九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程巩固练习

这是一份九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程巩固练习，共44页。
1．（2023·浙江温州·校考一模）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则B．若，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则D．若，则-1＜a＜0
2．（2023春·八年级课时练习）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A．＜x＜0B．0＜x＜C．＜x＜1D．1＜x＜
3．（2023春·八年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A．B．C．2012D．2011
5．（2023春·福建南平·九年级专题练习）两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020B．C．-2020D．
6．（2022秋·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
7．（2022秋·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2023春·浙江·八年级期末）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0B．C．D．
9．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（ ）个．
（1）存在实数x使成立，则k的取值范围是；
（2）若，则；
（3）若，则或；
（4）存在整数，使成立．
A．1B．2C．3D．4
10．（2022春·湖南长沙·八年级校考期末）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是_____.
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则___________．
13．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知平行四边形，，，点在边上，将平行四边形沿翻折，使点落在边的处，且满足，则______．
14．（2023春·八年级单元测试）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．
15．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
16．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考阶段练习）已知双曲线与直线交于点，.
（1）若，则______；
（2）若时，，则k______0，b______0（填“”、“”或“”）.
17．（2023·山东枣庄·统考一模）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______．
18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．
19．（2022春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）（1）若，且有，则的值是______．
（2）如果方程的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是______．
20．（2023春·江苏·八年级期末）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．
21．（2022春·八年级单元测试）对于任意实数k，方程总有一个根是1
(1)求实数a，b；
(2)求另一个根的范围．
22．（2023·四川南充·统考一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是、，且，求．
23．（2023春·浙江·八年级期中）相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中为9个数中的最大数，且满足求P及的值．
24．（2023春·浙江·八年级期中）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
25．（2023春·福建南平·九年级专题练习）已知关于的方程有实数根．
(1)若方程的两根之和为整数，求的值；
(2)若方程的根为有理根，求整数的值．
26．（2023春·四川南充·九年级阆中中学校考阶段练习）已知方程的两根是、．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于、的倒数的立方．（参考公式：．
27．（2023春·浙江·八年级期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出，的值．
②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．
28．（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”．
(1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
(2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值．
29．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
30．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
专题04 一元二次方程压轴题型专训
【一元二次方程30道压轴题型专训】
1．（2023·浙江温州·校考一模）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则B．若，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则D．若，则-1＜a＜0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k，
∴ ，
，
又∵，
∴a-b-1=0，即a=b+1，
∴ax2-2ax+a=0，
解得：x1=x2=1，
∴k=1，
当时，即，
即，
∴a（a-1）