人教版 (2019)2 万有引力定律精品达标测试

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一、单选题
1．2022年2月4日北京冬奥会开幕式以二十四节气为倒计时，最后定格于立春节气，惊艳全球，二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置，如图所示，从天体物理学可知地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气，以下说法正确的是（ ）
A．地球绕太阳运行方向（正对纸面）是顺时针方向
B．地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
C．地球从夏至至秋分的时间小于地球公转周期的四分之一
D．冬至时地球公转速度最大
【答案】D
【详解】A．二十四节气中，夏至在春分后，秋分在夏至后，地球绕太阳运行方向（正对纸面）是逆时针方向。A错误；
B．由开普勒第一定律知地球绕太阳运动的轨道是椭圆，由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，地球绕太阳是非匀速率椭圆轨道运动。B错误；
C．由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，可知地球在近地点比远地点转动的快，地球从夏至至秋分的时间大于地球公转周期的四分之一。C错误；
D．由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等, 近地点公转速度最快，即冬至时地球公转速度最大。D正确。
故选D。
2．随着科技的发展，载人飞船绕太阳运行终会实现。如图所示， Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，Ⅱ轨道假设是载人飞船的椭圆轨道，其中点A、C分别是近日点和远日点，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则（ ）
A．载人飞船的运动周期小于1年
B．载人飞船由A到C的过程中速率不变
C．载人飞船在C的速率小于火星绕日的速率
D．只要绕行时间相同，载人飞船在Ⅱ轨道扫过的面积就等于火星在Ⅲ轨道扫过的面积
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第三定律
由于Ⅱ轨道的半长轴大于Ⅰ轨道的半径，则载人飞船的运动周期大于地球的公转周期，即载人飞船的运动周期大于1年，故A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，近日点的速度大于远日点的速度，则载人飞船由A到C的过程中速率变小，故B错误；
C．假设飞船在C处变轨到绕太阳做匀速圆周运动的轨道上，则飞船在C处需要点火加速；根据万有引力提供向心力可得
可得
可知火星绕日的速率大于C处绕太阳做匀速圆周运动的速率，则载人飞船在C的速率小于火星绕日的速率，故C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，同一轨道上的行星在相同时间内，行星与太阳连线扫过的面积相等，但不同轨道的行星，在相同时间内扫过的面积不一定相等，故D错误。
故选C。
3．2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。如图所示，神舟十七号载人飞船运行在半径为的圆轨道Ⅰ上，“天宫”空间站组合体运行在半径为的圆轨道Ⅲ上。神舟十七号载人飞船通过变轨操作，变轨到椭圆轨道Ⅱ上运行数圈后从近地点A沿轨道运动到远地点B，并在B点与空间站组合体对接成功。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则（ ）
A．神舟十七号载人飞船在圆轨道Ⅰ上A点的加速度小于其在椭圆轨道Ⅱ上A点的加速度
B．“天宫”空间站组合体在轨道Ⅲ上运动的周期为
C．神舟十七号载人飞船在椭圆轨道Ⅱ上由A点运动至B点所需的时间为
D．神舟十七号载人飞船在椭圆轨道Ⅱ的近地点和远地点的线速度大小之比为
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律
可得
可知神舟十七号载人飞船在圆轨道Ⅰ上A点的加速度与其在椭圆轨道Ⅱ上A点的加速度大小相等，故A错误；
B．“天宫”空间站组合体在轨道Ⅲ上运动，由万有引力提供向心力，有
在地球表面，有
解得
故B错误；
C．飞船从A点沿椭圆轨道Ⅱ运动，其轨道半长轴
