高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制7.1.2 弧度制及其与角度制的换算同步练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制7.1.2 弧度制及其与角度制的换算同步练习题，共9页。试卷主要包含了14），001米）．，373，即圆心的坐标为C，等内容，欢迎下载使用。

一．选择题
1．把60°化为弧度是（ ）
A．B．C．D．
2．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线l有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（ ）
A．30πB．C．D．40π
3．一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度
A．2B．3C．4D．5
4．40°角的弧度数为（ ）
A．40B．C．D．
5．780°＝（ ）
A．B．C．D．
6．弧度等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
7．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD＝﹣1，锯道AB＝2，则图中的长度为（ ）
A．B．πC．πD．π
8．航海罗盘将圆周32等分，如图所示，则图中劣弧所对的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
9．已知某扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ）
A．3B．C．9D．
10．我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（ ）（π＝3.14）
A．1069千米B．1119千米C．2138千米D．2238千米
二．填空题
11．亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为 ．
12．已知在⊙O中，弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对弧的弧长是 ．
13．高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为 ．
14．已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 cm．
15．某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm，则该扇形的面积为 cm2．
三．解答题
16．计算：
（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
17．在一般的时钟上，自十九点到分针与时针第一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少？
18．1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献．造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线．如图，已知圆弧的半径r＝29米，圆弧所对的弦长l＝12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧的方程（答案中数据精确到0.001米）．
人教B版（2019）数学高中必修第三册
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【考点】弧度制．
【解答】解：60°＝π×＝，
故选：A．
2．【考点】弧长公式．
【解答】解：第1次画线：以点B为圆心，r＝1，旋转，划过的圆弧长为1×＝；
第2次画线：以点C为圆心，r＝2，旋转，划过的圆弧长为2×＝，交l累计1次；
第3次画线：以点为圆心，r＝3，旋转，划过的圆弧长为3×＝2π，交l累计2次；
第4次画线：以点B为圆心，r＝4，旋转，划过的圆弧长为4×＝；
第5次画线：以点C为圆心，r＝5，旋转，划过的圆弧长为5×＝，交l累计3欢；
前5次累计画线＝10π；
第6次画线：以点A为圆心，r＝6，旋转，划过的圆弧长为6×＝4π，交l累计4次，
累计画线10π+4π＝14π；
第7次画线：以点B为圆心，r＝7，旋转，划过的圆弧长为7×＝；
第8次画线：以点C为圆心，r＝8，旋转，划过的圆弧长为8×＝，交l累计5次；
第9次画线：以点A为圆心，r＝9，旋转，划过的圆弧长为9×＝6π，交l累计6次，
累计画线14π+++6π＝30π，
故选：A．
3．【考点】扇形面积公式．
【解答】解：设扇形半径r，弧长l，则，
解得r＝1，l＝2，
所以圆心角为＝2．
故选：A．
4．【考点】弧度制．
【解答】解：依题意，40°角的弧度数为40×＝．
故选：B．
5．【考点】弧度制．
【解答】解：780°＝×π弧度＝弧度．
故选：D．
6．【考点】弧度制．
【解答】解：由弧度制的定义可知：180°等于π弧度，
可得弧度等于30°．
故选：B．
7．【考点】弧长公式．
【解答】解：设半径为r，
则OD＝OC﹣CD＝r+1﹣，
∵AB＝2，
∴AD＝1，
∴OD2＝OA2﹣AD2，
即（r+1﹣）2＝r2﹣1，
解得r＝，
∴∠AOC＝，
即∠AOB＝，
∴的长度为×＝π．
故选：B．
8．【考点】弧长公式．
【解答】解：因为劣弧的弧长占了32等分中的7等分，
所以劣弧所对的圆心角为．
故选：B．
9．【考点】扇形面积公式．
【解答】解：∵S＝，
又∵扇形的面积为，圆心角为，
∴r＝3，即该扇形的半径为3．
故选：A．
10．【考点】扇形面积公式．
【解答】解：根据题意可得，R＝1738+400＝2138米，圆心角为弧度，
由弧长公式，得l＝×2138≈2238（千米）．
故选：D．
二．填空题
11．【考点】弧度制；弧长公式．
【解答】解：这场考试中钟表的分针转过的弧度数为2×（﹣2π）＝﹣4π．
故答案为：﹣4π．
12．【考点】弧长公式．
【解答】解：设圆的半径为r，
∵弧度数为的圆心角所对的弦长为，
∴，解得r＝2，
故这个圆心角所对弧的弧长是．
故答案为：π．
13．【考点】弧度制；弧长公式．
【解答】解：这场考试中钟表的时针转过的弧度数为﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
14．【考点】弧长公式．
【解答】解：∵弧长的弧所对的圆心角为，
∴这条弧所在圆的半径为＝2．
故答案为：2．
15．【考点】扇形面积公式．
【解答】解：∵扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm，
∴．
故答案为：16．
三．解答题
16．【考点】弧度制．
【解答】解：（1）解：设扇形的弧长为：l，半径为r，
所以2r+l＝10，
∵S扇形＝lr＝4，
解得：r＝4，l＝2，或r＝1，l＝8（舍去），
∴扇形的圆心角的弧度数是：，或＝8（舍去）；
（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，
由题意可得2r+l＝40，
∴扇形的面积S＝lr＝•l•2r≤2＝100．
当且仅当l＝2r＝20，即l＝20，r＝10时取等号，
此时圆心角为α＝＝2，
∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．
17．【考点】弧度制．
【解答】解：自十九点到分针与时针第一次重合，设时针转过x弧度，则分针转过x﹣．
∵时针走一弧度相当于经过小时＝分，分针转一弧度相当于经过分，
故有，解得x＝．
∴自十九点到分针与时针第一次重合，分针所转过的角的弧度数是．
18．【考点】弧长公式．
【解答】解：如图以弦AB所在直线为x轴，弦AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设圆弧的圆心为C，连接AC，
则|AO|＝l＝6，|AC|＝r＝29，
可得|OC|＝＝≈28.373，即圆心的坐标为C（0，﹣28.373），
所以圆弧的方程为x2+（y+28.373）2＝292（﹣6≤x≤6，y≥0）．