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人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(一)之一次函数压轴题型专训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(一)之一次函数压轴题型专训(原卷版+解析)，共95页。
1．（2023·山东聊城·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）已知：如图，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的函数关系式图象如图，则下列结论正确的有；；当时，为等腰三角形；当时，．（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·八年级期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如图，已知，，且满足，点在线段上，m、n满足，点D在y轴负半轴上，连接交x轴的负半轴于点E，且，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·四川巴中·八年级统考期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、点，将直线绕点顺时针旋转与轴交于点，则的面积为（ ）
A．B．3C．4D．5
10．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点落在直线上，过A点作x轴的垂线交直线于点，过作直线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过作直线交直线于点，线段的长度是（ ）
A．3B．C．8D．
11．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于__________．
12．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到h；
④甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km；
其中正确的是______．
13．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，将直线绕点顺时针旋转45°，交轴于点，则点的坐标为___________．
14．（2023·山东日照·日照市新营中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为_______．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是___________．
16．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为______．
17．（2023·辽宁沈阳·校联考一模）如图，四边形是矩形，在轴上，在轴上，函数的图象与交于点，点是射线上一点，沿折叠点恰好落在函数的图象上，且，则点的坐标为_____．
18．（2023春·湖南·八年级阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．
19．（2023春·八年级课时练习）如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为_____．
20．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形中，P，Q两点分别在边上，，D是的中点．若，则的最小值是_______．
21．（2023·河北衡水·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为．
(1)求所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画；
在函数中，输入b的值，得到直线，其中点D在x轴上，点C在y轴上．
①在输入过程中，若的面积为5，直线就会发蓝光，求此时输入的b值；
②若直线与线段有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围．
22．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
(1)列表：写出表格中a，b的值： ， ；
(2)通过描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质 ；
(3)已知函数的图象如图所示，请结合图象，直接写出不等式的解集 ．
23．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，直线与x轴交于点A，点也在该直线上，点B关于x轴的对称点为点C，直线交x轴于点D，点E坐标为．
(1)m的值为______，点C的坐标为______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)晶晶有个想法：“设． 由点B与点C关于x轴对称易得，而与四边形拼接后可看成，这样求S便转化为直接求的面积．”晶晶的想法对吗？
24．（2023·江苏常州·校考一模）2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．
(1)求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．
25．（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表：
其中售价中的元是塑料袋的价钱.
(1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
(2)写出出售千克瓜子时的售价；
(3)写出与之间的关系式；
(4)商店规定，当一次性购买千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班、二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共人，其中一班比二班多人，每人买千克，都用千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免.问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
26．（2022秋·八年级单元测试）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线上的一个动点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线的表达式，并直接写出点C的坐标；
(3)试探究直线上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
27．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时旋转得到线段，点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
(1)求线段的长；
(2)如图②，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，直接写出点的坐标及线段的长；
(3)在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，则是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2023·河北承德·统考一模）如图所示，已知直线与直线交于点，点到轴的距离为2，且在第一象限．直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)过轴上点作平行于轴的直线，分别与直线、交于点、点．
①求线段的长度；
②将沿着直线折叠，当点落在直线上时，直接写出的值．
29．（2023春·四川成都·八年级成都铁路中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于点A、C，过点C的直线交x轴正半轴于点B．
(1)求点B坐标；
(2)点P为线段上一点（不与点B、C重合），连接，过点O作交于点Q，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点D为y轴负半轴上一点，连接、、，若，，求D点的坐标．
30．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若点A恰好落在点处．则：
①OA的长为______；
②点B的坐标为______；
感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线AB的函数表达式；
拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，过点B作轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点．当是以点P为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
31．（2023春·全国·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D．
(1)点C的坐标为 ；求直线的表达式；
(2)若点E为线段上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2023春·四川成都·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2023春·北京丰台·八年级北京丰台二中校考期中）在平面直角坐标系中，，若P为矩形内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点．
(1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___；
(2)若为矩形的矩宽点，求m的值；
(3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．（直接写出答案）
34．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，过点的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接．
(1)求直线的解析式；
(2)设，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线与直线交于点，与x轴交于点，点P是直线上一点（不与点C重合）．
(1)求a的值．
(2)当的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点M，交y轴于点N，当时，求的面积．
36．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；
(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
37．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
(1)求证：；
(2)求点D的坐标；
(3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若点P在线段上，且，求点P的坐标；
(3)当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
39．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，．
(1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，直接写出E点的坐标；
(2)如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使O点落在边上的点，过点作于点G点，交于T点．
①求证：；
②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考期中）如图1和图2，在中，为定值，，和的平分线与交于点G，点E，F在直线上，线段的长为y，图3是y与x的函数图像．
(1)①线段与线段的关系是： ______（填“”，“”或“”）；
②线段长为______；图3中a的值是______；
(2)当点F在线段延长线上时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)线段延长线上有点P，，填空：
①若，则当x为______时，P，F两点重合；
②若要使时，P，F两点能够重合，则m的最大值是______．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
a
0
2
b
…
质量/千克
1
2
3
4
……
售价/元
3.6+0.2
7.2+0.2
10.8+0.2
14.4+0.2
……
期末重难点题型特训（一）之一次函数压轴题型专训
【重难点题型】
1．（2023·山东聊城·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分析四边形的周长最小，则最小，如图，把沿轴正方向平移个单位长度得作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小，再利用一次函数的性质求解一次函数与轴的交点的坐标即可求解．
【详解】解： 四边形的周长
，
是定值，
所以四边形的周长最小，则最小，
如图，把沿轴正方向平移个单位长度得 则
则
作关于轴的对称点 则
连接交轴于 则
所以当重合时，最小，即最小，
设的解析式为：
解得：
所以的解析式为：
令 则 则 即
故选C
【点睛】本题考查的是利用轴对称的性质求解四边形的周长的最小值时点的坐标，平移的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握的位置使周长最小是解本题的关键.
2．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）已知：如图，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的函数关系式图象如图，则下列结论正确的有；；当时，为等腰三角形；当时，．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先通过，计算出的长度，即可求得长度，根据长计算的值，的值等于整个运动路程除以速度，当时找到点位置计算面积即可判断的值．
【详解】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为，
．
，
．
则，
当点从点到点时，所用时间为：，
，故正确；
点运动完整个过程需要时间为：，即，故错误；
当时，，
又，两直线平行，内错角相等，
，
，
，
是等腰三角形，故正确；
当时，点运动的路程为：，此时，
面积为：，故错误．
正确的结论有．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点一般是函数图象的折点，对应数据转化为图形中的线段长度．
3．（2023春·全国·八年级期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可知，当时，线段最短，过点D作轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得，再然后将代入直线可得点D的纵坐标，由此即可得．
【详解】解：对于直线，
当时，，解得，即，，
当时，y＝﹣5，即，，
是等腰直角三角形，
∴，
由垂线段最短可知，如图，当时，线段最短，
则是等腰直角三角形，
过点D作轴于点E，
∴点E是的中点（等腰三角形的三线合一），
∴点E的坐标为，即为，
∴点D的横坐标为，
将代入直线得，
，
则点D的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键．
4．（2023春·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如图，已知，，且满足，点在线段上，m、n满足，点D在y轴负半轴上，连接交x轴的负半轴于点E，且，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质可求A、B点的坐标，结合图形由，可得，
，再根据三角形的面积公式列出方程求解.
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
如图,由，
∴，
∵，
连接 ，作 轴于M，轴于F，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴点D的坐标为；
故选：C.
【点睛】本题考查三角形的面积、非负数的性质(完全平方数和平方根)以及坐标与图形性质，解题的关键是将图形中的线段的长度与点的坐标联系起来，充分利用数形结合表示三角形的面积.
