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2023-2024学年沪教版（2012）九年级上册第二十六章二次函数单元测试卷(含答案)
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2023-2024学年 沪教版（2012）九年级上册 第二十六章� �二次函数� 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图．正方形的顶点，分别在轴，轴上，正方形的边长为，抛物线的图象经过、两点，下列说法中，正确的个数有（ ）个①；②；③；④方程的解为，；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )A．开口向上 B．对称轴是直线C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A． B． C． D． 4．将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）A． B．C． D．5．若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）．A． B． C． D．6．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③抛物线另一个交点在到之间；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．在同一平面直角坐标系中，函数与（）的图像可能是（ ）A． B． C． D．8．已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A． B．且 C． D．且9．如图，正方形的四个顶点坐标依次为，，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．10．已知点为抛物线（为常数，）上的两点，当，时（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线解析式是 ．12．抛物线（m是常数）经过点、、，则、、的大小关系为 （用“”连接）13．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ． 14．如果一个函数在某个自变量取值范围内有最大值和最小值，则最大值与最小值的差叫做这个函数在该自变量范围内的“值域差”如一次函数，当时，函数最大值为，最小值，则其值域差为，已知二次函数，当时，该函数的“值域差”是 ．15．已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ． 16．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是 ．17．定义：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，当时，B点坐标为；当时，B点坐标为，则称点B为点A的k一分点（其中k为常数）。例如：的0一分点坐标为．(1)点的1一分点在反比例函数图象上，则 ；若点的2一分点在直线上，则 ；(2)若点N在二次函数的图象上，点M为点N的3一分点．①求点M所在函数的解析式；②当时，点M所在函数的函数值，求出m的取值范围．18．如图，抛物线与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．B【分析】本题主要考查二次函数图像与性质，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴、轴的交点，二次函数的最值等，掌握二次函数图像与性质是解题关键．根据抛物线开口方向可得，根据对称轴为，得到，可判断②；，根据抛物线与轴交于正半轴，可得，据此可判断①；根据时，，代入可判断③；根据抛物线经过，，可判断④；根据二次函数在时，取最大值，可判断⑤．【详解】解：由图像可知，抛物线开口向下，，正方形的边长为，，对称轴为，，即，故②正确；抛物线与轴交于点，，，故①错误；由图像可得，当时，，，，解得，故③正确；，，当时，或，方程的解为，，故④正确；当时，函数取最大值，为，，，，故⑤错误．综上所述，正确的有个．故选：B．2．B【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：A、抛物线的开口向下，则错误，故不符合题意；B、对称轴是直线，则正确，故符合题意；C、当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则错误，不符合题意；D、顶点坐标为，则错误，故不符合题意；故选B．3．B【分析】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解．【详解】解：∵，∴抛物线对称轴为直线，当抛物线对称轴在y轴右侧时，，，符号不同，当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方，当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方，故选：B．4．A【分析】本题考查了抛物线的平移，根据抛物线平移法则：左加右减，上加下减，即可得到新抛物线的解析式，掌握抛物线平移法则是解题的关键．【详解】解：∵将抛物线向上平移个单位长度，∴得到新抛物线的解析式是，故选：．5．D【分析】此题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握二次函数图形的平移规律是解答本题的关键，“二次函数图形的平移规律是左加右减，上加下减”，据此规律解答即可．【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即，∴平移后的二次函数的顶点坐标为，故选：D．6．C【分析】本题考查二次函数的图象与性质、根的判别式、二次函数的图象与系数的关系，根据抛物线的对称轴公式即可判断①；由顶点坐标为结合对称轴公式即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的平移即可判断④；根据一元二次方程的根的判别式即可判断⑤，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：抛物线顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，，，故①错误，不符合题意；抛物线顶点坐标为，，，，即，故②正确，符合题意；抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为，抛物线另一个交点在到之间，故③正确，符合题意；根据图象可得：把抛物线的图象向下平移个单位后过原点，即可得到抛物线，如图，画出直线， 由图象可得：当时，，即，故④错误，不符合题意；一元二次方程，，由二次函数的图象可得：，，，，一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确，符合题意；综上所述，正确的有②③⑤，共个，故选：C．7．C【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合知识，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案．【详解】解：A.