根据开普勒第三定律可得
解得
飞船由轨道Ⅱ的A点运动至B点所需的时间
故C正确；
D．椭圆轨道的远地点到地球中心的距离为r3，近地点到地球中心的距离为r1，对于飞船在远地点和近地点附近很小一段时间Δt内的运动，根据开普勒第二定律有
解得
故D错误。
故选C。
4．华为mate60实现了手机卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，就可以实现通话。如图所示三颗赤道上空的通信卫星就能实现环赤道全球通信，已知三颗卫星离地高度均为h，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．三颗通信卫星受到地球的万有引力的大小一定相等
B．其中一颗质量为m的通信卫星的动能为
C．能实现赤道全球通信时，卫星离地高度至少为
D．同一卫星在高轨道的动能大于在低轨道的动能
【答案】B
【详解】A．根据万有引力的公式
可知，由于不知道三颗卫星的质量大小，因此不能确定三颗卫星所受地球万有引力大小的关系，故A错误；
BD．根据万有引力充当向心力有
可得卫星的线速度
则该卫星的动能
而对于环绕地球表面做圆周运动的物体有
可得
则可得该物体的动能
而显然对于同一颗卫星，轨道半径越大，其动能越小，因此同一卫星在高轨道的动能小于在低轨道的动能，故B正确，D错误；
C．若恰能实现赤道全球通信时，此时这三颗卫星两两之间与地心连线的夹角为，每颗卫星与地心的连线和卫星与地表的切线以及地球与切点的连线恰好构成直角三角形，根据几何关系可知，此种情况下卫星到地心的距离为
则卫星离地高度至少为
故C错误。
故选B。
5．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
0
【答案】C
【详解】若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律
故选C。
6．我国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国行星探测之旅。“天问一号”离开地球时，所受地球的万有引力F1与它距离地面高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”奔向火星时，所受火星的万有引力F2与它距离火星表面高度h2的关系图像如图乙所示，已知地球半径是火星半径的两倍，下列说法正确的是（ ）
A．地球与火星的表面重力加速度之比为3:2B．地球与火星的质量之比为3:2
C．地球与火星的密度之比为9:8D．地球与火星的第一宇宙速度之比为
【答案】C
【详解】AB．根据题意有
所以
，
故AB错误；
C．地球与火星的密度之比为
故C正确；
D．地球与火星的第一宇宙速度之比为
故D错误。
故选C。
二、多选题
7．2021年6月27日，我国航天局发布天问一号火星探测任务着陆和巡视探测系列实拍影像。设火星两极处的重力加速度为，赤道处的重力加速度为，火星半径为R。下列说法正确的是（ ）
A．火星的自转角速度大小为
B．在火星赤道上的物体的线速度大小为
C．若仅火星的自转周期减小，则赤道上的物体受到的重力将减小
D．若仅火星的自转角速度减小，则两极处的重力加速度将增大
【答案】ABC
【详解】A．设地球自转角速度为，根据题意可得在两极处
在赤道万有引力提供重力和向心力
可得
解得
故A正确；
B．根据可得在火星赤道上的物体的线速度大小
故B正确；
C．若仅火星的自转周期减小，则角速度变大，则万有引力提供做向心力的分力增大，则赤道上的物体受到的重力将减小，故C正确；
D．若仅火星的自转角速度减小，两极处的转动半径为零，所需向心力为零，则两极处的重力加速度不变，故D错误。
故选ABC。
8．某颗人造航天器在地球赤道上方做匀速圆周运动的绕行方向与地球自转方向相同（人造航天器周期小于地球的自转周期），经过时间t（t小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为s，航天器与地球的中心连线扫过的角度为，引力常量为G，地球的同步卫星的周期为T，下列说法正确的是（ ）
A．地球的半径为
B．地球的质量为
C．地球的第一宇宙速度为
D．航天器相邻两次距离南海最近的时间间隔为
【答案】BD
【详解】A．根据题意可知，航天器的线速度和角速度分别为
，
根据
可得航天器的轨道半径为
则地球半径满足
故A错误；
B．航天器绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得地球的质量为
故B正确；
