高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册6.2 排列优秀当堂检测题

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一、单选题
1．（2022春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排.某人欲选由A､B､C､D､E中的两个不同字母，和0､1､2､3､4､5､6､7､8､9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有（ ）种.
A．7200B．14400C．21600D．43200
【答案】D
【分析】先计算挑选出两个不同字母和3个不同数字的情况数，再求解三个数字都相邻的情况即可
【详解】由题意，选取A､B､C､D､E中的两个不同字母，和0､1､2､3､4､5､6､7､8､9中的3个不同数字共有种情况，当两个字母和3个数字确定后，再组成的三个数字都相邻的一个号牌总共有种情况，根据分步计数的乘法原理可得，选择号牌的方法种数最多有种
故选：D
二、填空题
2．（2022春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）___________.
【答案】120
【分析】根据排列数的计算求解即可
【详解】
故答案为：120
3．（2022秋·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）从甲、乙、丙、丁4位同学中，选出2位同学分别担任正、副班长的选法数可以用表示为____________.
【答案】
【分析】由题意知：从4为同学中选出2位进行排列，即可写出表示方式.
【详解】1、从4位同学选出2位同学，
2、把所选出的2位同学任意安排为正、副班长，
∴选法数为.
故答案为：.
4．（2023·上海·高三专题练习）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式___________.（结果用数值表示）
【答案】48
【分析】由分步计算原理求解即可
【详解】由题意，可分步进行，
第一步，安排公益广告，不同的安排方式有种，
第二步，安排商业广告，不同的安排方式有种，
故总的不同安排方式有种，
故答案为：48
5．（2023·上海·高三专题练习）从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有_____种.
【答案】48
【分析】应用排列数求出所有可能方案数、选出3名且甲从事翻译工作方案数，由间接法求结果.
【详解】从5名志愿者中选出3名任意安排有种，
若选出3名且甲从事翻译工作，则种，
所以5名志愿者中选出3名且甲不能从事翻译工作的选派方案有种.
故答案为：48
6．（2023·上海·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________．
【答案】48
【分析】先确定五位数中的个位需为偶数的情况，再将其他数字进行全排列即可.
【详解】从2，4这两个字数字中选一个排在个位数，有 种，然后将剩余4个数字在其他位置全排列，有 种，
所以偶数的个数为个，
故答案为：48 .
7．（2022春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可以选择，则不同的染色方案有_________种．
【答案】72
【分析】分别求解选用4种颜色和3种颜色，不同的染色方案，综合即可得答案.
【详解】由题知，
若选择4种颜色，前后侧面或左右侧面用1种颜色，其他3个面，用3种颜色，
所以有种；
若选择3种颜色，则前后侧面用1种颜色，左右侧面用1种颜色，底面不同色，
所以有种，
综上，不同的染色方案有种.
故答案为：72.
8．（2022春·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．
【答案】
【分析】根据已知条件求出6个节目全排的种数，再求出甲、乙、丙3个节目全排的种数，二者相除即可求解.
【详解】演出中的6个节目全排列有,
甲、乙、丙3个节目全排列有,
所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有，
故答案为：.
9．（2022秋·上海虹口·高二校考期中）从正方体的六个面中任意选取3个面，其中有2个面不相邻的概率为________．
【答案】##0.6
【分析】分两步：第1步，先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对的面)；第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法；再由分步乘法原理可得总的选法种数，再进一步除以，即可计算出所求概率.
【详解】分两步：第1步，先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对的面)；
第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法；
这样前后选出的两个面符合题目要求．
所以共有选法种数为，
故所求概率为：，
故答案为：.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·上海·高三专题练习）2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A．3864种B．3216种C．3144种D．2952种
【答案】B
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分3种情况讨论：
①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况；
②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况；
③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；
综上，则共有种不同的站法．
故选：B.
二、填空题
2．（2023·上海·高三专题练习）已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的情况有___________种（用数字作答）
【答案】2880
【分析】根据题意得共有鸡只，兔子只，再根据相邻问题捆绑与不相邻问题插空法计数即得.
【详解】设鸡的个数为,兔子的个数为，则，
解得：，
故共有鸡只，兔子只，
故只鸡， 只兔子走出房门，恰有2只兔子相邻走出房子共有：
种.
故答案为：2880.
3．（2022春·上海崇明·高二统考期末）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种．
【答案】120
【分析】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中.
【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有种方法；
另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有种，
因此共有种.
故答案为：120
4．（2022秋·上海嘉定·高二校考期中）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是_______．
【答案】18
【分析】任取2个数作为，共有种，去掉重复的直线条数即可得解.
【详解】∵从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有种结果，
在这些直线中有重复的直线，
当A=1，B=2时和当A=2，B=4时，结果相同，
把A，B交换位置又有一组相同的结果，
∴所得不同直线的条数是，
故答案为：18
5．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）由0、1、2、3、4、5这六个数字组成没有重复数字的六位数，且偶数数字从小到大排列(由高数位到低数位)，这样的六位数有_____________个.
【答案】60
【分析】应用分步分类，先排好奇数，在把偶数从小到大分成不同组插入奇数队列计数，应用排列数求六位数的个数.
【详解】1、把1、3、5作全排列有种，队列共有4个空；
2、将偶数0、2、4分组，注意0不能放在首位：
分成三组插入三个空，有1种；
分成两组插入两个空，有3种；
分成两组插入两个空，有3种；
分成一组插入一个空，有3种；
综上，六位数有种.
故答案为：60
6．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）某班组织文艺晚会，准备从等8个节目中选出4个节目演出，要求：两个节目至少有一个选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为_________．
【答案】
【分析】由题可分两类：一类只有一个选中，一类同时选中，然后利用分类计数原理即得.
【详解】由题可知分两类：第一类，只有一个选中，则不同演出顺序有种；
第二类，同时选中利用插空法，则不同演出顺序有种，
所以不同演出顺序的种数为.
故答案为：．
三、解答题
7．（2022春·上海崇明·高二统考期末）（1）7个人站成一排．若甲和乙不能相邻排列，有多少种不同的排法?
（2）要将8本各不相同的教科书排成一排放在书架上，其中数学书3本、外语书2本、物理书3本．如果3本数学书要排在一起，2本外语书也要排在一起，那么有多少种不同的排法?
【答案】（1）3600；（2）1440.
【分析】(1)利用插空法解决即可；(2)利用捆绑法解决即可.
【详解】（1）先将除甲，乙外的5人排成一排，共有种排法，再从5人的排列所产生的6个空隙中选择两个空隙排甲与乙，有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法；
（2）将3本数学书与2本外语书分别视为一个整体，与3本物理书排成一排有种排法，再排三本数学书有种排法，最后排2本外语书，有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法.
8．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）由，，，，，，，，，按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中．
(1)若，求的值；
(2)求证：；
(3)求的最大值．
【答案】(1)57
(2)证明见解析
(3)131
【分析】（1）把数据逐个代入，求解可得答案；
（2）利用绝对值和的性质进行求解；
（3）先求这10个数的2倍和3倍数，相对较大的10个数与较小10个数差为最大值.
【详解】（1）因为，所以.
（2）证明：因为
.
（3），，，，，，，，，的2倍与3倍共20个数如下：
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.
其中较大的10个数之和为203，较小的10个数之和为72，所以，
当时，
，
所以的最大值为.