5．（2023春·四川巴中·八年级统考期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤．
【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于，
∴，方程的解是，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
6．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点B作轴于点G，根据，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点C在平移的直线，即可得解．
【详解】解：过点B作轴于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点；
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴；
设向右平移n个单位长度得到，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴向右平移个单位长度得到，
∴点，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，写出前几个坐标的横坐标，推导一般性规律为：的横坐标为，然后计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，，，，，，
∴的横坐标为，
的横坐标为 ，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
……
∴可推导一般性规律为：的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，一次函数等知识．解题的关键在于根据题意推导一般规律．
8．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解．
【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点P是“成双点”，
即线段上的点为“成双点”，
同理线段上的点为“成双点”，
∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
当一次函数的图象经过点E时，
，解得：，
当一次函数的图象经过点G时，
，解得：，
∴k的取值范围为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
9．（2023·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、点，将直线绕点顺时针旋转与轴交于点，则的面积为（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，根据解析式求出，，由勾股定理求得，结合旋转可知，设，由勾股定理，代入点的坐标有，解得，即，
结合解得不合题意舍去，所以，设过，直线解析式为：代入法求出直线方程，从而得到利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，
直线与轴、轴交于点、点，
则，，
，
顺时针旋转，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
解得，
，
，
即，
解得：或，
当时（舍去），
当时，
，
设过，直线解析式为：
，
则有：，
解得，
，
与x轴交点为：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转、勾股定理、等腰直角三角形的性质、一次函数解析式与交点坐标以及三角形面积公式；解题的关键勾股定理求边长，用代入法求直线解析式．
10．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点落在直线上，过A点作x轴的垂线交直线于点，过作直线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过作直线交直线于点，线段的长度是（ ）
A．3B．C．8D．
【答案】C
【分析】根据条件先求出的长，如图，作轴，垂足为D，可根据证明，同理，得到，作，垂足为C，得到OC=，根据条件可得，最后按照规律可得出答案
【详解】解：，
，
如图，作轴，垂足为D，
，，
，
同理过点，可得，
，
作，垂足为C，
，，
轴，，
，，
又直线，轴，
同理可得，
直线，
是有一个角为的直角三角形，
，
故选：C
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，难度较大，涉及勾股定理，的直角三角形，需要有较强的数形结合思想，充分理解题意找出规律是解决本题的关键．
11．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于__________．
【答案】
【分析】作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C，此时周长最小．
【详解】解：作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C， 此时周长最小．
根据轴对称的性质可得：，，
∴，
令直线于x轴相交于点M，与y轴相交于点N，连接
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，
∴，，
∵点A和点关于直线MN对称，点A和点关于y轴对称，
∴，，，
∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是根据题意，正确画出辅助线，根据轴对称的性质和勾股定理，求出最短路径．
12．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到h；
④甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km；
其中正确的是______．
【答案】①②③
【分析】根据图像可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①②正确；根据图像可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时可得④错误．
【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
根据图像可知：甲先出发，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①②正确；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确；
④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则,解得；
当乙车到达地后时，，解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④错误．
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查了函数的图像、能从函数图像的获取准确信息和灵活利用数形结合思想解答是解题的关键．
13．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，将直线绕点顺时针旋转45°，交轴于点，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据已知条件得，求得，过A作交BC于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，求出直线的函数表达式，进而可求出点C的坐标．
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴令，得，令，则，
∴，
∴，
过A作交于F，过F作轴于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
设直线的函数表达式为：，
把F的坐标代入得，，
解得，
∴直线的函数表达式为：，
当时，，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（2023·山东日照·日照市新营中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为_______．
【答案】/
【分析】如图：过点C作使，连接；证可得，；将最小值可转化成最小值，则当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；；再根据求得、，即；再运用待定系数法求得直线表达式，最后将代入表达式求得x的值即可解答．
【详解】解：如图：过点C作使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴最小值可转化成最小值，
当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；
∵，
∴，
∴
设表达式为:，由题意可得：
，
解得：，
∴表达式为:，
将代入得: ，
解得：，
∴D点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是___________．
【答案】或或
【分析】分别利用当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解．
【详解】解：当直线过点时，k值最小，
则，解得，
当直线过点时，k值最大，
则，解得，
故线段与直线有交点时，k的取值范围为，
故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．
16．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为______．
【答案】
【分析】如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，证明，则，由，可知当点三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：当，当，
∴，
如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，
在和中，
∵，
∴，
，
，
当点三点共线时，有最小值，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数等知识．解题的关键在于添加适当的辅助线．
17．（2023·辽宁沈阳·校联考一模）如图，四边形是矩形，在轴上，在轴上，函数的图象与交于点，点是射线上一点，沿折叠点恰好落在函数的图象上，且，则点的坐标为_____．
【答案】/
【分析】设沿折叠点恰好落在函数的图象上，其坐标为，进而可得，点B坐标为，由，可得、、点E坐标为，根据和两点距离公式方程求出，即可解得．
【详解】解：由折叠性质可知：，
设沿DE折叠点B恰好落在函数的图象上，其坐标为，
∴，
∴点B坐标为
∵，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴点E坐标为，，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴
∴点B坐标为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠图形的性质和一次函数图象点的坐标特征，根据两点距离公式正确表示出和列方程求解是解题关键．
18．（2023春·湖南·八年级阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．
【答案】
【分析】先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解．
【详解】解：，当时，；当时，；
，，
，，
将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
，
，，
在中，，即：，
，
点在轴的负半轴上，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．
19．（2023春·八年级课时练习）如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为_____．
【答案】或或或
【分析】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：过作于F，如图：
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图：
∵，；
∴直线为，
令得，
∴，
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或；
当P在y轴上时，如图：
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或，
综上所述，P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．
20．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形中，P，Q两点分别在边上，，D是的中点．若，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，过点Q作轴，设，则，分别求得，，再求出，从而得出点D在直线上运动，当直线时，最小，据此求解即可．
【详解】解：建立如图的直角坐标系，过点Q作轴，
设，则，
∵等边三角形中，，
∴
∴，
∴，
∵D是的中点．
∴，
令
∴，
即点D在直线上运动，
当直线时，最小，此时
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及图形运动中的最值问题，解决本题的关键是会用建系法解决图形运动中的最值问题．
21．（2023·河北衡水·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为．
(1)求所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画；
在函数中，输入b的值，得到直线，其中点D在x轴上，点C在y轴上．
①在输入过程中，若的面积为5，直线就会发蓝光，求此时输入的b值；
②若直线与线段有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，则，再由的面积为5，得到，即可建立方程，解方程即可得到答案；②先求出直线恰好经过A和恰好经过B时b的值，由此得到当时，直线与线段有交点，再求出直线与线段的交点坐标为，根据交点的横坐标不大于纵坐标，建立不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：①在中，当时，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴或；
②当直线恰好经过时，则，
∴；
当直线恰好经过时，则，
∴，
∴当时，直线与线段有交点，
联立，解得，
∴直线与线段的交点坐标为，
∵交点的横坐标不大于纵坐标，
∴，即，
解得，
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解一元一次不等式，求两直线的交点坐标等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
(1)列表：写出表格中a，b的值： ， ；
(2)通过描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质 ；
(3)已知函数的图象如图所示，请结合图象，直接写出不等式的解集 ．
【答案】(1)，0
(2)该函数有最大值2
(3)或
【分析】（1）直线把，代入中求出对应的y的值即可求出a、b的值；
（2）先描点，再连线画出对应的函数图象，再根据函数图象写出一条它的性质即可；
（3）先画出，然后找到函数的图象在函数的图象上方或交点处时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，
，
∴；
在中，当时，
，
∴；
故答案为：，0；
（2）解：函数图象如下所示；
由函数图象可知，该函数的一条性质为：该函数有最大值2；
（3）解：由函数图象可知，当或时，函数的图象在函数图象的上方或两者的交点处，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了求一次函数函数值，画一次函数图象，根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
23．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，直线与x轴交于点A，点也在该直线上，点B关于x轴的对称点为点C，直线交x轴于点D，点E坐标为．
(1)m的值为______，点C的坐标为______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)晶晶有个想法：“设． 由点B与点C关于x轴对称易得，而与四边形拼接后可看成，这样求S便转化为直接求的面积．”晶晶的想法对吗？
【答案】(1)，
(2)
(3)晶晶的想法不对，理由见解析
【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点C的坐标即可；
（2）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可；
（3）求出直线与y轴的交点坐标可知点E不在直线上，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：点在直线上，
；
．
点B关于x轴的对称点为点C，
．
故答案为：，；
（2）解：设直线AC的函数表达式为，
在中，当时，，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴直线AC的函数表达式为；
（3）解：晶晶的想法不对，理由如下：
由（2）直线AC的函数表达式为．
令，得．
直线与y轴的交点坐标为
而点E坐标为，
点E不在直线上，即点A、C、E不在同一条直线上．
，
∴晶晶的想法不对．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，坐标与图形变化——轴对称，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．（2023·江苏常州·校考一模）2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．
(1)求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．
【答案】(1)每个A品牌足球的销售利润分别为元、每个B品牌足球的销售利润为元；
(2)①y与x之间的函数关系式为；②最大利润为元
【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：
，
解得：，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）解：①由题意知，，
∴y与x之间的函数关系式为；
②∵购进A品牌足球的个数不少于个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
∴，
解得：，
在中，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即最大利润为元．
【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
25．（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表：
其中售价中的元是塑料袋的价钱.
