高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册6.4 计数原理在古典概率中的应用精品同步练习题

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一、单选题
1．（2022春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．54B．36C．24D．18
【答案】B
【分析】分类讨论分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况，
【详解】将4名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：，
学校有两名新老师：；
学校有两名新老师：；
学校有两名新老师：
所以共有种情况，
故选：B.
2．（2022·上海·高三专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
二、填空题
3．（2022秋·上海嘉定·高二校考期中）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有______种不同的取法．
【答案】21
【分析】根据题意，可知，取出的2个数没有顺序，可以看成组合问题.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，不同的取法有.
故答案为：21.
4．（2023·上海·高三专题练习）从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况.
【答案】180
【分析】先从人中选出4人，再考虑限制条件，进行计算即可.
【详解】按照先选再排的方法可知共有种方法.
故答案为：180
【点睛】本题考查组合问题的计算，属基础题.
5．（2022·上海金山·统考一模）从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.
【答案】
【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果.
【详解】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为.
故答案为：.
6．（2022·上海浦东新·统考一模）某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.
【答案】
【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率公式求概率.
【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中恰有1名女医生的组合有种，所以事件恰有1名女医生的概率.
故答案为：
7．（2022·上海宝山·统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）
【答案】96
【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.
【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种.
故答案为：96
8．（2022·上海虹口·统考一模）第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）
【答案】##
【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】“甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动”共有种可能，
“甲同学参加连续两天活动”共有种可能，
故甲同学参加连续两天活动的概率.
故答案为：.
9．（2022春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是___________.
【答案】##0.15
【分析】根据分步乘法原理，计算所有三位数的个数，利用列举法，求得符合题意个数，根据古典概型计算公式，可得答案.
【详解】由0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位各自有5种情况，则所组成的所有三位数个数为，
其中“”型三位数的有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，
则概率为.
故答案为：.
10．（2022春·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是______.
【答案】##
【分析】分别求解总的情况数与满足一双鞋子的情况数，进而可得概率.
【详解】在3双鞋子中任意抽取两只，共种情况，其中满足一双鞋子的情况有3种，故在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是.
故答案为：
11．（2022秋·上海嘉定·高二校考期中）正整数2022有______个不同的正约数．
【答案】
【分析】将写成几个质数的乘积，再利用组合数计算即可.
【详解】因为，
故所有的正约数有：个.
故答案为：.
12．（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期中）在10件产品中有8件一等品，2件二等品，从中随机抽取2件产品，求取到的产品中至多有一件二等品的概率为______.
【答案】
【分析】先求从10件产品中随机抽取2件产品事件数，再求至多有1件二等品的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
【详解】从10件产品中随机抽取2件产品有种方法；
其中至多有1件二等品有种方法；
因此事件取到的产品中至多有一件二等品的概率的概率，
故答案为：.
13．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）通过手机验证码登录哈罗单车，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为__．
【答案】##0.0035
【分析】由题意可得验证码共有10000种，首位为2的递增型验证码只要确定后三位，共有种，即可得到答案
【详解】解：∵，∴从3,4,5,6,7,8,9中选，
只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排有种，
又验证码共有10×10×10×10＝10000种，
所以首位为2的递增型验证码的概率为，
故答案为：
14．（2022秋·上海黄浦·高三上海市向明中学校考开学考试）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．
【答案】550
【分析】分选派的主任医师只有一名男主任，只有一名女主任，男，女主任医师均选派，三种情况，结合组合知识进行求解，再相加即可.
【详解】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种，
若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种，
若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种，
综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.
故答案为：550
15．（2022·上海·模拟预测）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；
【答案】
【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．
【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
16．（2022·上海·高三专题练习）若排列数，则________
【答案】3
【详解】 由，所以，解得.
三、解答题
17．（2022春·上海浦东新·高二校考期末）一种装有12颗巧克力的礼盒里有草莓和香草两个口味，其中草莓味的有4颗，现从中随机取出3颗，若取出不放回.
(1)求全是草莓味的概率；
(2)至少有一颗是草莓味的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据古典型用组合数计算即可；
（2）用对立事件计算.
【详解】（1）从12颗巧克力的礼盒里取出3颗共有种，其中全是草莓味的有种，
故全是草莓味的概率；
（2）取出3颗全不是草莓味的有种，
所以至少有一颗是草莓味的概率.
【能力提升】
一、填空题
1．（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期中）按下图，从上往下读（不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念），构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为______.
【答案】252
【分析】构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法可理解为从10步中任取5步从上往左下角方向读，余下5步从上往右下角读，结合组合数定义求解.