根据一次函数图像可知，而二次函数图像与轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意；B.根据二次函数的图像可知，同时与y轴的交点是，但是根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意；C.根据图像可知两个函数图像与轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意；D.根据一次函数图像可知，而由根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意．故选：C．8．C【分析】本题考查一次函数的图象与x轴的交点问题，二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式． 分类讨论：①当时，原函数为，根据一次函数的性质可知此时其图象与x轴有一个交点，符合题意；②当时，原函数为二次函数，根据二次函数的图象与x轴有交点，即为其相关一元二次方程有实数解，最后结合一元二次方程根的判别式求解即可．能分类求出每种情况的k是解此题的关键．【详解】解：分类讨论：①当时，，直线与x轴有一个交点，符合题意；②当时，∵函数的图象与x轴有交点，∴方程有实数根，∴，解得：．∴且综上可知当时，函数的图象与x轴有交点．故选：C．9．A【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键求出抛物线经过两个特殊点时的a的值．【详解】解：当抛物线经过时，，当抛物线经过时，，观察图象可知，故选A．10．D【分析】本题考查的是二次函数的增减性的灵活运用，当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点A、B在对称轴异侧或右侧，即可判定D．灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．【详解】解：由（a为常数，）知，其开口向上，对称轴为，当时，，且，,则，A．当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，故，故A错误，不符合题意；B．若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，当A、B在对称轴异侧时，则，解得：；当A、B在对称轴左侧时，则，解得：，综上，，故B错误，不符合题意；C．当时，则，此时，∴，故C错误，不符合题意；D．当时，，，则点A、B在对称轴异侧或右侧，当A、B在对称轴异侧时，则，解得：；当A、B在对称轴右侧时，则， 综上，，则正确；故D正确，符合题意；故选：D．11．【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．【详解】抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线解析式是，故答案为：．12．【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性得点也在抛物线上，再根据进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：抛物线的对称轴为：，根据抛物线的对称性得：点关于对称的点也在抛物线上，，且抛物线的开口向上，，故答案为：．13．【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，连接AC，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可．【详解】解：连接AC，交y轴于点D， 当时，则，即，四边形是正方形，，，点，，解得：，故答案为：．14．4【分析】本题主要考查了新定义“值域差”、二次函数的图像与性质等知识，正确解得二次函数在时的最大值与最小值是解题关键．首先解得该二次函数图像的对称轴，然后根据二次函数的图像与性质解得在时的最大值与最小值，即可获得答案．【详解】解：二次函数的对称轴为，当时，∵，即该二次函数图像开口向上，∴当时，，当时，，∴，故答案为：4．15．【分析】本题利用二次函数解析式得出、两点的坐标，连接，再利用勾股定理计算出，取的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，连接，再利用中位线得出，最后根据三角形三边关系，给出，即可解题．【详解】解：连接，取的中点，连接，， ，，当时，有，解得，，，，，点是的中点，为三角形的中位线，即有，，当、、三点共线等号成立，即，故的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形三边关系和三角形中位线，解题的关键在于作辅助线构造三角形中线和中位线，即可解题．16．【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知一次函数与二次函数的两个交点横坐标即为对应的一元二次方程的解是解题的关键．【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，方程组的解为，即关于的方程的解为．故答案为：．17．(1)3，11(2)①或；②【分析】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象及性质：（1）利用分类讨论，根据定义计算即可求解；（2）①设，分类讨论：当时，，当时，，进而可求解；②把代入得，把代入得，当时，代入得，解方程，即可求解，理解变化规律，结合定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：，点的1一分点坐标为，点在反比例函数图象上，，即：，分类讨论：①当，即时，点的2一分点的坐标为，在的图象上，，即：，②当，即时，点的2一分点的坐标为，在的图象上，，即：（舍去），故答案为：3，11．（2）①设，点为点的一分点，当时，，其中：，点所在函数的解析式为，当时，，其中：，点所在函数的解析式为，故点的解析式为或．②把代入得，解得：，（舍去），把代入得，解得：，（舍去），当时，代入得，解得：或（舍去），当时，点所在函数的函数值为，综上所述，当时，点M所在函数的函数值，其中m的取值范围为．18．(1)(2)存在使得的周长最小(3)存在使得面积最大，最大为【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列得方程组即可求得、的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）存在，设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标．【详解】（1）解：将，代入中得，．抛物线解析式为：；（2）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，连接，由对称性可知，∴的周长，∵A、C为定点，∴为定值，∴当最小时，的周长最小，∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小，在中，当时，的坐标为，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为：，在中，当时，，∴存在使得的周长最小；（3）解：设，过点P作轴于E，，∴当有最大值时，有最大值，，，∵，当时，最大值，最大，当时，，点坐标为，∴存在使得面积最大，最大为．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合．