(1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
(2)写出出售千克瓜子时的售价；
(3)写出与之间的关系式；
(4)商店规定，当一次性购买千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班、二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共人，其中一班比二班多人，每人买千克，都用千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免.问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
【答案】(1)在这个变化过程中，自变量是瓜子的质量，因变量是售价
(2)出售千克瓜子时的售价为元
(3)
(4)要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花元
【分析】（1）由值随值的变化而变化，可得出自变量是瓜子的质量，因变量是售价；
（2）利用售价瓜子的销售单价售出质量，即可求出结论；
（3）利用售价瓜子的销售单价售出质量，即可得出与之间的关系式；
（4）利用总价单价数量，结合商店给出的优惠方案，分别求出购买千克瓜子及购买千克瓜子所需费用，比较后即可得出结论
【详解】（1）解：根据题意得：在这个变化过程中，自变量是瓜子的质量，因变量是售价；
（2）解：根据题意得：
元.
答：出售千克瓜子时的售价为元；
（3）解：根据题意得：；
（4）解：当购买千克瓜子时所需费用为元；
当购买千克瓜子时所需费用为元.
，
要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花元.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出函数关系式以及有理数的混合运算，解题的关键是∶ （1）根据各数量的变化，找出自变量及因变量； （2）根据各数量之间的关系，列式计算； （3）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式；（4）根据各数量之间的关系，求出购买94千克瓜子及购买100千克瓜子所需费用.
26．（2022秋·八年级单元测试）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线上的一个动点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线的表达式，并直接写出点C的坐标；
(3)试探究直线上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为
(2)，点
(3)存在，点P坐标为或
【分析】（1）当时，求出y的值，当时，求出x的值，即可确定点B和点A坐标；
（2）将点B坐标代入，可得b的值，即可确定直线的解析式，令，解方程，即可求出点C坐标；
（3）根据三角形的面积公式可得，，求出，分别代入直线的解析式即可求出点P坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴点B坐标为，
当时，，
∴点A坐标为；
（2）解：将点B坐标代入，
解得：，
∴直线的表达式：，
当时，，
∴点；
（3）解：存在以A，C，P为顶点的三角形的面积为18，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点P坐标为，
当时，，
∴点P坐标为，
综上，满足条件的点P坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形、三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标要分情况讨论是解题的关键．
27．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时旋转得到线段，点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
(1)求线段的长；
(2)如图②，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，直接写出点的坐标及线段的长；
(3)在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，则是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）用角角边证明，即可求解；
（2）根据（1）的结论求得，设，代入直线即可求得D的坐标，根据平移的性质设直线的解析式为，求得直线的解析式为，进而求得，即可求得的长；
（3）根据题意画出图形，过点C作交y轴于点P，确定直线的解析式为，得出，结合平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
；
（2）设直线解析式为，把、代入
得，
解得，
故直线的解析式为，
∵由得：，
设，
而，
∴，
∵点D在直线上，把代入,
解得，
∴，点，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得
解得，
，
平移，设直线的解析式为，将点代入得
，
解得，
直线的解析式为，
令，解得，
即，
，
（3）存在，理由如下，如图所示，
过点C作交y轴于点P，
∴设直线的解析式为：，
将点代入得：，
∴直线的解析式为：，
∴，
∵，，
当时，四边形，四边形是平行四边形，
∴设点，，
∴，
解得：或，
或，
当时，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
综上可得：或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题的关键．
28．（2023·河北承德·统考一模）如图所示，已知直线与直线交于点，点到轴的距离为2，且在第一象限．直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)过轴上点作平行于轴的直线，分别与直线、交于点、点．
①求线段的长度；
②将沿着直线折叠，当点落在直线上时，直接写出的值．
【答案】(1)直线的解析式为．
(2)①6；②1或．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由点A的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，再求出的长即可；②设翻折后点A落在点F处，连接交折痕所在的直线于点P，连接，由折叠的性质可知：，点P为的中点，设点F的坐标为，由可求出t的值，进而可得出点F，P的坐标，再利用待定系数法即可求出k值．
【详解】（1）解：∵点，点到轴的距离为2，且点A在第一象限，
∴，
将代入得：，
∴点A的坐标为．，
将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：①在中，当时，，则；
在中，当时，，则，
∴；
②设翻折后点A落在点F处，连接交折痕所在的直线于点P，连接，如图2所示．
由折叠的性质，可知：，点P为的中点．
设点F的坐标为，
∵，，
∴，
解得：．
当时，点F的坐标为，
∴点P的坐标为，
∵点P在直线上，
∴，解得：；
当时，点F的坐标为，
∴点P的坐标为，
∵点P在直线上，
∴，解得：．
综上可知：k的值为1或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点B，M，N的坐标；（3）利用折叠的性质结合勾股定理求出点F的坐标．
29．（2023春·四川成都·八年级成都铁路中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于点A、C，过点C的直线交x轴正半轴于点B．
(1)求点B坐标；
(2)点P为线段上一点（不与点B、C重合），连接，过点O作交于点Q，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点D为y轴负半轴上一点，连接、、，若，，求D点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由直线先求出点A，C坐标，从而求出直线的解析式，即可求出点B坐标；
（2）根据证明，得，由得，根据可得结论；
（3）延长至点N，使，连接，证明，，设，则，， ，．在中由勾股定理得，连接，可证明，过点D作于点K，交x轴于点M，可得，，求出即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
当时，，，
∴，
∵直线经过点C，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
延长至点N，使，连接，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴；
设，则，，
∴，．
在中，，
即，
解得，
连接，设，，则，
∵，，，
∴，
过点D作于点K，交x轴于点M，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】考查了一次函数的综合应用，题目中涉及到了全等三角形的判定与性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是根据题目正确的作出辅助线．
30．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若点A恰好落在点处．则：
①OA的长为______；
②点B的坐标为______；
感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线AB的函数表达式；
拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，过点B作轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点．当是以点P为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】①的长为；
② 点B的坐标为
感悟应用及拓展研究答案见解析
【分析】①根据勾股定理求解；②作垂线，构造全等三角形，运用全等的性质，根据线段长确定点的坐标；感悟应用：过点B作，交x轴于点D，判定，进而求得点B的坐标，已知点A，B两点坐标，运用待定系数法求解直线的函数表达式；拓展研究：分两种情况，点Q在下方和上方，求证，设点，由全等三角形得出,，进而结合点坐标，由构建方程求解．
【详解】解：①；
② 如图，分别过点A，点B作，，垂足分别为点D，点E，
则 ，
∵ ,，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为；
感悟应用:
如图，过点B作，交x轴于点D，则，
∴，
而，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴点B的坐标为，
设直线的函数表达式为，把代入，得：
，
解得，，
∴直线的函数表达式为．
拓展研究：
设点,分两种情况（1）点Q在下方；（2）点Q在上方；
（1）点Q在下方，如图，
过点Q作，交延长线于点D,则,
∵，
∴，
∴，
∴,，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
（2）点Q在上方，如图，
过点Q作，交延长线于点D,则,
∵ ,，
∴，
∴，
∴,，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质、待定系数法求解函数解析式及利用点坐标求解线段长；能够运用数形结合思想，根据点的坐标表示直角坐标系中线段的长，构建方程是解题的关键．
31．（2023春·全国·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D．
(1)点C的坐标为 ；求直线的表达式；
(2)若点E为线段上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)．
(3)存在，或或．
【分析】（1）令和可确定点A和B的坐标，得，，作辅助线构建全等三角形，证明，可得点C的坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式；
（2）如图2，过点E作轴于F，根据四边形的面积，代入计算可得结论；
（3）分三种情况：分别根据平移的性质可解答．
【详解】（1）解：直线中，当时，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，，
如图1，过点C作轴于G，
由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线BC的解析式为：，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：；
故答案为：；
（2）解：如图2，过点E作轴于F，
∵点E为线段上一点，
∴设点E的坐标为，
∵四边形的面积，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：分三种情况：
①如图3，四边形ABEP是平行四边形，
∵，
∴由平移得：；
②如图4，四边形是平行四边形，
由平移得：；
③如图5，四边形是平行四边形，
由平移得：；
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】此题是一道函数综合题，主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移性质，平行四边形的性质和判定等知识，熟练运用平移的性质和分类讨论思想是解决本题的关键．
32．（2023春·四川成都·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1),
(2)6
(3)，，，
【分析】（1）根据正比例函数过，可得m，设一次函数解析式为代入求解即可；
（2）根据一次函数解析式求出B点坐标，然后利用三角形面积公式直接求解；
（3）根据A、B坐标，求出，然后分三种情况：分别是，，为底时求解即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数过，
，
解得：，
，
设一次函数解析式为，且过A、C，得：
解得
∴一次函数解析式为：．
（2）解：由（1）可知，，
的面积为：．
（3）解：由（1），，，，
，
情况一：当底是时，如图：
，
；
情况二：当底是时，如图：
M在A右侧，，
，
，
M 在A左侧，，
，
，
情况三、当底是时，如图：
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述：，，，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和图像，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图像，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键．
33．（2023春·北京丰台·八年级北京丰台二中校考期中）在平面直角坐标系中，，若P为矩形内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点．
(1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___；
(2)若为矩形的矩宽点，求m的值；
(3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．（直接写出答案）
【答案】(1)D，F；
(2)或；
(3)，或．
【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断；
（2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题；
（3）如图1中由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，．分别求出直线经过、、、时的的值即可解决问题；
【详解】（1），
点是矩宽点，
，
点是矩宽点．
故答案为和．
（2）
分别令等于2可得：或
（3）将代入得，
所以一次函数的图像经过定点，
设
则
若，则，即，
∴此时点P在直线上满足题意
同理时，a＋b＝5 即b＝－a＋5
时，a＋b＝1 即b＝－a＋1
时 b－a＝－3 即b＝a＋3
L1：代入（1，0），k＝－1
L2：代入（1，2），k＝－3
L3：代入（3，2），k＝3
L4：代入（4，1），k＝1
所以k的取值范围为：或，
故答案为：，或
