人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案，共5页。学案主要包含了教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、直接导入
在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算。例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量。类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量。
二、新知探究
1．弧度制的概念
【例1】下列命题中，假命题是（ ）。
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手。
【答案】D。
【解析】根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题。
[教师小结]弧度制与角度制的区别与联系：
2．角度制与弧度制的转换
【例2】设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq \f(3,5)π，β2＝－eq \f(7,3)π。
（1）将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角。
[思路探究]由题目可获取以下主要信息：
（1）用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角eq \f(3,5)π，－eq \f(7,3)π；
（2）终边相同的角的表示。
解答本题（1）可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α（k ∈ Z，0≤α<2π）的形式，解答（2）可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k·360°（k ∈ Z）的形式。
【解】（1）要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0（k ∈ Z，0≤α0<2π）的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限。
α1＝－570°＝－eq \f(19,6)π＝－4π＋eq \f(5,6)π，
α2＝750°＝eq \f(25,6)π＝4π＋eq \f(π,6)。
∴α1在第二象限，α2在第一象限。
（2）β1＝eq \f(3π,5)＝108°，设θ＝β1＋k·360°（k ∈ Z），
由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，
∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°。
同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°。
[教师小结]角度制与弧度制的转换中的注意点：
（1）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键。由它可以得：度数× eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数度数。
（2）特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记。
（3）在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k ∈ Z是不正确的写法。
（4）判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限。
3．弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
（1）用公式|α|＝eq \f(l,r)求圆心角时，应注意什么问题？
【提示】应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负。
（2）在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
【提示】若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错。
【例3】（1）设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）。
A．1 radB．2 rad
C．3 radD．4 rad
（2）已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[思路探究]（1）可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；（2）可通过建立扇形面积的目标函数来求解。
【答案】（1）B
【解析】设扇形半径为r，弧长为l，由题意得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)l·r＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝4，,r＝2，))
则圆心角α＝eq \f(l,r)＝2rad。
（2）解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S。
则l＝20－2r，∴S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)（20－2r）·r＝－r2＋10r＝－（r－5）2＋25（0＜r＜10）。
∴当半径r＝5cm时，扇形的面积最大，为25cm2
此时α＝eq \f(l,r)＝eq \f(20－2×5,5)＝2rad．
∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25cm2
【教师小结】弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
[母题探究]（变条件）用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【解】设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则
∵l＋2r＝30
∴l＝30－2r，从而S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)（30－2r）·r＝－r2＋15r＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r－\f(15,2)))2＋eq \f(225,4)。
∴当半径r＝eq \f(15,2) cm时，l＝30－2×eq \f(15,2)＝15 cm，扇形面积的最大值是eq \f(225,4) cm2，这时α＝eq \f(l,r)＝2 rad．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为eq \f(15,2) cm时，面积最大，为eq \f(225,4)cm2
（1）明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝ eq \f(1,2)αr2和S＝ eq \f(1,2)lr ；（这里α必须是弧度制下的角）
（2）分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；
（3）根据条件列方程（组）或建立目标函数求解。
三、课堂总结
1．释疑弧长公式及扇形的面积公式
（1）公式中共四个量分别为α，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二。
（2）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制。
（3）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝α·r，α＝eq \f(l,r)，r＝eq \f(l,α)；②S＝eq \f(1,2)αr2，α＝eq \f(2S,r2)。
2．角度制与弧度制的比较
四、课堂检测
1．把56°15′化为弧度是（ ）。
A．eq \f(5π,8)B．eq \f(5π,4)
C．eq \f(5π,6)D．eq \f(5π,16)
【答案】D。
【解析】56°15′＝56.25°＝eq \f(225,4)×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,16)。
2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为（ ）。
A．eq \f(40,3)πB．eq \f(20,3)π
C．eq \f(200,3)πD．eq \f(400,3)π
【答案】A。
【解析】240°＝240×eq \f(π,180) rad＝eq \f(4,3)π rad，∴弧长l＝α·r＝eq \f(4,3)π×10＝eq \f(40,3)π，选A．
3．将－1 485°化成2kπ＋α（0≤α<2π，k ∈Z）的形式为________。
【答案】－10π＋eq \f(7,4)π
【解析】由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示为－10π＋eq \f(7,4)π。
4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数。
【解】设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4．①
由扇形的面积公式S＝eq \f(1,2)l·r，得eq \f(1,2)l·r＝1．②
由①②得r＝1，l＝2，∴α＝eq \f(l,r)＝2rad．
∴扇形的圆心角为2rad。教学目标
核心素养
1．了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算。（重点）
2．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式。（难点）
1．通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养。
2．借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养。
区别
①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；
②定义不同
联系
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值
角度制
用度作为单位来度量角的单位制
角的大小与半径无关
单位“°”不能省略
角的正负与方向有关
六十进制
弧度制
用弧度作为单位来度量角的单位制
角的大小与半径无关
单位“rad”可以省略
角的正负与方向有关
＋进制