初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称图文课件ppt

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一、轴对称相关定义和性质
(1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作____________，这条直线就是它的_________.
(2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴.
(3)轴对称图形的________，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
(1)关于某直线对称的两个图形是全等图形;
(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的__________；
三、平面直角坐标系中轴对称
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为 .
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为 .
四、等腰三角形的性质及判定
二、垂直平分线的性质和判定
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
判定：与线段两个______距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
(4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;
(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）.
(3)两个_______相等，简称“等边对等角”;
(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;
五、等边三角形的性质及判定
⑴等边三角形的三边都相等;
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于________;
⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形.
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.
⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.
1.过已知直线外的一点作该直线的垂线
2.作线段的垂直平分线
3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址马问题
例1 下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（　　）
例2 按要求完成作图：(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：
解析：(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连线即可.(2)找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，A'C与x轴的交点即是点P的位置.
坐标轴中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征，找出对称点，而后连线即可.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) ，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
例3 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
解析：要证明点E在线段AC的垂直平分线上，即要证明AE=EC.根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE.而后根据AB+BD=DC，进行等量变换，可到AE=EC.
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．
线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化.
例4 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC=2∠DBC.
解析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠ 2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化.
例5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.
解：设该等腰三角形中，小角的度数为x,则大角的度数为2x.
当x为底角时， x +x+ 2x=180° 解得 x=45°，则2x=90°.
当x为顶角时， x +2x+ 2x=180° 解得x =36°.
故该等腰三角形顶角的度数为90°或36°.
在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：(1)在求角度时，未指明底角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
5.如图， △ABC中，∠A=36 °，AB=AC, BD平分∠ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形共有 个.
6.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1,EB1分别交边AC于M、H点，若∠ADM=50 °,则∠EHC的度数为 .
7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AC=AB+BD.求证∠B=2∠C.
证明：在AC上截取AE=AB，连结DE.
∵AD是角平分线，∴∠EAD=∠BAD.
又∵AD=AD，∴△EAD≌△BAD，∴DE=DB，∠AED=∠B.
∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC，∴CE=ED.
∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C，即∠B=2∠C.
想一想：还有别的证明方法吗？
提示：延长AB至F，使BF=BD，连结DF
8.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
证明：连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF，∴∠FAC=∠C=30°，∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF=2AF，∴BF=2CF．