【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．
34．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，过点的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接．
(1)求直线的解析式；
(2)设，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
(3)或或或
【分析】（1）将代入得到；
（2）由两直线交点的求法得到点D的坐标；易得线段的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式列方程求得，于是得到点，推出．第1种情况，如图2，过点C作轴于点F根据全等三角形的性质得到，于是得到；第2种情况，如图3根据全等三角形的性质得到，于是得到；第3种情况，当点P在点D下方时，得到或．
【详解】（1）∵直线交x轴于点，
∴．
∴．
∴直线；
（2）由得：．
∴．
∵，
∴．
∴
当时，；
当时，；
（3）当时，，
解得，
∴点，
∵，
∴，
∴，
如图2，，
过点C作轴于点F，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴．
∴．
∴；
如图3，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴以点B为直角顶点作等腰直角，点C的坐标是或．
当时，，可得，
同法可得或．
综上所述，满足条件的点C坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线与直线交于点，与x轴交于点，点P是直线上一点（不与点C重合）．
(1)求a的值．
(2)当的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点M，交y轴于点N，当时，求的面积．
【答案】(1)5
(2)P的坐标为或
(3)
【分析】（1）将代入，从而可得答案；
（2）设直线解析式为，求解直线解析式为，及，可得，P不能在线段上，设，再分两种情况讨论：当P在D下面时，如图：当P在C上方时，如图，再利用三角形的面积公式列方程即可；
（3）过M作于H，如图：设，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴a的值是5；
（2）设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线解析式为，
在中，令得，
∴，
∴，
∴，
∴P不能在线段上，
设，
当P在D下面时，如图：
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
当P在C上方时，如图：
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述，P的坐标为或；
（3）过M作于H，如图：
设，
在中，令得，
∴，
∵，
∴ ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，等腰直角三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
36．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；
(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)的度数是定值，
【分析】（1）根据，得出，结合，即可得出，则；
（2）根据题意得出点A、C的坐标分别为：、，即可求出直线的表达式为：，过点B作于点H，作轴，交于点G，用等面积法求出，即可得出，最后根据两点之间的距离公式列出方程求解即可；
（3）作于D，取，连接，，通过证明，得出，进而得出是等腰直角三角形，则，推出，即可得出结论的度数是定值，．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当，时，则，，
即点A、C的坐标分别为：、，
设直线的表达式为：，
将点、代入得：
，解得：，
直线的表达式为：，
如下图，过点B作于点H，作轴，交于点G，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
则，
设点，
则，
解得：或，
故过点B的直线与交点的横坐标为：或；
（3）解：的度数是定值，，理由：
作于D，取，连接，，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴可由平移所得，
∴，
∴，
∴．
∴的度数是定值，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是
37．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
(1)求证：；
(2)求点D的坐标；
(3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据可证明；
（2）先求出，根据可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
38．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若点P在线段上，且，求点P的坐标；
(3)当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
【答案】(1)；
(2)（，）
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点P坐标为，根据即可求解；
（3）作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A在y轴上，直线过点A，
∴点A坐标为，
将点和点代入直线，
得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为；
（2）解：设点P坐标为，
令，得，
∴点C坐标为，
∵点，点，
∴，，，
∴，
∵点P在线段上，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点P坐标为；
（3）解：设点P纵坐标为，
∵，点P是x轴上方的一个动点，
∴，
解得，
作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，
则的最小值即为的长，
∵点B坐标为，
∴点B′坐标为，
∴，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴s，
∴t的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
39．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，．
(1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，直接写出E点的坐标；
(2)如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使O点落在边上的点，过点作于点G点，交于T点．
①求证：；
②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析部分；②；
(3)或或．
【分析】（1）在中，根据，设，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）①只要证明，即可．
②如图3中，连接，在中利用勾股定理即可解决问题．
（3）分为对角线，为边两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：如图1中，
，，
是由翻折得到，
，
在中，，
，设，
在中，，
解得，
；
（2）①证明：如图2中，
，，
∵，
，
，
，
，
，
．
②解：如图3中，连接，
由折叠性质可得，
由勾股定理可得，
得．
结合（1）可得时，最小，从而，
当恰好平分时，最大即最大，
此时点与点重合，四边形为正方形，
故最大为3．从而，
．
（3）解：如图中，时，，即点坐标．
，
①当为对角线时，点与重合，，
，
此时点坐标．
②为边时，
四边形是平行四边形，
又四边形是平行四边形，
点与重合，点与点重合，
点坐标，
③当点在第四象限点时，四边形是平行四边形时，
直线的解析式为，
∵，
直线的解析式为，
当时，，
．
④当点在第二象限点时，同①点坐标；
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
40．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考期中）如图1和图2，在中，为定值，，和的平分线与交于点G，点E，F在直线上，线段的长为y，图3是y与x的函数图像．
(1)①线段与线段的关系是： ______（填“”，“”或“”）；
②线段长为______；图3中a的值是______；
(2)当点F在线段延长线上时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)线段延长线上有点P，，填空：
①若，则当x为______时，P，F两点重合；
②若要使时，P，F两点能够重合，则m的最大值是______．
【答案】(1)①；②3，6
(2)，
(3)①6；②
【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可证，即可得到；
②由图3中的函数图象可知，当，即时，，即，如图1-1所示，由平行四边形的性质得到，则，由此即可求出；如图1-2所示，当，即点C与点B重合时，同理可证，则此时，即；
（2）由平行四边形的性质得到，，同理可证 ，根据线段之间的关系得到，则，再由，即可得到；
（3）①先求出，即，由（2）可知，由此建立方程求解即可；②同（3）①得到，，则，再由，求出，则m的最大值为．
【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
故答案为：；
②由图3中的函数图象可知，当，即时，，即，
∴当时，点E和点F重合，
如图1-1所示，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
如图1-2所示，当，即点C与点B重合时，
同理可证，
∴此时，
∴；
故答案为：3，6；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
同理可证 ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图所示， ∵，，
∴，
∵点P和点F重合，
∴，即，
由（2）可知，
∴，
解得，
∴当时，P，F两点重合；
②同（3）①得当P，F两点重合时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴m的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，列函数关系式，从函数图象获取信息，解一元一次不等式组等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
a
0
2
b
…
质量/千克
1
2
3
4
……
售价/元
3.6+0.2
7.2+0.2
10.8+0.2
14.4+0.2
……
1．（2023·山东聊城·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）已知：如图，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的函数关系式图象如图，则下列结论正确的有；；当时，为等腰三角形；当时，．（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·八年级期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如图，已知，，且满足，点在线段上，m、n满足，点D在y轴负半轴上，连接交x轴的负半轴于点E，且，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·四川巴中·八年级统考期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、点，将直线绕点顺时针旋转与轴交于点，则的面积为（ ）
A．B．3C．4D．5
10．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点落在直线上，过A点作x轴的垂线交直线于点，过作直线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过作直线交直线于点，线段的长度是（ ）
A．3B．C．8D．
11．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于__________．
12．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到h；
④甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km；
其中正确的是______．
13．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，将直线绕点顺时针旋转45°，交轴于点，则点的坐标为___________．
14．（2023·山东日照·日照市新营中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为_______．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是___________．
16．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为______．
17．（2023·辽宁沈阳·校联考一模）如图，四边形是矩形，在轴上，在轴上，函数的图象与交于点，点是射线上一点，沿折叠点恰好落在函数的图象上，且，则点的坐标为_____．
18．（2023春·湖南·八年级阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．
19．（2023春·八年级课时练习）如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为_____．
20．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形中，P，Q两点分别在边上，，D是的中点．若，则的最小值是_______．
21．（2023·河北衡水·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为．
(1)求所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画；
在函数中，输入b的值，得到直线，其中点D在x轴上，点C在y轴上．
①在输入过程中，若的面积为5，直线就会发蓝光，求此时输入的b值；
②若直线与线段有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围．
22．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
(1)列表：写出表格中a，b的值： ， ；
(2)通过描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质 ；
(3)已知函数的图象如图所示，请结合图象，直接写出不等式的解集 ．
23．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，直线与x轴交于点A，点也在该直线上，点B关于x轴的对称点为点C，直线交x轴于点D，点E坐标为．
(1)m的值为______，点C的坐标为______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)晶晶有个想法：“设． 由点B与点C关于x轴对称易得，而与四边形拼接后可看成，这样求S便转化为直接求的面积．”晶晶的想法对吗？
24．（2023·江苏常州·校考一模）2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．
(1)求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．
25．（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表：
其中售价中的元是塑料袋的价钱.