C．地球的第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，则地球的第一宇宙速度大于航天器的线速度，则有
故C错误；
D．航天器的周期为
设航天器相邻两次距离南海最近的时间间隔为，则有
解得
故D正确。
故选BD。
9．2030年以后，我国航天领域将进一步向深空进行探索。在某一星球表面的试验基地中，可以人员进行如下研究，光滑水平桌面上放一四分之一光滑圆弧轨道，半径，质量。一个质量为的小球从圆弧轨道顶端沿轨道静止释放，测得小球离开圆弧轨道时的速度大小为2m/s。已知地球的表面的重力加速度，该星球的半径大小为地球半径的1.5倍，忽略星球的自转，则下列说法正确的是（ ）
A．该星球表面的重力加速度大小为B．该星球的质量与地球质量之比为4∶3
C．该星球与地球的第一宇宙速度之比为D．该星球与地球的平均密度之比为9∶2
【答案】AC
【详解】A．小球与圆弧轨道构成的系统机械能守恒和在水平方向上动量守恒，则从释放到最低点，有
，
解得
故A正确；
B．对于星球表面的物体，万有引力近似等于重力
则有星球质量
故该星球与地球质量之比为
故B错误；
C．由万有引力提供向心力，解得第一宇宙速度
可得该星球与地球的第一宇宙速度之比为
故C正确；
D．星球密度
则可得密度之比为2∶9，故D错误。
故选AC。
10．为更好地研究暗物质、暗能量，星系起源与演化等天文学领域的前沿热点和重大科学问题，我国计划发射中国巡天空间望远镜（CSST）。假设CSST与空间站在同一轨道均沿逆时针方向运行，在必要时也可以与空间站对接。如图所示，某时刻CSST与空间站分别处在圆轨道I上的Р点和Q点，它们与地心连线的夹角为，现在控制CSST变轨至椭圆轨道Ⅱ，当它沿椭圆轨道Ⅱ运行一周后，恰好可与空间站在Р点进行对接，则下列说法正确的是（ ）
A．CSST需要在Р点加速才能变轨至轨道Ⅱ
B．CSST在轨道Ⅱ上的运行周期是空间站在轨道Ⅰ上运行周期的倍
C．CSST与空间站分离后，再次变轨至轨道Ⅱ，只需要运行7周，CSST空间站的相对位置即可回到刚要变轨对接时的初始状态
D．若轨道Ⅰ的半径为R，则轨道Ⅱ的半长细为
【答案】CD
【详解】A．CSST变轨至轨道Ⅱ是做近心运动，万有引力大于其做匀速圆周运动所需要的向心力，所以需要减速，A错误；
BC．CSST与空间站分离后，若再次变轨至轨道Ⅱ，设轨道Ⅱ的半长轴为a，CSST在轨道Ⅱ上运行的周期为，空间站在轨道I上运行的周期为T，因为CSST在轨道Ⅱ上运动一周后，恰好与空间站对接，则有
即CSST每运行1周，空间站运行周，当CSST运行7周时，空间站运行了周，此时空间站恰好位于Q点，CSST位于P点，B错误，C正确；
D．根据开普勒第三定律有
解得轨道Ⅱ的半长轴为
D正确。
故选CD。
三、解答题
11．某探究小组的同学利用自制单摆来测定一架相对地面处于静止状态的直升飞机距离海平面的高度。他们测得单摆在海平面处的周期为，在直升飞机内的周期为T。请你帮助他们求出直升飞机距离海平面的高度h。（地球可看成质量均匀分布、半径为R的球体）
【答案】
【详解】设单摆的摆长为l，海平面处的重力加速度为，直升飞机处的重力加速度为g，根据单摆周期公式，分别有
设地球的质量为M，地球表面附近物体的质量为m，在地面附近重力近似等于万有引力，分别有
联立以上各式解得
12．利用万有引力定律可以测量天体的质量．
（1）测地球的质量
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G．若忽略地球自转的影响，求地球的质量．
（2）测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示．已知A、B间距离为L，A、B绕O点运动的周期均为T，引力常量为G，求A、B的总质量．
（3）测月球的质量
若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T1，月球、地球球心间的距离为L1．你还可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的质量．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）设地球的质量为M，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有
解得：M=；
（2）设A的质量为M1，A到O的距离为r1，设B的质量为M2，B到O的距离为r2，
根据万有引力提供向心力公式得：
，
，
又因为L=r1+r2
解得：；
（3）设月球质量为M3，由（2）可知，
由（1）可知，M=
解得：