专题13.1 轴对称【十大题型】同步讲义（举一反三）（人教版）

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专题13.1 轴对称【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc19899" 【题型1 识别轴对称图形】  PAGEREF _Toc19899 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24541" 【题型2 确定对称轴的条数】  PAGEREF _Toc24541 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc30187" 【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】  PAGEREF _Toc30187 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29201" 【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】  PAGEREF _Toc29201 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc6045" 【题型5 折叠问题】  PAGEREF _Toc6045 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc6703" 【题型6 镜面对称】  PAGEREF _Toc6703 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc13642" 【题型7 画轴对称图形】  PAGEREF _Toc13642 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc17970" 【题型8 台球桌上的轴对称】  PAGEREF _Toc17970 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc19651" 【题型9 添加图形使成为轴对称图形】  PAGEREF _Toc19651 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc11617" 【题型10 设计轴对称图案】  PAGEREF _Toc11617 \h 11知识点1：轴对称（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．【题型1 识别轴对称图形】【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）．A．   B．   C．   D．  【变式1-1】（23-24八年级·广东广州·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）A．平行四边形 B．直角梯形 C．正五边形 D．直角三角形【变式1-2】（23-24八年级·吉林四平·期末）下列三角形中，不是轴对称图形的是(    )A．有两个角相等的三角形B．有两个角分别是120°和30°的三角形C．有一个角是45°的直角三角形D．有一个角是60°的直角三角形【变式1-3】（23-24八年级·重庆南岸·期末）图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A,B,C均在格点上．请在给定的网格中，找一格点D，使以点A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 个．  知识点2：轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【题型2 确定对称轴的条数】【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ．【变式2-1】（23-24八年级·山东烟台·期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（    ）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24八年级·黑龙江大庆·期中）要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（    ）种画法A．  B．  C．   D．  【变式2-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．6【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，正六边形ABCDEF关于直线l成轴对称的图形是正六边形A'B'C'D'E'F'，有下列说法：①AB=A'B'；②BC∥B'C'；③直线l⊥BB'；④∠A'B'C'=120°．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．  【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）下列说法正确的是( )A．任何一个图形都有对称轴B．两个全等三角形一定关于某直线对称C．若ΔABC与ΔDEF成轴对称，则△ABC≌ΔDEFD．点A，点B在直线L两旁，且AB与直线L交于点O,若AO=BO,则点A与点B关于直线L对称【变式3-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点（A，P，A'不共线），下列结论中不正确的是(        )A．AP=A'P B．MN垂直平分线段AA'C．△ABC与△A'B'C'面积相等 D．直线AB，A'B'的交点不一定在直线MN上【变式3-3】（23-24八年级·全国·课后作业）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】【例4】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·开学考试）如图所示的2×2方格中，连接AB，AC，AD，则∠A+∠B+∠C的和（     ）．  A．必是直角 B．必是锐角 C．必是钝角 D．是锐角或钝角【变式4-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，O为△ABC内部一点，OB=72，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点．(1)请指出当∠ABC是什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时等于7的理由．(2)承（1）小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2．若OP=3.5，则点P1，P2之间的距离可能是（    ）  A．0 B．5 C．7 D．9【题型5 折叠问题】【例5】（23-24八年级·北京·期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（    ）A．B． C．D．【变式5-1】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，点E为长方形纸片ABCD的边BC上一点，将长方形纸片分别沿AE，EF折叠，使点B，C分别与点G，H重合，点E，G，H恰好在同一条直线上．若∠AEH=3∠HEF，则∠AEH-∠HEF的度数为（   ）A．22.5° B．30° C．45° D．60°【变式5-2】（23-24八年级·云南昆明·开学考试）一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米.【变式5-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）将如图（1）所示的长方形纸片ABCD按如下步骤操作：（1）如图（2），以过点A的直线为对称轴折叠纸片，使点B恰好落在边AD上的点B'处，折痕与BC交于点E；（2）如图（3），以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点A恰好落在边EC上的点A'处，折痕交边AD于点F；（3）将纸片展平．那么∠AFE的度数为 ．  【题型6 镜面对称】【例6】（23-24八年级·贵州遵义·期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（    ）A． B．C． D．【变式6-1】（23-24八年级·河南许昌·期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词 APPLE在镜子中呈现的样子（    ）A． B． C． D．【变式6-2】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（    ）A．B．C．D．【变式6-3】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ．【题型7 画轴对称图形】【例7】（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，△ABC的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把△ABC称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与△ABC成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴．【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABE的顶点都在小正方形的顶点上，(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于AE所在直线对称，点F与点B是对称点；(2)求四边形ABEF的面积．【变式7-2】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A'B'C'；(2)△A'B'C'的面积是 (3)在直线DE上找出点P，使PA-PC最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）【变式7-3】（23-24八年级·全国·假期作业）如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1-图4不重复）．【题型8 台球桌上的轴对称】【例8】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．【变式8-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( )A．点A B．点B C．点C D．点D【变式8-2】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，长方形ABCD是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边AB反弹后击中黑球N？【变式8-3】（23-24八年级·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）A．点P B．点Q C．点M D．点N【题型9 添加图形使成为轴对称图形】【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（　　）种．A．6 B．5 C．4 D．3【变式9-1】（23-24八年级·河南安阳·期末）（1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴；【变式9-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）乐乐觉得轴对称图形很有意思，如图是4个完全相同的小正方形组成的L形图，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使添画后的图形成为轴对称图形．【变式9-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．【题型10 设计轴对称图案】【例10】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形.并画出它的一条对称轴(如图例.画对一个得1分)  【变式10-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的两幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．【变式10-2】（23-24八年级·甘肃平凉·期末）如图所示，(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：(2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合）【变式10-3】（2024·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．  （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．