(1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
(2)写出出售千克瓜子时的售价；
(3)写出与之间的关系式；
(4)商店规定，当一次性购买千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班、二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共人，其中一班比二班多人，每人买千克，都用千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免.问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
26．（2022秋·八年级单元测试）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线上的一个动点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线的表达式，并直接写出点C的坐标；
(3)试探究直线上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
27．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时旋转得到线段，点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
(1)求线段的长；
(2)如图②，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，直接写出点的坐标及线段的长；
(3)在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，则是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2023·河北承德·统考一模）如图所示，已知直线与直线交于点，点到轴的距离为2，且在第一象限．直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)过轴上点作平行于轴的直线，分别与直线、交于点、点．
①求线段的长度；
②将沿着直线折叠，当点落在直线上时，直接写出的值．
29．（2023春·四川成都·八年级成都铁路中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于点A、C，过点C的直线交x轴正半轴于点B．
(1)求点B坐标；
(2)点P为线段上一点（不与点B、C重合），连接，过点O作交于点Q，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点D为y轴负半轴上一点，连接、、，若，，求D点的坐标．
30．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若点A恰好落在点处．则：
①OA的长为______；
②点B的坐标为______；
感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线AB的函数表达式；
拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，过点B作轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点．当是以点P为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
31．（2023春·全国·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D．
(1)点C的坐标为 ；求直线的表达式；
(2)若点E为线段上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2023春·四川成都·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2023春·北京丰台·八年级北京丰台二中校考期中）在平面直角坐标系中，，若P为矩形内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点．
(1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___；
(2)若为矩形的矩宽点，求m的值；
(3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．（直接写出答案）
34．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，过点的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接．
(1)求直线的解析式；
(2)设，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线与直线交于点，与x轴交于点，点P是直线上一点（不与点C重合）．
(1)求a的值．
(2)当的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点M，交y轴于点N，当时，求的面积．
36．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；
(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
37．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
(1)求证：；
(2)求点D的坐标；
(3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若点P在线段上，且，求点P的坐标；
(3)当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
39．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，．
(1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，直接写出E点的坐标；
(2)如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使O点落在边上的点，过点作于点G点，交于T点．
①求证：；
②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考期中）如图1和图2，在中，为定值，，和的平分线与交于点G，点E，F在直线上，线段的长为y，图3是y与x的函数图像．
(1)①线段与线段的关系是： ______（填“”，“”或“”）；
②线段长为______；图3中a的值是______；
(2)当点F在线段延长线上时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)线段延长线上有点P，，填空：
①若，则当x为______时，P，F两点重合；
②若要使时，P，F两点能够重合，则m的最大值是______．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
a
0
2
b
…
质量/千克
1
2
3
4
……
售价/元
3.6+0.2
7.2+0.2
10.8+0.2
14.4+0.2
……
期末重难点题型特训（一）之一次函数压轴题型专训
【重难点题型】
1．（2023·山东聊城·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分析四边形的周长最小，则最小，如图，把沿轴正方向平移个单位长度得作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小，再利用一次函数的性质求解一次函数与轴的交点的坐标即可求解．
【详解】解： 四边形的周长
，
是定值，
所以四边形的周长最小，则最小，
如图，把沿轴正方向平移个单位长度得 则
则
作关于轴的对称点 则
连接交轴于 则
所以当重合时，最小，即最小，
设的解析式为：
解得：
所以的解析式为：
令 则 则 即
故选C
【点睛】本题考查的是利用轴对称的性质求解四边形的周长的最小值时点的坐标，平移的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握的位置使周长最小是解本题的关键.
2．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）已知：如图，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的函数关系式图象如图，则下列结论正确的有；；当时，为等腰三角形；当时，．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先通过，计算出的长度，即可求得长度，根据长计算的值，的值等于整个运动路程除以速度，当时找到点位置计算面积即可判断的值．
【详解】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为，
．
，
．
则，
当点从点到点时，所用时间为：，
，故正确；
点运动完整个过程需要时间为：，即，故错误；
当时，，
又，两直线平行，内错角相等，
，
，
，
是等腰三角形，故正确；
当时，点运动的路程为：，此时，
面积为：，故错误．
正确的结论有．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点一般是函数图象的折点，对应数据转化为图形中的线段长度．
3．（2023春·全国·八年级期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可知，当时，线段最短，过点D作轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得，再然后将代入直线可得点D的纵坐标，由此即可得．
【详解】解：对于直线，
当时，，解得，即，，
当时，y＝﹣5，即，，
是等腰直角三角形，
∴，
由垂线段最短可知，如图，当时，线段最短，
则是等腰直角三角形，
过点D作轴于点E，
∴点E是的中点（等腰三角形的三线合一），
∴点E的坐标为，即为，
∴点D的横坐标为，
将代入直线得，
，
则点D的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键．
4．（2023春·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如图，已知，，且满足，点在线段上，m、n满足，点D在y轴负半轴上，连接交x轴的负半轴于点E，且，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质可求A、B点的坐标，结合图形由，可得，
，再根据三角形的面积公式列出方程求解.
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
如图,由，
∴，
∵，
连接 ，作 轴于M，轴于F，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴点D的坐标为；
故选：C.
【点睛】本题考查三角形的面积、非负数的性质(完全平方数和平方根)以及坐标与图形性质，解题的关键是将图形中的线段的长度与点的坐标联系起来，充分利用数形结合表示三角形的面积.
