人教版数学八上03-等腰三角形中辅助线的七种常见作法练习（含解析）

这是一份人教版数学八上03-等腰三角形中辅助线的七种常见作法练习（含解析），共7页。
等腰三角形中辅助线的七种常见作法方法一　等腰三角形中有底边中点时,常作底边上的中线1.如图所示,△ABC中,AB=BC,D为BC边上的一点,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC,交AC于点F.(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数;(2)若点F是AC的中点,求证:∠CFD=12∠B.方法二　等腰三角形中没有底边中点时,常作底边上的高2.如图,△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB.方法三　等腰三角形中证与腰有关联的线段之间的关系时,常作腰的平行线3.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)求证:PD=QD;(2)过点P作直线BC的垂线,垂足为E,在P,Q移动的过程中,线段BE,DE,CD是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法四　等腰三角形中证与底边有关联的线段之间的关系时,常作底边的平行线4.如图,D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,连接DE交AC于F,过D点作DG⊥AC于G点.(1)证明:AG=12AD;(2)若DF=EF,求证:CE=AD.方法五　补形法5.如图所示,已知△ABC,过点C作∠BAC的平分线AD的垂线,垂足为D,作DE∥AB交AC于点E,求证:AE=CE.方法六　倍长中线法6.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC上的一点,BE交AD于点F,已知AE=EF.求证:AC=BF.方法七　截长补短法7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BE平分∠ABC交AC于点E.(1)求证:BC=BE+AE;(2)探究:若∠A=108°,那么BC等于哪两条线段的和呢?说明理由.答案全解全析1.解析　(1)∵∠AFD=155°,∴∠DFC=180°-155°=25°,∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠FDC=∠AED=90°,∴∠C=90°-25°=65°,∵AB=BC,∴∠A=∠C=65°,∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°.(2)证明:如图,连接BF,∵AB=BC,且点F是AC的中点,∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=12∠ABC,∴∠CFD+∠BFD=90°,∵∠CBF+∠BFD=90°,∴∠CFD=∠CBF,∴∠CFD=12∠ABC.2.证明　如图,过点E作EF⊥AC于F,∵EA=EC,∴AF=FC=12AC,∵AC=2AB,∴AF=AB,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△BAE和△FAE中,AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,∴△BAE≌△FAE(SAS),∴∠ABE=∠AFE=90°.∴EB⊥AB.3.解析　(1)证明:如图,过P点作PF∥AC交BC于F,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=PF,∴PF=CQ,在△PFD与△QCD中,∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,PF=QC,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.(2)ED是长度不变的线段.理由:由(1)证得△PFD≌△QCD,∴DF=CD,∴FD=12FC,由(1)知BP=PF,∵PE⊥BF,∴EF=12BF,∴ED=FD+EF=12FC+12BF=12BC,∴ED是长度不变的线段.4.证明　(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,∵DG⊥AC,∴∠AGD=90°,∴∠ADG=90°-60°=30°,∴AG=12AD.(2)如图,过点D作DH∥BC交AC于点H,∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠ACB,∠FDH=∠E,在△DHF和△ECF中,∠FDH=∠E,DF=EF,∠DFH=∠EFC,∴△DHF≌△ECF(ASA),∴DH=CE,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=∠A=60°,∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°,∴△ADH是等边三角形,∴DH=AD,∴CE=AD.5.证明　延长CD交AB的延长线于点P,如图所示.由题意知∠1=∠2,∠ADP=∠ADC=90°.在△ADP和△ADC中,∠1=∠2,AD=AD,∠ADP=∠ADC,∴△ADP≌△ADC(ASA),∴∠P=∠ACD.∵DE∥AP,∴∠4=∠P,∠1=∠3,∴∠4=∠ACD,∠2=∠3,∴DE=CE,AE=DE.∴AE=CE.6.证明　如图,延长AD到G,使DG=AD,连接BG.∵AD为BC边上的中线,∴CD=BD,在△ADC和△GDB中,AD=GD,∠ADC=∠GDB,CD=BD,∴△ADC≌△GDB(SAS),∴AC=BG,∠CAD=∠G,∵AE=EF,∴∠EFA=∠EAF,∴∠G=∠EFA,∵∠EFA=∠BFG,∴∠G=∠BFG,∴BG=BF,∵AC=BG,∴AC=BF.7.解析　(1)证明:如图1,延长BE到F,使BF=BC,连接FC,∵AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=20°,∵BF=BC,∴∠F=∠BCF=80°,∴∠FCE=40°=∠ACB,在BC上取点F',使CF'=CF,连接EF',在△FCE与△F'CE中,CF=CF',∠FCE=∠F'CE,CE=CE,∴△FCE≌△F'CE(SAS),∴EF=EF',∠EF'C=∠F=80°,∴∠BF'E=100°,∴∠A=∠BF'E,在△ABE与△F'BE中,∠A=∠BF'E,∠ABE=∠F'BE,BE=BE,∴△ABE≌△F'BE(AAS),∴AE=EF',∴AE=EF,∴BC=BE+EF=BE+AE. 图1　 　图2(2)BC=AB+CE=AC+CE.理由:如图2,在BC上取点A',使BA'=BA,连接EA'.∵∠A=108°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=36°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=18°,在△ABE与△A'BE中,AB=A'B,∠ABE=∠A'BE,BE=BE,∴△ABE≌△A'BE(SAS),∴∠BA'E=∠A=108°,∴∠EA'C=72°,∴∠A'EC=72°,∴∠A'EC=∠CA'E,∴CE=CA',∴BC=BA'+A'C=AB+CE=AC+CE.