2023-2024学年 沪教版（2012）九年级上册 第二十六章� �二次函数� 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图．正方形的顶点，分别在轴，轴上，正方形的边长为，抛物线的图象经过、两点，下列说法中，正确的个数有（ ）个①；②；③；④方程的解为，；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )A．开口向上 B．对称轴是直线C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A． B． C． D． 4．将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）A． B．C． D．5．若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）．A． B． C． D．6．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③抛物线另一个交点在到之间；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．在同一平面直角坐标系中，函数与（）的图像可能是（ ）A． B． C． D．8．已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A． B．且 C． D．且9．如图，正方形的四个顶点坐标依次为，，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．10．已知点为抛物线（为常数，）上的两点，当，时（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线解析式是 ．12．抛物线（m是常数）经过点、、，则、、的大小关系为 （用“”连接）13．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ． 14．如果一个函数在某个自变量取值范围内有最大值和最小值，则最大值与最小值的差叫做这个函数在该自变量范围内的“值域差”如一次函数，当时，函数最大值为，最小值，则其值域差为，已知二次函数，当时，该函数的“值域差”是 ．15．已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ． 16．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是 ．17．定义：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，当时，B点坐标为；当时，B点坐标为，则称点B为点A的k一分点（其中k为常数）。例如：的0一分点坐标为．(1)点的1一分点在反比例函数图象上，则 ；若点的2一分点在直线上，则 ；(2)若点N在二次函数的图象上，点M为点N的3一分点．①求点M所在函数的解析式；②当时，点M所在函数的函数值，求出m的取值范围．18．如图，抛物线与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．B【分析】本题主要考查二次函数图像与性质，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴、轴的交点，二次函数的最值等，掌握二次函数图像与性质是解题关键．根据抛物线开口方向可得，根据对称轴为，得到，可判断②；，根据抛物线与轴交于正半轴，可得，据此可判断①；根据时，，代入可判断③；根据抛物线经过，，可判断④；根据二次函数在时，取最大值，可判断⑤．【详解】解：由图像可知，抛物线开口向下，，正方形的边长为，，对称轴为，，即，故②正确；抛物线与轴交于点，，，故①错误；由图像可得，当时，，，，解得，故③正确；，，当时，或，方程的解为，，故④正确；当时，函数取最大值，为，，，，故⑤错误．综上所述，正确的有个．故选：B．2．B【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：A、抛物线的开口向下，则错误，故不符合题意；B、对称轴是直线，则正确，故符合题意；C、当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则错误，不符合题意；D、顶点坐标为，则错误，故不符合题意；故选B．3．B【分析】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解．【详解】解：∵，∴抛物线对称轴为直线，当抛物线对称轴在y轴右侧时，，，符号不同，当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方，当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方，故选：B．4．A【分析】本题考查了抛物线的平移，根据抛物线平移法则：左加右减，上加下减，即可得到新抛物线的解析式，掌握抛物线平移法则是解题的关键．【详解】解：∵将抛物线向上平移个单位长度，∴得到新抛物线的解析式是，故选：．5．D【分析】此题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握二次函数图形的平移规律是解答本题的关键，“二次函数图形的平移规律是左加右减，上加下减”，据此规律解答即可．【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即，∴平移后的二次函数的顶点坐标为，故选：D．6．C【分析】本题考查二次函数的图象与性质、根的判别式、二次函数的图象与系数的关系，根据抛物线的对称轴公式即可判断①；由顶点坐标为结合对称轴公式即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的平移即可判断④；根据一元二次方程的根的判别式即可判断⑤，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：抛物线顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，，，故①错误，不符合题意；抛物线顶点坐标为，，，，即，故②正确，符合题意；抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为，抛物线另一个交点在到之间，故③正确，符合题意；根据图象可得：把抛物线的图象向下平移个单位后过原点，即可得到抛物线，如图，画出直线， 由图象可得：当时，，即，故④错误，不符合题意；一元二次方程，，由二次函数的图象可得：，，，，一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确，符合题意；综上所述，正确的有②③⑤，共个，故选：C．7．C【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合知识，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案．【详解】解：A.根据一次函数图像可知，而二次函数图像与轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意；B.