5．（2023春·四川巴中·八年级统考期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤．
【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于，
∴，方程的解是，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
6．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点B作轴于点G，根据，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点C在平移的直线，即可得解．
【详解】解：过点B作轴于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点；
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴；
设向右平移n个单位长度得到，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴向右平移个单位长度得到，
∴点，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，写出前几个坐标的横坐标，推导一般性规律为：的横坐标为，然后计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，，，，，，
∴的横坐标为，
的横坐标为 ，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
……
∴可推导一般性规律为：的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，一次函数等知识．解题的关键在于根据题意推导一般规律．
8．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解．
【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点P是“成双点”，
即线段上的点为“成双点”，
同理线段上的点为“成双点”，
∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
当一次函数的图象经过点E时，
，解得：，
当一次函数的图象经过点G时，
，解得：，
∴k的取值范围为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
9．（2023·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、点，将直线绕点顺时针旋转与轴交于点，则的面积为（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，根据解析式求出，，由勾股定理求得，结合旋转可知，设，由勾股定理，代入点的坐标有，解得，即，
结合解得不合题意舍去，所以，设过，直线解析式为：代入法求出直线方程，从而得到利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，
直线与轴、轴交于点、点，
则，，
，
顺时针旋转，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
解得，
，
，
即，
解得：或，
当时（舍去），
当时，
，
设过，直线解析式为：
，
则有：，
解得，
，
与x轴交点为：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转、勾股定理、等腰直角三角形的性质、一次函数解析式与交点坐标以及三角形面积公式；解题的关键勾股定理求边长，用代入法求直线解析式．
10．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点落在直线上，过A点作x轴的垂线交直线于点，过作直线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过作直线交直线于点，线段的长度是（ ）
A．3B．C．8D．
【答案】C
【分析】根据条件先求出的长，如图，作轴，垂足为D，可根据证明，同理，得到，作，垂足为C，得到OC=，根据条件可得，最后按照规律可得出答案
【详解】解：，
，
如图，作轴，垂足为D，
，，
，
同理过点，可得，
，
作，垂足为C，
，，
轴，，
，，
又直线，轴，
同理可得，
直线，
是有一个角为的直角三角形，
，
故选：C
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，难度较大，涉及勾股定理，的直角三角形，需要有较强的数形结合思想，充分理解题意找出规律是解决本题的关键．
11．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于__________．
【答案】
【分析】作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C，此时周长最小．
【详解】解：作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C， 此时周长最小．
根据轴对称的性质可得：，，
∴，
令直线于x轴相交于点M，与y轴相交于点N，连接
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，
∴，，
∵点A和点关于直线MN对称，点A和点关于y轴对称，
∴，，，
∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是根据题意，正确画出辅助线，根据轴对称的性质和勾股定理，求出最短路径．
12．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到h；
④甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km；
其中正确的是______．
【答案】①②③
【分析】根据图像可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①②正确；根据图像可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时可得④错误．
【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
根据图像可知：甲先出发，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①②正确；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确；
④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则,解得；
当乙车到达地后时，，解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④错误．
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查了函数的图像、能从函数图像的获取准确信息和灵活利用数形结合思想解答是解题的关键．
13．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，将直线绕点顺时针旋转45°，交轴于点，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据已知条件得，求得，过A作交BC于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，求出直线的函数表达式，进而可求出点C的坐标．
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴令，得，令，则，
∴，
∴，
过A作交于F，过F作轴于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
设直线的函数表达式为：，
把F的坐标代入得，，
解得，
∴直线的函数表达式为：，
当时，，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（2023·山东日照·日照市新营中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为_______．
【答案】/
【分析】如图：过点C作使，连接；证可得，；将最小值可转化成最小值，则当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；；再根据求得、，即；再运用待定系数法求得直线表达式，最后将代入表达式求得x的值即可解答．
【详解】解：如图：过点C作使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴最小值可转化成最小值，
当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；
∵，
∴，
∴
设表达式为:，由题意可得：
，
解得：，
∴表达式为:，
将代入得: ，
解得：，
∴D点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是___________．
【答案】或或
【分析】分别利用当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解．
【详解】解：当直线过点时，k值最小，
则，解得，
当直线过点时，k值最大，
则，解得，
故线段与直线有交点时，k的取值范围为，
故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．
16．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为______．
【答案】
【分析】如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，证明，则，由，可知当点三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：当，当，
∴，
如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，
在和中，
∵，
∴，
，
，
当点三点共线时，有最小值，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数等知识．解题的关键在于添加适当的辅助线．
17．（2023·辽宁沈阳·校联考一模）如图，四边形是矩形，在轴上，在轴上，函数的图象与交于点，点是射线上一点，沿折叠点恰好落在函数的图象上，且，则点的坐标为_____．
【答案】/
【分析】设沿折叠点恰好落在函数的图象上，其坐标为，进而可得，点B坐标为，由，可得、、点E坐标为，根据和两点距离公式方程求出，即可解得．
【详解】解：由折叠性质可知：，
设沿DE折叠点B恰好落在函数的图象上，其坐标为，
∴，
∴点B坐标为
∵，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴点E坐标为，，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴
∴点B坐标为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠图形的性质和一次函数图象点的坐标特征，根据两点距离公式正确表示出和列方程求解是解题关键．
18．（2023春·湖南·八年级阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．
【答案】
【分析】先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解．
【详解】解：，当时，；当时，；
，，
，，
将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
，
，，
在中，，即：，
，
点在轴的负半轴上，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．
19．（2023春·八年级课时练习）如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为_____．
【答案】或或或
【分析】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：过作于F，如图：
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图：
∵，；
∴直线为，
令得，
∴，
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或；
当P在y轴上时，如图：
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或，
综上所述，P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．
20．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形中，P，Q两点分别在边上，，D是的中点．若，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，过点Q作轴，设，则，分别求得，，再求出，从而得出点D在直线上运动，当直线时，最小，据此求解即可．
【详解】解：建立如图的直角坐标系，过点Q作轴，
设，则，
∵等边三角形中，，
∴
∴，
∴，
∵D是的中点．
∴，
令
∴，
即点D在直线上运动，
当直线时，最小，此时
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及图形运动中的最值问题，解决本题的关键是会用建系法解决图形运动中的最值问题．
21．（2023·河北衡水·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为．
(1)求所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画；
在函数中，输入b的值，得到直线，其中点D在x轴上，点C在y轴上．
①在输入过程中，若的面积为5，直线就会发蓝光，求此时输入的b值；
②若直线与线段有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，则，再由的面积为5，得到，即可建立方程，解方程即可得到答案；②先求出直线恰好经过A和恰好经过B时b的值，由此得到当时，直线与线段有交点，再求出直线与线段的交点坐标为，根据交点的横坐标不大于纵坐标，建立不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：①在中，当时，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴或；
②当直线恰好经过时，则，
∴；
当直线恰好经过时，则，
∴，
∴当时，直线与线段有交点，
联立，解得，
∴直线与线段的交点坐标为，
∵交点的横坐标不大于纵坐标，
∴，即，
解得，
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解一元一次不等式，求两直线的交点坐标等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
(1)列表：写出表格中a，b的值： ， ；
(2)通过描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质 ；
(3)已知函数的图象如图所示，请结合图象，直接写出不等式的解集 ．
【答案】(1)，0
(2)该函数有最大值2
(3)或
【分析】（1）直线把，代入中求出对应的y的值即可求出a、b的值；
（2）先描点，再连线画出对应的函数图象，再根据函数图象写出一条它的性质即可；
（3）先画出，然后找到函数的图象在函数的图象上方或交点处时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，
，
∴；
在中，当时，
，
∴；
故答案为：，0；
（2）解：函数图象如下所示；
由函数图象可知，该函数的一条性质为：该函数有最大值2；
（3）解：由函数图象可知，当或时，函数的图象在函数图象的上方或两者的交点处，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了求一次函数函数值，画一次函数图象，根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
23．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，直线与x轴交于点A，点也在该直线上，点B关于x轴的对称点为点C，直线交x轴于点D，点E坐标为．
(1)m的值为______，点C的坐标为______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)晶晶有个想法：“设． 由点B与点C关于x轴对称易得，而与四边形拼接后可看成，这样求S便转化为直接求的面积．”晶晶的想法对吗？
【答案】(1)，
(2)
(3)晶晶的想法不对，理由见解析
【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点C的坐标即可；
（2）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可；
（3）求出直线与y轴的交点坐标可知点E不在直线上，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：点在直线上，
；
．
点B关于x轴的对称点为点C，
．
故答案为：，；
（2）解：设直线AC的函数表达式为，
在中，当时，，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴直线AC的函数表达式为；
（3）解：晶晶的想法不对，理由如下：
由（2）直线AC的函数表达式为．
令，得．
直线与y轴的交点坐标为
而点E坐标为，
点E不在直线上，即点A、C、E不在同一条直线上．
，
∴晶晶的想法不对．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，坐标与图形变化——轴对称，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．（2023·江苏常州·校考一模）2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．
(1)求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．
【答案】(1)每个A品牌足球的销售利润分别为元、每个B品牌足球的销售利润为元；
(2)①y与x之间的函数关系式为；②最大利润为元
【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：
，
解得：，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）解：①由题意知，，
∴y与x之间的函数关系式为；
②∵购进A品牌足球的个数不少于个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
∴，
解得：，
在中，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即最大利润为元．
【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
25．（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表：
其中售价中的元是塑料袋的价钱.
