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
如下图，因为的长度等于半径，所以所对的圆心角就是1弧度的角。
注：今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数。例如，表示是2的角，表示的角的正弦。
【对点快练】
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度就是一度的圆心角所对的弧
B．一弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是一度的弧与一度的角之和
D．一弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
答案 D
2．在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角所对的弧长____________．(填“相等”或“不相等”)
答案：不相等 由于1弧度的圆心角所对的弧长等于圆的半径，而两个圆的半径不等，故在两个圆中，1弧度的圆心角所对的弧长不相等．
问题2：弧度制和角度值的换算
答：（1）因为半径为的圆周长为，所以周角的弧度数是，于是，因此；
（2）设一个角的角度数为，弧度数为，则
知识点2 弧度制与角度制的换算
1．角度与弧度的关系：180°＝π rad.
2．设一个角的角度数为n，弧度数为α，则eq \f(n,180)＝eq \f(α,π).
例1.把化成弧度（用表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边。
解：设角的弧度数为，则，所以，即，对应的角的终边如图所示的射线OA。
类似地，有，它们地终边分别为图中地射线OB，OC。
因为，所以的角比小。
例2.把化成角度数。
解：设，则，因此 即。
【变式练习】
将下列各角度与弧度互化．
(1)67.5°；(2)112°30′；(3)eq \f(9,4)π.
解 (1)67.5°＝eq \f(π,180)rad×67.5＝eq \f(3π,8)rad.
(2)112°30′＝112.5°＝eq \f(π,180)rad×112.5＝eq \f(5π,8)rad.
(3)eq \f(9,4)π rad＝eq \f(9,4)×180°＝405°.
例3.把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角？
(1)－1 725°；(2)eq \f(64π,3)；(3)－4.
解 (1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，
所以－1 725°＝－10π＋eq \f(5π,12).
所以－1 725°角与eq \f(5π,12)角的终边相同．
又因为eq \f(5π,12)是第一象限角，
所以－1 725°是第一象限角．
(2)因为eq \f(64π,3)＝20π＋eq \f(4π,3)，
所以eq \f(64π,3)角与eq \f(4π,3)角的终边相同．
又因为eq \f(4π,3)是第三象限角，
所以eq \f(64π,3)是第三象限角．
(3)－4＝－2π＋(2π－4)，
所以－4与2π－4终边相同，
又因为eq \f(π,2)<2π－4<π，所以2π－4是第二象限角，
所以－4是第二象限角．
【变式探究】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
解 (1)以OA为终边的角为eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).
(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(7π,6)＋2kπ，k∈Z)))).
知识点3．特殊角的弧度数
问题3: 弧长公式与扇形面积公式
知识点4 弧长公式
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝eq \f(l,r)，所以l＝αr，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．
例4.利用弧度制推导扇形的面积公式
其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径。
解：设扇形的圆心角为，则扇形的面积为：
又因为，所以.
知识点5：扇形面积公式
若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lr.
例5.已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
则l＝20－2r，
∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.
此时α＝eq \f(l,r)＝eq \f(20－2×5,5)＝2(rad)．
∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.
【变式练习】
已知扇形周长为5，面积为1，求扇形圆心角的弧度数．
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＋2r＝5， ①,\f(1,2)lr＝1， ②))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r1＝\f(1,2)，,l1＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r2＝2，,l2＝1.))
所以θ＝8 rad>2π rad(舍去)或θ＝eq \f(1,2) rad.
所以扇形圆心角的弧度数为eq \f(1,2) rad.
小结：
1．明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键．
2．弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形．
3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆．
4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础．
考点
教学目标
核心素养
弧度制
掌握“1弧度的角”的定义，了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
数学抽象、逻辑推理、数学运算
弧度制和角度值的换算
掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数．
数学抽象、逻辑推理、数学运算
扇形的弧长、面积
掌握弧度制下扇形的弧长、面积公式，并运用公式解决相关问题
数学抽象、逻辑推理、数学运算
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
Π
eq \f(3π,2)
2π