【详解】构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同读法=252种，
故答案为：252.
2．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考试）有2男2女共4名学生被分派去三个公司实习，每个公司至少1人，且公司只收女生，则不同的分派方法数为___________.
【答案】
【分析】利用分类计数原理将该问题分成两类，对公司进行分类讨论，每一类中用分步乘法计数原理及排列组合的综合应用进行解答即可．
【详解】由题意，第一类，公司只有1个女生，有种分派方案，
则公司分派人数可以为1，2或者2，1共2种分派方案，共种，所以一共有种分派方案，
第二类，公司有2个女生，只有1种分派方案，
则公司的分派人数只能是1，1，则有种，
根据分类计数原理共有种，
故答案为：14．
3．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）某小组5男2女共7人拍照，其中两名女生恰好相邻的概率为_____________.
【答案】
【分析】应用排列组合数求出两位女生相邻和7人任意排列的方法数，再利用古典概型的概率求法求概率.
【详解】将5位男生排成一排有6个空，将两位女生排好插入其中一个空中，有种；
将7人任意排，有种；
所以两名女生恰好相邻的概率为.
故答案为：
4．（2021·上海·统考模拟预测）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且.若，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.
【答案】
【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足所有可能情况，代入公式得到结果．
【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，则的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有28种，所以.
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题．
二、解答题
5．（2022春·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）（1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？
（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则240135是第几项．
【答案】（1）600；（2）193.
【分析】（1）根据题意，先排首位，再排其它位置，进而结合分步计数乘法原理得到答案；
（2）根据所给数字，考虑首位数字是1和2两种情况，当首位数字为1时都比240 135小，当首位数字为2时考虑比240 135小的数字，进而根据排列数公式和分类加法计数原理得到答案.
【详解】（1）由于是五位数，首位数字不能为0，
首位数字有种排法；
其它位置有种排法；
所以，用0，1，2，3，4，5可以组成个无重复数字的五位数.
（2）由于是六位数，首位数字不能为0，
首位数字为1有个数，
首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有个数，
∴从小到大排列，240 135是第＋＋1＝193个，
即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，240 135是数列的第193项
6．（2022春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？
（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【答案】（1）若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数
（2）156个
【分析】（1）分数字重复和不重复讨论，根据排列组合计算即可.
（2）偶数先确定个位数字为0或2或4，再分三类讨论，最后根据加法计数原理可得结果.
【详解】解：（1）①若组成的四位数的数字不能重复，则可组成的四位数有：（个）
②若组成的四位数的数字能重复，则可组成的四位数有：（个）
综上所述，结论是：若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数.
（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是0或2或4，
①个位是0的，即需要从1，2，3，4，5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，
有个；
②个位是2的，千位需要从1，3，4，5这4个数中选出1个有4种选法，从剩下的4个数字中选出2个分别放在百位、十位，有个，所以个位是2的偶数有 个；
③个位是4的，也有48个；
综上所述，用0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数有个.
7．（2021秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）某品牌设计了编号依次为1､2､3､…､的n种不同款式的时装，由甲､乙两位模特分别从中随机选择i､j（，且i，）种款式用来拍摄广告.
(1)若，求甲在1到5号且乙在6到10号选择时装的概率；
(2)若，且甲在1到m（m为给定的正整数，且）号中选择，乙在号到n号中选择.记为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求﹔
(3)求至少有一种款式为甲和乙共同选择的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)先求出甲在1到5号且乙在6到10号任选两款的所有等可能基本事件数，利用古典概型概率计算公式求解即可；
(2)求出甲从1到m(m为给定的正整数，且)号中任选两款，且乙从(m+1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件数，款式s和t()同时被选中包含的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式求解即可；
(3)求出甲、乙从n种不同款式的服装中任选服装的所有可能事件数，确定“没有一个款式为甲和乙共同认可”包含的基本事件数，利用对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）当时，
甲从1到5号中任选两款，且乙从6到10号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为：
，所有P(甲在1到5号且乙在6到10号选择服装)=；
（2）甲从1到m(m为给定的正整数，且)号中任选两款，且乙从(m+1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为：，
记“款式s和t()同时被选中”为事件B，则事件B包含的基本事件的种数为：，
所有；
（3）甲从n种不同款式的服装中任选服装的所有可能种数为：
，
同理，乙从n种不同款式的服装中任选服装的所有可能种数为：，
根据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：，
记“至少有一款为甲和乙共同认可”为事件A，
则事件A的对立事件为“没有一个款式为甲和乙共同认可”，
而事件包含的基本事件种数为：
，
所以，故.