高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算优秀导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算优秀导学案，共8页。







1.角度制与弧度制的定义


(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．


(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．


2.角的弧度数的计算


在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝eq \f(l,r).


3.角度与弧度的互化





4．一些特殊角与弧度数的对应关系


思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？


[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．


5．扇形的弧长与面积公式


设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则


思考2：在弧度制下的扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？


[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．





1.1 080°等于( )


A．1 080 B．eq \f(π,10)


C．eq \f(3π,10)D．6π


D [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.]


2.与角eq \f(2,3)π终边相同的角是( )


A．eq \f(11,3)πB．2kπ－eq \f(2,3)π(k∈Z)


C．2kπ－eq \f(10,3)π(k∈Z)D．(2k＋1)π＋eq \f(2,3)π(k∈Z)


C [选项A中eq \f(11π,3)＝2π＋eq \f(5,3)π，与角eq \f(5,3)π终边相同，故A项错；2kπ－eq \f(2,3)π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为eq \f(4,3)π，故与eq \f(4,3)π有相同的终边，B项错；2kπ－eq \f(10,3)π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为eq \f(2,3)π，与eq \f(2,3)π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋eq \f(2,3)π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为eq \f(5,3)π，故D项错．]


3.圆心角为eq \f(π,3)弧度，半径为6的扇形的面积为________．


6π [扇形的面积为eq \f(1,2)×62×eq \f(π,3)＝6π.]





【例1】 下列命题中，假命题是( )


A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位


B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)


C．1 rad的角比1°的角要大


D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关


[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．


D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．]





弧度制与角度制的区别与联系








1.下列各说法中，错误的说法是( )


A．半圆所对的圆心角是π rad


B．周角的大小等于2π


C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径


D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度


[答案] D


【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq \f(3,5)π，β2＝－eq \f(7,3)π.


(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；


(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．


[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：


(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角eq \f(3,5)π，－eq \f(7,3)π；


(2)终边相同的角的表示．


解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k·360°(k∈Z)的形式．


[解](1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．


α1＝－570°＝－eq \f(19,6)π＝－4π＋eq \f(5,6)π，


α2＝750°＝eq \f(25,6)π＝4π＋eq \f(π,6).


∴α1在第二象限，α2在第一象限．


(2)β1＝eq \f(3π,5)＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，


由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，


∴k＝－2或k＝－1，


∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.


同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.





角度制与弧度制的转换中的注意点


1在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键.由它可以得：度数× eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up14(°)＝度数.


2特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.


3在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法.


4判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.








2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．





[解] 因为30°＝eq \f(π,6) rad,210°＝eq \f(7π,6) rad，


这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)<θ

[探究问题]


1.用公式|α|＝eq \f(l,r)求圆心角时，应注意什么问题？


[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．


2.在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？


[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．


【例3】(1)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )


A．1 rad B．2 rad


C．3 radD．4 rad


(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？


[思路探究](1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得．


(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．


(1)B [设扇形半径为r，弧长为l，由题意得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)l·r＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝4，,r＝2，))


则圆心角α＝eq \f(l,r)＝2 rad.]


(2)[解] 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.


则l＝20－2r，∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)．


∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.


此时α＝eq \f(l,r)＝eq \f(20－2×5,5)＝2 rad.


∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大面积为25 cm2.





(变条件)用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？


[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，


∴l＝30－2r，从而S＝eq \f(1,2)·l·r＝eq \f(1,2)(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r－\f(15,2)))eq \s\up14(2)＋eq \f(225,4).


∴当半径r＝eq \f(15,2) cm时，l＝30－2×eq \f(15,2)＝15 cm，扇形面积的最大值是eq \f(225,4) cm2，这时α＝eq \f(l,r)＝2 rad.


∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为eq \f(15,2) cm时，面积最大，为eq \f(225,4) cm2.





弧度制下解决扇形相关问题的步骤：


(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝ eq \f(1,2)αr2和S＝ eq \f(1,2)lr；(这里α必须是弧度制下的角)；


(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；


(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.








1.释疑弧长公式及扇形的面积公式


(1)公式中共四个量分别为α，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．


(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．


(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：


①l＝α·r，α＝eq \f(l,r)，r＝eq \f(l,α)；②S＝eq \f(1,2)αr2，α＝eq \f(2S,r2).


2.角度制与弧度制的比较





1.把56°15′化为弧度是( )


A．eq \f(5π,8) B．eq \f(5π,4)


C．eq \f(5π,6) D．eq \f(5π,16)


D [56°15′＝56.25°＝eq \f(225,4)×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,16).]


2.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )


A．eq \f(40,3)π B．eq \f(20,3)π


C．eq \f(200,3)π D．eq \f(400,3)π


A [240°＝240×eq \f(π,180) rad＝eq \f(4,3)π rad，∴弧长l＝α·r＝eq \f(4,3)π×10＝eq \f(40,3)π，选A．]


3.将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．


－10π＋eq \f(7,4)π [由－1 485°＝－5×360°＋315°，


所以－1 485°可以表示为－10π＋eq \f(7,4)π.]


4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．


[解] 设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，


则2r＋l＝4.①


由扇形的面积公式S＝eq \f(1,2) lr，得eq \f(1,2)lr＝1.②


由①②得r＝1，l＝2，∴α＝eq \f(l,r)＝2 rad.


∴扇形的圆心角为2 rad.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点)


2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
1.通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．


2.借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养.
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
eq \f(π,12)
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,12)
eq \f(π,2)
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
eq \f(7π,6)
eq \f(5π,4)
eq \f(4π,3)
eq \f(3π,2)
eq \f(5π,3)
eq \f(7π,4)
eq \f(11π,6)
2π
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝eq \f(απr,180°)
l＝αr
扇形的面积
S＝eq \f(απr2,360°)
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2
弧度制的概念
区别
①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；


②定义不同
联系
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值
角度制与弧度制的转换
弧长公式与扇形面积公式的应用
角度


制
用度作为单位来度量角的单位制
角的大小与半径无关
单位“°”不能省略
角的正负


与方向有关
六十


进制
弧度


制
用弧度作为单位来度量角的单位制
角的大小与半径无关
单位“rad”可以省略
角的正负


与方向有关
十进制