根据二次函数的图像可知，同时与y轴的交点是，但是根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意；C.根据图像可知两个函数图像与轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意；D.根据一次函数图像可知，而由根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意．故选：C．8．C【分析】本题考查一次函数的图象与x轴的交点问题，二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式． 分类讨论：①当时，原函数为，根据一次函数的性质可知此时其图象与x轴有一个交点，符合题意；②当时，原函数为二次函数，根据二次函数的图象与x轴有交点，即为其相关一元二次方程有实数解，最后结合一元二次方程根的判别式求解即可．能分类求出每种情况的k是解此题的关键．【详解】解：分类讨论：①当时，，直线与x轴有一个交点，符合题意；②当时，∵函数的图象与x轴有交点，∴方程有实数根，∴，解得：．∴且综上可知当时，函数的图象与x轴有交点．故选：C．9．A【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键求出抛物线经过两个特殊点时的a的值．【详解】解：当抛物线经过时，，当抛物线经过时，，观察图象可知，故选A．10．D【分析】本题考查的是二次函数的增减性的灵活运用，当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点A、B在对称轴异侧或右侧，即可判定D．灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．【详解】解：由（a为常数，）知，其开口向上，对称轴为，当时，，且，,则，A．当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，故，故A错误，不符合题意；B．若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，当A、B在对称轴异侧时，则，解得：；当A、B在对称轴左侧时，则，解得：，综上，，故B错误，不符合题意；C．当时，则，此时，∴，故C错误，不符合题意；D．当时，，，则点A、B在对称轴异侧或右侧，当A、B在对称轴异侧时，则，解得：；当A、B在对称轴右侧时，则， 综上，，则正确；故D正确，符合题意；故选：D．11．【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．【详解】抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线解析式是，故答案为：．12．【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性得点也在抛物线上，再根据进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：抛物线的对称轴为：，根据抛物线的对称性得：点关于对称的点也在抛物线上，，且抛物线的开口向上，，故答案为：．13．【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，连接AC，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可．【详解】解：连接AC，交y轴于点D， 当时，则，即，四边形是正方形，，，点，，解得：，故答案为：．14．4【分析】本题主要考查了新定义“值域差”、二次函数的图像与性质等知识，正确解得二次函数在时的最大值与最小值是解题关键．首先解得该二次函数图像的对称轴，然后根据二次函数的图像与性质解得在时的最大值与最小值，即可获得答案．【详解】解：二次函数的对称轴为，当时，∵，即该二次函数图像开口向上，∴当时，，当时，，∴，故答案为：4．15．【分析】本题利用二次函数解析式得出、两点的坐标，连接，再利用勾股定理计算出，取的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，连接，再利用中位线得出，最后根据三角形三边关系，给出，即可解题．【详解】解：连接，取的中点，连接，， ，，当时，有，解得，，，，，点是的中点，为三角形的中位线，即有，，当、、三点共线等号成立，即，故的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形三边关系和三角形中位线，解题的关键在于作辅助线构造三角形中线和中位线，即可解题．16．【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知一次函数与二次函数的两个交点横坐标即为对应的一元二次方程的解是解题的关键．【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，方程组的解为，即关于的方程的解为．故答案为：．17．(1)3，11(2)①或；②【分析】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象及性质：（1）利用分类讨论，根据定义计算即可求解；（2）①设，分类讨论：当时，，当时，，进而可求解；②把代入得，把代入得，当时，代入得，解方程，即可求解，理解变化规律，结合定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：，点的1一分点坐标为，点在反比例函数图象上，，即：，分类讨论：①当，即时，点的2一分点的坐标为，在的图象上，，即：，②当，即时，点的2一分点的坐标为，在的图象上，，即：（舍去），故答案为：3，11．（2）①设，点为点的一分点，当时，，其中：，点所在函数的解析式为，当时，，其中：，点所在函数的解析式为，故点的解析式为或．②把代入得，解得：，（舍去），把代入得，解得：，（舍去），当时，代入得，解得：或（舍去），当时，点所在函数的函数值为，综上所述，当时，点M所在函数的函数值，其中m的取值范围为．18．(1)(2)存在使得的周长最小(3)存在使得面积最大，最大为【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列得方程组即可求得、的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）存在，设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标．【详解】（1）解：将，代入中得，．抛物线解析式为：；（2）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，连接，由对称性可知，∴的周长，∵A、C为定点，∴为定值，∴当最小时，的周长最小，∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小，在中，当时，的坐标为，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为：，在中，当时，，∴存在使得的周长最小；（3）解：设，过点P作轴于E，，∴当有最大值时，有最大值，，，∵，当时，最大值，最大，当时，，点坐标为，∴存在使得面积最大，最大为．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合．
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