沪教版（五四制）数学九上26.3《二次函数y=ax²+bx+c的图象》（第1课时）（题型专训）（原卷+解析卷）

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26.3二次函数y=ax2 +bx+c的图像（第1课时）基础知识一、二次函数与之间的相互关系1.顶点式化成一般式　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．2.一般式化成顶点式 ．对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，三、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．过关检测一、单选题1．抛物线的顶点坐标是（       ）A．(-1，8) B．(1，-8)C．(-1，-3) D．(1，3)【答案】B【分析】根据题意可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得抛物线的对称轴，然后代入抛物线解析式即可得顶点坐标．【解析】抛物线的图像与x轴的交点是、对称轴是直线x=1，当x=1时，y=-8，顶点坐标是．故选B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像与性质，关键是根据题意得到抛物线的对称轴，然后由对称轴得到抛物线的顶点坐标．2．二次函数的对称轴是                       （       ）A．直线x=-2 B．直线x=-4C．直线x=1 D．直线x=-1【答案】C【分析】先根据抛物线的解析式求出此抛物线与x轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出其对称轴．【解析】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x＋2）（x−4），∴此抛物线与x轴的交点为，（−2，0），（4，0）∴其对称轴为：直线x＝＝1．故选：C．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的两交点坐标关于对称轴对称是解答此题的关键．3．当二次函数有最大值时，可能是（    ）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据二次函数有最大值，即可得出结论．【解析】解：二次函数有最大值，，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点是解题的关键．4．二次函数的图象大致是（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】把二次函数配成顶点式，从开口方向及顶点坐标可判断出大致图象．【解析】解：∵= ，= ，=，∴二次函数的图象是一条抛物线，抛物线开口向上，顶点坐标为（-2，-1），∴二次函数的图象大致是C.故选：C．【点睛】本题考查二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等，熟练进行配方变形是解题的关键．5．若把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线，则（    ）A．b＝2，c＝6 B．b＝－6，c＝6C．b＝－8，c＝18 D．b＝－8，c＝18【答案】B【解析】略6．若点，，都是二次函数的图象上的点，则（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到，，的大小关系．【解析】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且） 的图像可能是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分m＞0及m＜0两种情况考虑两函数的图象，对照四个选项即可得出结论．【解析】解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x=-=-＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=-=-＜0 ，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=-，与y轴的交点坐标为（0，c）．8．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（    ）A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值3 D．最大值3【答案】B【解析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质，可以知该抛物线有最大值-5．故选B．9．对于二次函数，下列结论错误的是（    ）A．它的图像与轴有两个交点 B．方程的两根之积为C．它的图像的对称轴在轴的右侧 D．时，随的增大而减小【答案】C【分析】直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．【解析】解：A、∵，∴二次函数的图像与轴有两个交点，该选项结论正确，故此选项不符合题意；B、方程，即的两根之积=，该选项结论正确，故此选项不符合题意；C、∵的值不能确定，∴它的图像的对称轴位置无法确定，该选项结论错误，故此选项符合题意；D、∵，对称轴，∴时，随的增大而减小，该选项结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识．正确掌握二次函数的性质是解题关键．10．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【解析】解：∵∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．11．已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．【解析】∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线的对称轴为直线，即，∴，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴，∴，所以①正确；∵时，y有最小值，∴（t为任意实数），即，所以②正确；∵图象经过点时，代入解析式可得，方程可化为，消a可得方程的两根为，，∵抛物线的对称轴为直线，∴二次函数与直线的另一个交点为，，代入可得，所以③正确．综上所述，正确的个数是3．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．12．