初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形优秀导学案

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\l "_Tc16359" 【题型1 利用等边对等角求解】 PAGEREF _Tc16359 \h 1
\l "_Tc19123" 【题型2 利用等边对等角进行证明】 PAGEREF _Tc19123 \h 2
\l "_Tc32277" 【题型3 利用三线合一求解】 PAGEREF _Tc32277 \h 4
\l "_Tc22865" 【题型4 利用三线合一证明】 PAGEREF _Tc22865 \h 5
\l "_Tc21860" 【题型5 格点中画等腰三角形】 PAGEREF _Tc21860 \h 7
\l "_Tc11780" 【题型6 找出图中的等腰三角形】 PAGEREF _Tc11780 \h 8
\l "_Tc6922" 【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 PAGEREF _Tc6922 \h 9
\l "_Tc5879" 【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 PAGEREF _Tc5879 \h 10
\l "_Tc8998" 【题型9 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc8998 \h 11
\l "_Tc25571" 【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc25571 \h 12
知识点：等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 利用等边对等角求解】
【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形ABCD中，AB=AD，将△ABC沿着AC折叠，点B恰好落在CD边上的点B'处．若∠ACB=α，则∠DAB可表示为（ ）
A．3αB．180°-αC．2αD．180°-2a
【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中AB=CD，EA=ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（ ）
A．增大16°B．减小16°C．增大8°D．减小8°
【变式1-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，△ABC与△ABD关于AB对称，∠ACB=90°，在AC上取一点E，使得DE=DC．若∠BDE=72°，则∠CBD的度数是（）
A．132°B．135°C．150°D．162°
【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于12 CD长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．若直线FG经过点E，则∠C的度数为 ．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α，点B，D，E在同一条直线上．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：2∠1+∠3=180°；
(3)当AD∥EC时，求α的度数．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF=∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．
(1)求证：∠BED=∠FDC；
(2)若DE=DF，求证：BE=CD．
【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知∠BAD=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)已知 ∠E=∠ACD，求证：CD=2BF+DE．
【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°．
①证明：△ABD≌△ACE；
②证明：AC平分∠BCE．
(2)如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α,∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【题型3 利用三线合一求解】
【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．
(1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，点D为边AB的中点，连接CD，∠BAC的平分线交CD于点E，已知∠AEC=115°．求∠DAC和∠ACB的度数．

【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．

(1)试说明：BO=AO；
(2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度数．
【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．
(1)当MD⊥BC时，
①若ME=1，则点M到AB的距离为________；
②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周长；
(2)若BC=8，且△ABC的面积为40，求△CDM周长的最小值．
【题型4 利用三线合一证明】
【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是中线，且DG⊥CE于G，2CD=AB．
(1)求证：G是CE的中点；
(2)求证∠B=2∠BCE．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC=72°，则∠CAD的度数为 ___________．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，C为线段 AB 上一点， AD∥EB，AC=BE，AD=BC， CF 平分 ∠DCE．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)问： CF与 DE的位置关系并证明．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB于点H，将△ABC沿CE折叠，使点A落在直线CH上的点A'处，BM是∠ABC的平分线，交AC于点M，交CH于点N，连接EN．

(1)AE=CN吗？为什么？
(2)试说明BM垂直平分CE．
【题型5 格点中画等腰三角形】
【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰△APQ（A为格点）；
(2)在图2中，画一个以PQ为底的等腰△BPQ（B为格点）．
【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个等腰△ABC，且使得点C为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰△ABC．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【题型6 找出图中的等腰三角形】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠A=36°,∠B=72°，AC的垂直平分线交AC,AB于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有 个等腰三角形．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．

(1)求证：△ADB≌△EBC；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，ΔABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连结CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，∠B=42°，边AB的垂直平分线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD．求证：△ACD是等腰三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．求证：△CDM是等腰三角形．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，∠MON=90°，点A,C分别在OM，ON上，以AO，AC为边在∠MON内作等边三角形AOB，ACD，连接DB并延长交ON于点E，求证：OE=BE．
【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．

(1)求证：△BEC是等腰三角形；
(2)用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC=35，EF=5，DE=13，则△EBD的面积为（ ）

A．50B．55C．60D．65
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，∠B=∠ACB，∠1=∠2，AE⊥CD交CD于F，交BC于点E，求证：AB=CE．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若，EB=7，DC=9，ED=11，则FG= ．
【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．
求证：
(1)DG=BG；
(2)BE=GD+GF．
【题型9 尺规作等腰三角形】
【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为12c，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形的底边，点A在∠MCN内部，且点A到角∠MCN的两边距离相等．（尺规作图）
【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有30°角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含45°角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰△ABC，使底边BC=m，腰AB=AC=n；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D在CA上，且DC=2，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使△APD为等腰三角形的点P有 个．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°.在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.
【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个