高考数学压轴题讲义专题2.2导数定调情况多，参数分类与整合专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学压轴题讲义专题2.2导数定调情况多，参数分类与整合专题练习(原卷版+解析)，共22页。

用导数研究函数的单调性
（1）用导数证明函数的单调性
证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0
（2）用导数求函数的单调区间
求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．
一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数
一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数
（3）单调性的应用（已知函数单调性）
一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥
1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2、求函数的单调区间的“两个”方法
方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
【典例指引】
例1．已知函数，为函数的导函数．
(1)设函数的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；
(2)若函数，求函数的单调区间．
例2．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
[来源:学_科_网]
例3．已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）．
（1）令，求的单调区间；
例4．已知函数其中实数为常数且．
（I）求函数的单调区间；
例5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
【新题展示】
1．【2019广东广州天河区综合测试（一)】设函数．
求函数的单调区间和极值．
若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围．
2．【2019河北五个一名校联盟一诊】已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.
3．【2019安徽六校教育研究会联考】已知函数．
（Ⅰ）若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的范围；
（Ⅱ）设函数，若至多有一个极值点，求a的取值集合．
4．【2019山西太原期末】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【同步训练】
1．已知
（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；
2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
3．设函数
（1）讨论的单调性；
4．已知函数 ，其中 (为自然对数的底数).
（Ⅰ）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
5．已知函数， ．
（1）求函数的单调区间；
6．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
7．设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求函数的最值．
8．已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
9．已知常数，函数.
(1)讨论在区间上的单调性；
10．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
【题型综述】
用导数研究函数的单调性
（1）用导数证明函数的单调性
证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0
（2）用导数求函数的单调区间
求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．
一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数
一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数
（3）单调性的应用（已知函数单调性）
一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥
1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2、求函数的单调区间的“两个”方法
方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
【典例指引】
例1．已知函数，为函数的导函数．
(1)设函数的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；
(2)若函数，求函数的单调区间．

(Ⅱ)．

①当时，， 学科*网
的单调递增区间为，单调递减区间为

(ⅱ)当，即时，，
故在单调递减；
(ⅲ)当，即时，
在上单调递增，在，上单调递减
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
当，的单调递减区间为学科*网
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为、
例2．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
【思路引导】
（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；
试题解析：（1）函数的定义域为．
由题意得，
当时， ，则在区间内单调递增；
当时，由，得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为．学科*网
例3．已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）．
（1）令，求的单调区间；
【思路引导】
（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增．
所以的减区间为 ，增区间为
综上可得，当时， 在上单调递增
当时， 的增区间为，减区间为．学科*网
例4．已知函数其中实数为常数且．
（I）求函数的单调区间；
【思路引导】
（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；
例5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
【思路引导】
（1）求出，分类讨论，分别由可得增区间，由可得减区间
【新题展示】
1．【2019广东广州天河区综合测试（一)】设函数．
求函数的单调区间和极值．
若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围．
【思路引导】
求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间和极值即可；
通过讨论a的范围，若满足在区间内恰有两个零点，需满足，解出即可．
【解析】
由，得，
当时，，函数在上单调递增，函数无极大值，也无极小值；
当时，由，得或舍去．
于是，当x变化时，与的变化情况如下表：
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
函数在处取得极小值，无极大值．
综上可知，当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为，
函数有极小值，无极大值．
则需满足，即整理得，所以．
故所求a的取值范围为
2．【2019河北五个一名校联盟一诊】已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.
【思路引导】
（1）
（2）由 成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.
【解析】
（1）此函数的定义域为，
（1）当时， 在上单调递增，
（2）当时， 单调递减， 单调增
综上所述：当时，在上单调递增
当时， 单调递减， 单调递增.
3．【2019安徽六校教育研究会联考】已知函数．
（Ⅰ）若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的范围；
（Ⅱ）设函数，若至多有一个极值点，求a的取值集合．
【思路引导】
(Ⅰ)由题意可得，即，令，利用导数判断的单调性，求出其最小值即可；（Ⅱ）求出的导数，当时，是唯一的极小值点，当时，无极值点，从而可得结果.
【解析】
（Ⅱ），．
当时，由且，故是唯一的极小值点；
令得.
当时，，恒成立，无极值点．
故．
4．【2019山西太原期末】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【思路引导】
（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.
【解析】
（1）定义域， ，
令，，
当时，，， 则在单调递增，
当时，，，，，则在单调递增；
，，，则在单调递减.
综上述：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减
（2）由（1）可知，当时，在单调递增，
又，不可能满足题意，舍去.
当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，
则 ，令，
则，解得，即，故，
综上述：.
【同步训练】
1．已知
（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；
【思路引导】
（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。
③，即时，
即，解之得，所以
综上所述，当 函数在区间 上单调递增．学科*网
2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
【思路引导】
（1）对函数进行求导分解因式可得 ，分为和讨论导数与0的关系，得到单调性；
3．设函数
（1）讨论的单调性；
【思路引导】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对m分类讨论即可得出．
试题解析：（1）函数定义域为，
当时， ，∴在上单调递增；
当时， 得，
∴在上单调递增；在上单调递减.
点评：讨论函数的单调性即讨论导函数的正负，导函数中有参数m，需要对m进行讨论，来判断正负；
4．已知函数 ，其中 (为自然对数的底数).
（Ⅰ）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
【思路引导】
(I)求出，对和分别讨论单调性，求出单调区间;
5．已知函数， ．
（1）求函数的单调区间；
【思路引导】
（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；

6．已知函数，其中为自然对数的底数.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（1）讨论函数在区间上的单调性；
【思路引导】
（1）求出，讨论三种情况， ， ，分别令可得增区间， 可得减区间；
试题解析：（1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时， 时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减
7．设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求函数的最值．
【思路引导】
（1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注意分类讨论．
④若，则恒成立，所以函数在上单调递减.
（2）若，
①当时， ，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，
故时，函数有最大值，无最小值；
②当时， ，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，
故时，函数有最小值，无最大值.
8．已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
【思路引导】
（1）先求导数，转化研究二次函数符号变化规律：当判别式非正时，导函数不变号；当判别式大于零时，定义域上有两个根 ，导函数符号先负再正再负.

9．已知常数，函数.
(1)讨论在区间上的单调性；
【思路引导】
(1)结合函数的解析式可得，分类讨论有：
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
试题解析：（1）
当时，此时，在区间上单调递增
当时，，得
当时，；时，；
故在区间上单调递减，在区间上单调递增
综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增
点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．
10．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
【思路引导】
（1）代入，求导，可求出切线方程。（2）因为.又因为，的两根>0，所以分与与三类讨论单调性。（3）由成立，即，变形.，所以只需。
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+[来源:学*科*网]
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递减
递增