已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（    ）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．【解析】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，此时，，当时，，当时，，∴函数图象总过定点，：故②正确；当时，，∵，∵，∴，∴当时，∴，∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确；函数图象上任取不同的两点、，则当时，抛物线的对称轴为，∴抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误，综上可知，正确的是①②③，故选：A【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．二、填空题13．观察二次函数的图象回答问题：配方得：y＝ 当x＜－1时，y随x增大而 ；当x＝－1时，y最大值为 ；当x＞－1时，y随x增大而 ．【答案】 增大 3 减小【解析】略14．当a＞0时，的开口方向 顶点坐标 对称轴 在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而 ，当x＝时，y有最小值y＝ 【答案】 向上 （，） x＝ 减小 增大 【解析】略15．二次函数的与的部分对应值如下表：则当时，的值是 ．【答案】【分析】根据表中数据，得出该二次函数图象关于直线对称，则当时和当时的函数值相等，即可解答．【解析】解：∵当时，，当时，，∴该二次函数图象关于直线对称，∵当时，，∴当时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性．16．在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质 ．【答案】对称轴都为（答案不唯一）【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可．【解析】如图所示，由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为，故答案为：对称轴都为（答案不唯一）．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．17．已知、是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ．【答案】【分析】将A，B代入二次函数关系式得出，即可比较大小．【解析】解：将A，B代入二次函数得：，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，直接求出函数值比较大小，属于基础题．18．已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是 ．【答案】向下【分析】根据二次函数的性质即可解答．【解析】解：∵抛物线有最大值，∴抛物线的其他值都是小于，∴抛物线开口向下，故答案为：向下．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．19．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论正确的是 ．（填序号）  ①；②；③；④．【答案】②④/④②【分析】利用抛物线的开口方向及对称轴和与y轴的交点可判断①；由图象得抛物线的对称轴，化简即可判断②；抛物线的对称轴：，则可得，当时，即可判断③；将点带入得，利用即可判断④．【解析】解：抛物线的开口向上，且与y轴的交点小于0，，，由图可得，，，故 ①错误；由图象得：，即：，故②正确；由图可得，抛物线的对称轴：，，当时，，即：，故③错误；将点带入得：，即：，又，则：，故④正确，结论正确的是：②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．20．已知抛物线经过点，且与轴交于，两点，若点为该抛物线的顶点，则当面积最小时，抛物线的解析式为 ．【答案】y=x2-4x+3【分析】A、B两点在x轴上，用|AB|=|a-b|表示线段AB的长，由两根关系转化为m、n的表达式，根据顶点坐标公式得P（），故有，将点（2，-1）代入解析式得4+2m+n=-1，即n=-2m-5转化为关于m的二次函数，求面积最小时m、n的值．【解析】解：由题意知4+2m+n=-1，即n=-2m-5，∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+mx+n上，∴a+b=-m，ab=n，又 ∵n=-2m-5，∴∴，P点纵坐标为，∴，所以，当m=-4时，S△PAB最小，此时， 此时，该抛物线解析式为y=x2-4x+3．故答案是：y=x2-4x+3【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征以及求三角形的面积问题，将原题转化为二次函数最值问题是解答的基本思路．三、解答题21．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）开口向上，x ＝ 1，（1， 3）；（2）开口向下，x ＝ 1，（1，－2）；（3）开口向上，x ＝ ，（ ， ）；（4）开口向下，x ＝ －1，（－1，1）；（5）开口向下，x ＝ 2，（2，0）【解析】略22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．【答案】（1）；（2）直线【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用对称轴公式求解即可．【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)， ∴－2＝1－2m＋5m， 解得；    ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．（2）二次函数图象的对称轴为直线；故二次函数的对称轴为：直线；【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．23．如图，二次函数的图象经，，三点．  (1)观察图象，写出，，三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？【答案】(1)，，，(2)顶点坐标为，对称轴为直线(3)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小【分析】（1）先写出点、点、点的坐标，然后假设一般式，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；（3）根据二次函数的性质求解．