(1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
(2)写出出售千克瓜子时的售价；
(3)写出与之间的关系式；
(4)商店规定，当一次性购买千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班、二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共人，其中一班比二班多人，每人买千克，都用千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免.问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
【答案】(1)在这个变化过程中，自变量是瓜子的质量，因变量是售价
(2)出售千克瓜子时的售价为元
(3)
(4)要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花元
【分析】（1）由值随值的变化而变化，可得出自变量是瓜子的质量，因变量是售价；
（2）利用售价瓜子的销售单价售出质量，即可求出结论；
（3）利用售价瓜子的销售单价售出质量，即可得出与之间的关系式；
（4）利用总价单价数量，结合商店给出的优惠方案，分别求出购买千克瓜子及购买千克瓜子所需费用，比较后即可得出结论
【详解】（1）解：根据题意得：在这个变化过程中，自变量是瓜子的质量，因变量是售价；
（2）解：根据题意得：
元.
答：出售千克瓜子时的售价为元；
（3）解：根据题意得：；
（4）解：当购买千克瓜子时所需费用为元；
当购买千克瓜子时所需费用为元.
，
要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花元.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出函数关系式以及有理数的混合运算，解题的关键是∶ （1）根据各数量的变化，找出自变量及因变量； （2）根据各数量之间的关系，列式计算； （3）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式；（4）根据各数量之间的关系，求出购买94千克瓜子及购买100千克瓜子所需费用.
26．（2022秋·八年级单元测试）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线上的一个动点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线的表达式，并直接写出点C的坐标；
(3)试探究直线上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为
(2)，点
(3)存在，点P坐标为或
【分析】（1）当时，求出y的值，当时，求出x的值，即可确定点B和点A坐标；
（2）将点B坐标代入，可得b的值，即可确定直线的解析式，令，解方程，即可求出点C坐标；
（3）根据三角形的面积公式可得，，求出，分别代入直线的解析式即可求出点P坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴点B坐标为，
当时，，
∴点A坐标为；
（2）解：将点B坐标代入，
解得：，
∴直线的表达式：，
当时，，
∴点；
（3）解：存在以A，C，P为顶点的三角形的面积为18，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点P坐标为，
当时，，
∴点P坐标为，
综上，满足条件的点P坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形、三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标要分情况讨论是解题的关键．
27．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时旋转得到线段，点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
(1)求线段的长；
(2)如图②，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，直接写出点的坐标及线段的长；
(3)在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，则是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）用角角边证明，即可求解；
（2）根据（1）的结论求得，设，代入直线即可求得D的坐标，根据平移的性质设直线的解析式为，求得直线的解析式为，进而求得，即可求得的长；
（3）根据题意画出图形，过点C作交y轴于点P，确定直线的解析式为，得出，结合平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
；
（2）设直线解析式为，把、代入
得，
解得，
故直线的解析式为，
∵由得：，
设，
而，
∴，
∵点D在直线上，把代入,
解得，
∴，点，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得
解得，
，
平移，设直线的解析式为，将点代入得
，
解得，
直线的解析式为，
令，解得，
即，
，
（3）存在，理由如下，如图所示，
过点C作交y轴于点P，
∴设直线的解析式为：，
将点代入得：，
∴直线的解析式为：，
∴，
∵，，
当时，四边形，四边形是平行四边形，
∴设点，，
∴，
解得：或，
或，
当时，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
综上可得：或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题的关键．
28．（2023·河北承德·统考一模）如图所示，已知直线与直线交于点，点到轴的距离为2，且在第一象限．直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)过轴上点作平行于轴的直线，分别与直线、交于点、点．
①求线段的长度；
②将沿着直线折叠，当点落在直线上时，直接写出的值．
【答案】(1)直线的解析式为．
(2)①6；②1或．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由点A的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，再求出的长即可；②设翻折后点A落在点F处，连接交折痕所在的直线于点P，连接，由折叠的性质可知：，点P为的中点，设点F的坐标为，由可求出t的值，进而可得出点F，P的坐标，再利用待定系数法即可求出k值．
【详解】（1）解：∵点，点到轴的距离为2，且点A在第一象限，
∴，
将代入得：，
∴点A的坐标为．，
将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：①在中，当时，，则；
在中，当时，，则，
∴；
②设翻折后点A落在点F处，连接交折痕所在的直线于点P，连接，如图2所示．
由折叠的性质，可知：，点P为的中点．
设点F的坐标为，
∵，，
∴，
解得：．
当时，点F的坐标为，
∴点P的坐标为，
∵点P在直线上，
∴，解得：；
当时，点F的坐标为，
∴点P的坐标为，
∵点P在直线上，
∴，解得：．
综上可知：k的值为1或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点B，M，N的坐标；（3）利用折叠的性质结合勾股定理求出点F的坐标．
29．（2023春·四川成都·八年级成都铁路中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于点A、C，过点C的直线交x轴正半轴于点B．
(1)求点B坐标；
(2)点P为线段上一点（不与点B、C重合），连接，过点O作交于点Q，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点D为y轴负半轴上一点，连接、、，若，，求D点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由直线先求出点A，C坐标，从而求出直线的解析式，即可求出点B坐标；
（2）根据证明，得，由得，根据可得结论；
（3）延长至点N，使，连接，证明，，设，则，， ，．在中由勾股定理得，连接，可证明，过点D作于点K，交x轴于点M，可得，，求出即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
当时，，，
∴，
∵直线经过点C，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
延长至点N，使，连接，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴；
设，则，，
∴，．
在中，，
即，
解得，
连接，设，，则，
∵，，，
∴，
过点D作于点K，交x轴于点M，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】考查了一次函数的综合应用，题目中涉及到了全等三角形的判定与性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是根据题目正确的作出辅助线．
30．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若点A恰好落在点处．则：
①OA的长为______；
②点B的坐标为______；
感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线AB的函数表达式；
拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，过点B作轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点．当是以点P为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】①的长为；
② 点B的坐标为
感悟应用及拓展研究答案见解析
【分析】①根据勾股定理求解；②作垂线，构造全等三角形，运用全等的性质，根据线段长确定点的坐标；感悟应用：过点B作，交x轴于点D，判定，进而求得点B的坐标，已知点A，B两点坐标，运用待定系数法求解直线的函数表达式；拓展研究：分两种情况，点Q在下方和上方，求证，设点，由全等三角形得出,，进而结合点坐标，由构建方程求解．
【详解】解：①；
② 如图，分别过点A，点B作，，垂足分别为点D，点E，
则 ，
∵ ,，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为；
感悟应用:
如图，过点B作，交x轴于点D，则，
∴，
而，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴点B的坐标为，
设直线的函数表达式为，把代入，得：
，
解得，，
∴直线的函数表达式为．
拓展研究：
设点,分两种情况（1）点Q在下方；（2）点Q在上方；
（1）点Q在下方，如图，
过点Q作，交延长线于点D,则,
∵，
∴，
∴，
∴,，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
（2）点Q在上方，如图，
过点Q作，交延长线于点D,则,
∵ ,，
∴，
∴，
∴,，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质、待定系数法求解函数解析式及利用点坐标求解线段长；能够运用数形结合思想，根据点的坐标表示直角坐标系中线段的长，构建方程是解题的关键．
31．（2023春·全国·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D．
(1)点C的坐标为 ；求直线的表达式；
(2)若点E为线段上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)．
(3)存在，或或．
【分析】（1）令和可确定点A和B的坐标，得，，作辅助线构建全等三角形，证明，可得点C的坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式；
（2）如图2，过点E作轴于F，根据四边形的面积，代入计算可得结论；
（3）分三种情况：分别根据平移的性质可解答．
【详解】（1）解：直线中，当时，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，，
如图1，过点C作轴于G，
由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线BC的解析式为：，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：；
故答案为：；
（2）解：如图2，过点E作轴于F，
∵点E为线段上一点，
∴设点E的坐标为，
∵四边形的面积，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：分三种情况：
①如图3，四边形ABEP是平行四边形，
∵，
∴由平移得：；
②如图4，四边形是平行四边形，
由平移得：；
③如图5，四边形是平行四边形，
由平移得：；
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】此题是一道函数综合题，主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移性质，平行四边形的性质和判定等知识，熟练运用平移的性质和分类讨论思想是解决本题的关键．
32．（2023春·四川成都·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1),
(2)6
(3)，，，
【分析】（1）根据正比例函数过，可得m，设一次函数解析式为代入求解即可；
（2）根据一次函数解析式求出B点坐标，然后利用三角形面积公式直接求解；