【解析】（1）解：由图可知：，，，设抛物线解析式为，根据题意得，解得，所以抛物线解析式为；（2），所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；（3）当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，也考查了二次函数的性质．24．已知抛物线C：．(1)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线C1的解析式．(2)将抛物线平移至，使其经过点，且顶点在轴上，求的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用原抛物线上的关于轴对称的点的特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答；（2）由题意知平移后的解析式为：，即可求得抛物线解析式．【解析】（1）解：∴抛物线的顶点坐标为，与 轴交点坐标为，∵与关于轴对称，∴顶点坐标是，且与轴交点．设的解析式为，把代入，解得：，∴的解析式为，即；（2）要使顶点在轴上，则平移后的解析式为：，∵经过点，∵，解得∶∴抛物线解析式为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，化为顶点式，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键．25．已知抛物线（为常数）．(1)当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围．(2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将一般式配成顶点式即可求解；（2）由抛物线的对称轴及当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小可确定；分别求出当时和时的函数值，根据当时有最小值，可进一步确定的范围．即可求解．【解析】（1）解：∵∴抛物线的顶点为∵抛物线的顶点在第二象限∴解得：（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，且当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小∴当时，；当时，∵当时有最小值∴解得：综上：∴整数的值为【点睛】本题考查了抛物线的顶点式、抛物线的对称轴和增减性等知识点．熟记相关性质是解题关键．26．已知二次函数的图象过点，．  (1)求此二次函数的解析式；(2)如图，二次函数的图象与轴交于点，二次函数图象的对称轴与直线交于点，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）把点，代入求解，得到二次函数解析式即可；（2）根据二次函数的解析式得到对称轴、点坐标，设直线的解析式为，代入点、坐标求出直线的解析式，结合二次函数图象的对称轴，求出点的坐标即可．【解析】（1）把点，代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）∵抛物线的解析式为，∴当时，，∴，设直线的解析式为，代入点、坐标得：解得：∴直线的解析式为，∵抛物线的解析式为，∴二次函数图象的对称轴是，把代入，得：，∴．【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组、一次函数的知识，熟练掌握二次函数、一次函数的性质是解题的关键．27．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．  (1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点和点的坐标；(3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．【答案】(1)；(2)，；(3)．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据二次函数解析式求图象与交点坐标，顶点坐标即可，（3）设点坐标，然后根据数量关系列一元二次方程，求解即可．【解析】（1）解：由点和点得，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）得：，当时，，∴点，由，∴顶点；（3）设，，，∵，∴，∴，∴，解得：（不合题意，舍去），，∴点．【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用．28．如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．  (1)求此二次函数的解析式和点的坐标；(2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分；(3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标．【答案】(1)二次函数的解析式为，(2)见解析(3)E点的横坐标为或或或【分析】（1）根据题意点在图象的对称轴上，由对称轴的性质即可确定解析式，然后确定点C的坐标即可；（2）根据题意得出点E的纵坐标为1，平行于x轴．然后由平行线的性质确定，再由二次函数得出，确定，，利用等边对等角及等量代换即可证明；（3）分两种情况进行分析：或 ，根据题意首先得出为直角三角形，，然后分别分两种情况结合函数图象利用相似三角形的性质求解即可．【解析】（1）∵点在图象的对称轴上，∴．∴．∴二次函数的解析式为．当时，，∴；（2）∵，且垂直于y轴，∴点E的纵坐标为1，平行于x轴．∴．令，则，解得．∵点E位于对称轴右侧，∴．∴．令，则，解得，，∴点A的坐标为，点B的坐标为．∴．∴．∴．∴．∴平分．（3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，且为直角三角形，∴为直角三角形．  ∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，∴．∵，，∵，∴，则，∴G点坐标为．∴，．∴，∴或 ，设，当点D在点G的上方时，则，.；如图，当 时，   则有， ，解得， （负值舍去）如图3当时，  则有，，解得， （负值舍去）当点D在点G的下方时，则， ，如图，当时，  则有， 解得，（负值舍去） 如图，当时，  则有，，解得，（负值舍去） 综上，E点的横坐标为或或或．【点睛】题目主要考查二次函数综合问题，包括确定函数解析式及二次函数的基本性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出相应图象进行分类讨论是解题关键．函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， 项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac＞0与x轴有两个交点b2-4ac＜0与x轴没有交点…012……010…