（3）根据A、B坐标，求出，然后分三种情况：分别是，，为底时求解即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数过，
，
解得：，
，
设一次函数解析式为，且过A、C，得：
解得
∴一次函数解析式为：．
（2）解：由（1）可知，，
的面积为：．
（3）解：由（1），，，，
，
情况一：当底是时，如图：
，
；
情况二：当底是时，如图：
M在A右侧，，
，
，
M 在A左侧，，
，
，
情况三、当底是时，如图：
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述：，，，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和图像，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图像，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键．
33．（2023春·北京丰台·八年级北京丰台二中校考期中）在平面直角坐标系中，，若P为矩形内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点．
(1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___；
(2)若为矩形的矩宽点，求m的值；
(3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．（直接写出答案）
【答案】(1)D，F；
(2)或；
(3)，或．
【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断；
（2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题；
（3）如图1中由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，．分别求出直线经过、、、时的的值即可解决问题；
【详解】（1），
点是矩宽点，
，
点是矩宽点．
故答案为和．
（2）
分别令等于2可得：或
（3）将代入得，
所以一次函数的图像经过定点，
设
则
若，则，即，
∴此时点P在直线上满足题意
同理时，a＋b＝5 即b＝－a＋5
时，a＋b＝1 即b＝－a＋1
时 b－a＝－3 即b＝a＋3
L1：代入（1，0），k＝－1
L2：代入（1，2），k＝－3
L3：代入（3，2），k＝3
L4：代入（4，1），k＝1
所以k的取值范围为：或，
故答案为：，或
【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．
34．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，过点的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接．
(1)求直线的解析式；
(2)设，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
(3)或或或
【分析】（1）将代入得到；
（2）由两直线交点的求法得到点D的坐标；易得线段的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式列方程求得，于是得到点，推出．第1种情况，如图2，过点C作轴于点F根据全等三角形的性质得到，于是得到；第2种情况，如图3根据全等三角形的性质得到，于是得到；第3种情况，当点P在点D下方时，得到或．
【详解】（1）∵直线交x轴于点，
∴．
∴．
∴直线；
（2）由得：．
∴．
∵，
∴．
∴
当时，；
当时，；
（3）当时，，
解得，
∴点，
∵，
∴，
∴，
如图2，，
过点C作轴于点F，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴．
∴．
∴；
如图3，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴以点B为直角顶点作等腰直角，点C的坐标是或．
当时，，可得，
同法可得或．
综上所述，满足条件的点C坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线与直线交于点，与x轴交于点，点P是直线上一点（不与点C重合）．
(1)求a的值．
(2)当的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点M，交y轴于点N，当时，求的面积．
【答案】(1)5
(2)P的坐标为或
(3)
【分析】（1）将代入，从而可得答案；
（2）设直线解析式为，求解直线解析式为，及，可得，P不能在线段上，设，再分两种情况讨论：当P在D下面时，如图：当P在C上方时，如图，再利用三角形的面积公式列方程即可；
（3）过M作于H，如图：设，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴a的值是5；
（2）设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线解析式为，
在中，令得，
∴，
∴，
∴，
∴P不能在线段上，
设，
当P在D下面时，如图：
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
当P在C上方时，如图：
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述，P的坐标为或；
（3）过M作于H，如图：
设，
在中，令得，
∴，
∵，
∴ ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，等腰直角三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
36．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；
(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)的度数是定值，
【分析】（1）根据，得出，结合，即可得出，则；
（2）根据题意得出点A、C的坐标分别为：、，即可求出直线的表达式为：，过点B作于点H，作轴，交于点G，用等面积法求出，即可得出，最后根据两点之间的距离公式列出方程求解即可；
（3）作于D，取，连接，，通过证明，得出，进而得出是等腰直角三角形，则，推出，即可得出结论的度数是定值，．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当，时，则，，
即点A、C的坐标分别为：、，
设直线的表达式为：，
将点、代入得：
，解得：，
直线的表达式为：，
如下图，过点B作于点H，作轴，交于点G，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
则，
设点，
则，
解得：或，
故过点B的直线与交点的横坐标为：或；
（3）解：的度数是定值，，理由：
作于D，取，连接，，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴可由平移所得，
∴，
∴，
∴．
∴的度数是定值，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是
37．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
(1)求证：；
(2)求点D的坐标；
(3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据可证明；
（2）先求出，根据可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
38．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若点P在线段上，且，求点P的坐标；
(3)当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
【答案】(1)；
(2)（，）
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点P坐标为，根据即可求解；
（3）作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A在y轴上，直线过点A，
∴点A坐标为，
将点和点代入直线，
得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为；
（2）解：设点P坐标为，
令，得，
∴点C坐标为，
∵点，点，
∴，，，
∴，
∵点P在线段上，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点P坐标为；
（3）解：设点P纵坐标为，
∵，点P是x轴上方的一个动点，
∴，
解得，
作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，
则的最小值即为的长，
∵点B坐标为，
∴点B′坐标为，
∴，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴s，
∴t的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
39．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，．
(1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，直接写出E点的坐标；
(2)如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使O点落在边上的点，过点作于点G点，交于T点．
①求证：；
②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析部分；②；
(3)或或．
【分析】（1）在中，根据，设，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）①只要证明，即可．
②如图3中，连接，在中利用勾股定理即可解决问题．
（3）分为对角线，为边两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：如图1中，
，，
是由翻折得到，
，
在中，，
，设，
在中，，
解得，
；
（2）①证明：如图2中，
，，
∵，
，
，
，
，
，
．
②解：如图3中，连接，
由折叠性质可得，
由勾股定理可得，
得．
结合（1）可得时，最小，从而，
当恰好平分时，最大即最大，
此时点与点重合，四边形为正方形，
故最大为3．从而，
．
（3）解：如图中，时，，即点坐标．
，
①当为对角线时，点与重合，，
，
此时点坐标．
②为边时，
四边形是平行四边形，
又四边形是平行四边形，
点与重合，点与点重合，
点坐标，
③当点在第四象限点时，四边形是平行四边形时，
直线的解析式为，
∵，
直线的解析式为，
当时，，
．
④当点在第二象限点时，同①点坐标；
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
40．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考期中）如图1和图2，在中，为定值，，和的平分线与交于点G，点E，F在直线上，线段的长为y，图3是y与x的函数图像．
(1)①线段与线段的关系是： ______（填“”，“”或“”）；
②线段长为______；图3中a的值是______；
(2)当点F在线段延长线上时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)线段延长线上有点P，，填空：
①若，则当x为______时，P，F两点重合；
②若要使时，P，F两点能够重合，则m的最大值是______．
【答案】(1)①；②3，6
(2)，
(3)①6；②
【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可证，即可得到；
②由图3中的函数图象可知，当，即时，，即，如图1-1所示，由平行四边形的性质得到，则，由此即可求出；如图1-2所示，当，即点C与点B重合时，同理可证，则此时，即；
（2）由平行四边形的性质得到，，同理可证 ，根据线段之间的关系得到，则，再由，即可得到；
（3）①先求出，即，由（2）可知，由此建立方程求解即可；②同（3）①得到，，则，再由，求出，则m的最大值为．
【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
故答案为：；
②由图3中的函数图象可知，当，即时，，即，
∴当时，点E和点F重合，
如图1-1所示，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
如图1-2所示，当，即点C与点B重合时，
同理可证，
∴此时，
∴；
故答案为：3，6；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
同理可证 ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图所示， ∵，，
∴，
∵点P和点F重合，
∴，即，
由（2）可知，
∴，
解得，
∴当时，P，F两点重合；
②同（3）①得当P，F两点重合时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴m的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，列函数关系式，从函数图象获取信息，解一元一次不等式组等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
a
0
2
b
…
质量/千克
1
2
3
4
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售价/元
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